一個(gè)關(guān)聯(lián)指數(shù)函數(shù)核的Hilbert型不等式

有名輝

(浙江機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室, 浙江 杭州 310053)

20世紀(jì)初Hilbert提出了著名的Hilbert不等式,至今已有百年發(fā)展歷史.100多年來(lái),研究者們對(duì)Hilbert不等式及其相關(guān)形態(tài)進(jìn)行深入探究,取得了很多新成果.這些新成果應(yīng)用非常廣泛,特別是在分析學(xué)相關(guān)領(lǐng)域有著不可低估的作用[1].通常,Hilbert不等式表述為[2]：

(1)

其中，π是滿足式(1)的最佳常數(shù)因子.

近年來(lái)，通過(guò)對(duì)式(1)的核函數(shù)參數(shù)化,并考慮相應(yīng)的離散形態(tài)、半離散形態(tài)、高維推廣、系數(shù)加強(qiáng),研究者們建立了大量與式(1)有關(guān)的新成果[3-12].通過(guò)類(lèi)比演化,大量含有新核函數(shù)的Hilbert型不等式也出現(xiàn)在各類(lèi)文獻(xiàn)中.如文獻(xiàn)[13]建立了如下齊次核的Hilbert型不等式：

(2)

其中，a>0,β>0,μ(x)=x1-2β,ν(x)=x1+2β.

文獻(xiàn)[14]建立了如下非齊次核的Hilbert型不等式:

(3)

在式(3)的基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[15]通過(guò)φ(x)=cscx的有理分式展開(kāi),建立了一個(gè)全平面上的Hilbert型不等式：

(4)

本文構(gòu)造與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的積分核函數(shù)，并兼顧齊次和非齊次兩種形式，借助統(tǒng)一的處理方法，建立一個(gè)類(lèi)似式(2)、式(3)和式(4)的Hilbert型不等式.

1 定義與引理

定義1 設(shè)z>0,記第二型歐拉積分：

即Γ函數(shù).特別地,當(dāng)z∈+時(shí),Γ(z)=(z-1)!.

引理1 設(shè)b>a>0，η∈{1,-1},λ>0,β>-λ，

K(x,y):=e-a(xyη)λ-e-b(xyη)λ，

記

(5)

則

(6)

證明若β=0,對(duì)任意的η1,η2>0,利用簡(jiǎn)單的變量代換,并借助積分第一中值定理,得：

其中，a<ξ1,ξ2

(7)

若β≠0,則由分部積分得：

(8)

由式(7)、式(8)得式(6)成立.

引理1證畢.

引理2 設(shè)b>a>0，η∈{1,-1}，λ>0，β>-λ，定義

Dη:={x:x>0,xη<1}，

且

K(x,y):=e-a(xyη)λ-e-b(xyη)λ，

則當(dāng)n→時(shí)，有:

(9)

證明作變量代換xyη=u,由Fubini定理可知:

令n→,并利用式(5),得：

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)b>a>0,η∈{1,-1},λ>0,β>-λ,μ(x)=xp(1-β)-1,ν(x)=xq(1-ηβ)-1,f(x),g(x)≥0,且滿足f∈Lp,μ(+),g∈Lq,ν(+),K(x,y):=e-a(xyη)λ-e-b(xyη)λ,則

(10)

其中，C(a,b,λ,β)由引理1定義，且是滿足式(10)的最佳常數(shù)因子.

證明根據(jù)H?lder不等式,得:

(11)

其中，

根據(jù)引理1，得:

(12)

及

(13)

把式(12)和式(13)代入式(11),得：

(14)

若式(14)中等號(hào)成立，則必有不全為零的實(shí)數(shù)A與B，滿足[16]

即

Axp(1-β)fp(x)=Byq(1-ηβ)gq(y)a.e.于+×+.

那么有常數(shù)C，使得

Axp(1-β)fp(x)=C,a.e.于+,

且

Byq(1-ηβ)gq(y)=C,a.e.于+.

不妨假設(shè)A≠0,則

這與f∈Lp,μ(+)矛盾.故式(14)不取等.

下面證明式(10)中的常數(shù)因子是最佳值.

事實(shí)上，如果此常數(shù)因子不是最佳值，一定存在實(shí)數(shù)0

(15)

(16)

把式(9)的結(jié)果代入式(16),并令n→，則k≥C(a,b,λ,β),顯然矛盾.故式(10)中的常數(shù)因子是最佳值．

定理1證畢.

在定理1中，令η=1，λ=1，則有:

推論1 設(shè)b>a>0,β>-1,μ(x)=xp(1-β)-1,f(x),g(x)≥0,且f∈Lp,μ(+),g∈Lq,μ(+),則

(17)

其中,

是滿足式(17)的最佳常數(shù)因子.另外,若令η=-1,λ=1,則可得到一個(gè)類(lèi)似的齊次核的Hilbert型不等式.

3 結(jié) 論

通過(guò)引入多個(gè)參量，借助經(jīng)典分析技巧，建立了一個(gè)關(guān)聯(lián)指數(shù)函數(shù)核的Hilbert型積分不等式.從研究?jī)?nèi)容上看，文中所建立的結(jié)果是前人已有成果的一個(gè)補(bǔ)充.從研究方法上看，文中統(tǒng)一了齊次核與非齊次核的構(gòu)造.這些均具有一定的創(chuàng)新價(jià)值.