核心素養(yǎng)理念下動(dòng)態(tài)圖形直觀的應(yīng)用探究

廣東省珠海市第一中學(xué) (519075) 江云富 周義昌

在倡導(dǎo)發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的背景下，新頒發(fā)的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》(以下簡(jiǎn)稱(chēng)為《新課標(biāo)》)明確了數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng)，對(duì)于六大核心素養(yǎng)之一的“直觀想象”，《新課標(biāo)》指出：直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng).并進(jìn)一步指出，直觀想象是提高學(xué)生“四能”——從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力——的重要手段，明確要求通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能提升數(shù)形結(jié)合的能力，發(fā)展幾何直觀和空間想象能力，增強(qiáng)運(yùn)用幾何直觀和空間想象思考問(wèn)題的意識(shí).作為數(shù)學(xué)教師，有責(zé)任在日常教學(xué)實(shí)踐中落實(shí)《新課標(biāo)》的要求，有目的地組織、利用好教學(xué)素材，切實(shí)地發(fā)展學(xué)生的這些素養(yǎng).事實(shí)上，圖形直觀在高中數(shù)學(xué)課堂上往往能啟迪學(xué)生的思維，帶來(lái)非常簡(jiǎn)潔明快和直觀優(yōu)美的方法，在具有幾何背景或是可引入數(shù)形結(jié)合的問(wèn)題上，運(yùn)用圖形直觀，特別是圖形動(dòng)態(tài)直觀的方法，常常簡(jiǎn)單明了、直觀生動(dòng)地解決問(wèn)題，能很好地發(fā)展學(xué)生的直觀想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

一、讓靜止的圖形動(dòng)起來(lái)，從形態(tài)變化中尋找解決問(wèn)題的途徑

A．I1

C．I3

圖1

例2 (2015年高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷理科第16題)在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是.

圖2

評(píng)注：在弄清楚圖形結(jié)構(gòu)的前提下，要分清楚圖形的哪部分是可以“動(dòng)”的，哪部分是不能“動(dòng)”的，可以“動(dòng)”的部分“動(dòng)”的范圍是什么.

圖3

例3 (2009年上海卷理科18題)過(guò)圓C：(x-1)2+(y-1)2=1的圓心，作直線分別交x、y正半軸于點(diǎn)A、B，ΔAOB被圓分成四部分(如圖3)，若這四部分圖形面積滿(mǎn)足SⅠ+SⅣ=SⅡ+SⅢ,則直線AB有( ).

A.0條B.1條

C.2條D.3條

分析：由SⅣ-SⅡ=SⅢ-SⅠ及第Ⅱ，Ⅳ部分的面積是定值，可得SⅢ-SⅠ也為定值，先設(shè)直線AB在水平位置，然后順時(shí)針繞著圓心C轉(zhuǎn)動(dòng)AB，顯然SⅢ在增加，SⅠ在減少，故SⅢ-SⅠ是單調(diào)遞減的，只可能有一個(gè)位置符合題意，即直線AB只有一條，故選B.

評(píng)注：如果孤立地畫(huà)幾條線段去探究，是很難有一個(gè)清晰的思路，注意到ΔAOB被圓分成的四部分中，只有第Ⅰ、Ⅲ部分的面積可以改變且SⅢ-SⅠ為定值，將動(dòng)態(tài)圖形直觀與函數(shù)單調(diào)性的概念相結(jié)合，讓直線AB“轉(zhuǎn)動(dòng)”起來(lái)，這樣就清晰地揭示問(wèn)題的本質(zhì).

A．β>γ>αB．γ>β>α

C．α>γ>βD．α>β>γ

圖4

分析：假設(shè)P、Q、R三點(diǎn)開(kāi)始時(shí)都位于三條側(cè)棱的中點(diǎn)，此時(shí)三個(gè)二面角的平面角相等，當(dāng)P點(diǎn)向A點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，圖形直觀告訴我們，二面角A-QR-P的平面角γ會(huì)變小，同樣，當(dāng)R點(diǎn)向C點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，二面角A-PQ-R的平面角α?xí)兇?，從開(kāi)始相等的狀態(tài)，α變大，γ變小，于是可判斷選D.

評(píng)注：因?yàn)橄鄬?duì)于底面BCD，平面PQR不規(guī)則地傾斜著，此題若直接去計(jì)算這三個(gè)二面角的大小，其計(jì)算的難度和計(jì)算量都讓人生畏.事實(shí)上此題的命題意圖也不是考查二面角的計(jì)算，而是對(duì)圖形直觀與空間想象的考查，訓(xùn)練學(xué)生通過(guò)幾何直觀和空間想象感知幾何體的形態(tài)變化，利用空間圖形理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，是非常好的發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的素材.

二、建立幾何模型，在幾何模型中運(yùn)用圖形動(dòng)態(tài)直觀

例5 (2018屆廣東六校第三次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)第9題)四面體S-ABC中，三組對(duì)棱的長(zhǎng)分別相等，依次為5，4，x，則x的取值范圍是( ).

圖5

圖6

常規(guī)方法有兩個(gè)難點(diǎn)，一是建立幾何模型，由這種結(jié)構(gòu)的四面體要聯(lián)想到“補(bǔ)形”為長(zhǎng)方體；二是要知道ΔABS是銳角三角形，相比之下，圖形動(dòng)態(tài)直觀解法只有第一個(gè)難點(diǎn)，也非常直觀，更重要的是訓(xùn)練了學(xué)生的直覺(jué)和直觀思維.

圖7

三、在函數(shù)圖像中運(yùn)用圖形直觀

圖8

四、動(dòng)態(tài)圖形直觀與極限思想的結(jié)合

圖9

教師對(duì)于發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，關(guān)鍵還是要著眼于課堂，落實(shí)于日常教學(xué).在目前的數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)實(shí)環(huán)境中，需要教師慧眼獨(dú)具，創(chuàng)造性地挖掘、組織和利用教學(xué)素材，以本文為例，充分地運(yùn)用圖形動(dòng)態(tài)直觀，以變靜為動(dòng)、建立模型等方法，將數(shù)學(xué)問(wèn)題的探究，特別是對(duì)能力要求高、靈活性強(qiáng)的問(wèn)題的探究，與發(fā)展學(xué)生的直觀想象完美地結(jié)合起來(lái)，讓發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)落實(shí)到實(shí)處.