模型論中的超理想

吳騰云，陳國龍①

（淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000）

0 引言

在模型論中，濾子［1]出現(xiàn)在超積理論中. 濾子是偏序集合［2]的特殊子集. 濾子起源于拓?fù)鋵W(xué)，并常在序理論［3]和格理論［4]中出現(xiàn)，它的特殊使用情況是：要考慮的有序集合只是某個(gè)集合的冪集，并用集合包含來排序.

文獻(xiàn)［5]對(duì)濾子進(jìn)行研究，通過介紹濾子和常見幾種濾子的定義，給出常見幾種濾子的實(shí)例，在此基礎(chǔ)上，給出濾子的一些性質(zhì)和常見濾子的關(guān)系.

濾子的對(duì)偶概念是理想，由于濾子和理想在概念上的序?qū)ε夹?，關(guān)于濾子的討論通?？梢耘c理想相關(guān)聯(lián). 文獻(xiàn)［6]討論正則剩余格的性質(zhì)，并定義正則剩余格的理想、濾子、同態(tài)與同余關(guān)系，通過討論它們的性質(zhì)，得出正則剩余格的理想與濾子是一一對(duì)應(yīng)的. 而文獻(xiàn)［7]則給出超格中的理想的定義，研究超格中的理想的一系列性質(zhì). 文獻(xiàn)［8]是在擴(kuò)大模型下，用超理想的單子對(duì)超理想進(jìn)行刻畫，進(jìn)而用它給出理想為超理想的條件，最后給出理想的單子與超理想的單子之間的關(guān)系. 文獻(xiàn)［9]對(duì)理想的和、交與積等性質(zhì)做進(jìn)一步的推廣，給出任意多個(gè)理想的和、交與積的性質(zhì).

本文是在模型論中濾子的基礎(chǔ)上對(duì)理想進(jìn)行研究，并探討超理想的若干性質(zhì)以及在理想下的緊致性定理，豐富了文獻(xiàn)［10-12]中的相關(guān)結(jié)果.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1［1]設(shè)P為非空集合，S(P)為P的一切子集所成的集合，若I?S(P)滿足下列諸條件：

（1）P∈I；

（2）若X,Y∈I,則X?Y∈I；

（3）若X∈I且Z?X?P，則Z∈I.則稱I為P上的一個(gè)濾子，如果I滿足（1）（2）（3）之外又滿足

（4）?X∈S(P),X∈I當(dāng)且僅當(dāng)(PX)?I.則稱I為P上的一個(gè)超濾子.

如果P上的濾子I≠S(P)，則稱I為P上的一個(gè)真濾子.

定義2［2]設(shè)(P,≤)是偏序集，對(duì)于a∈P與S?P，規(guī)定：

↑(a)=簡記↑a），

↓(a)={x∈ |

P x≤a}，（↓(a)簡記↓a），

↑(S)=?{↑ |

(a)a∈S}，

↓(S)=?{↓ |

(a)a∈S}.

當(dāng)S=↑S時(shí)，稱S為上集；當(dāng)S=↓S時(shí)，稱S為下集.

定義3［2]設(shè)(P,≤)是偏序集，I與F都是P的非空子集.

（1）若I是定向的下集，則稱I是偏序集(P,≤)的理想；

（2）若F是余定向的上集，則稱F是偏序集(P,≤)的濾子.

定義4［2]設(shè)(P,≤)是∨-半格，則

（1）若I?P，0 ∈I，則I是理想當(dāng)且僅當(dāng)?a,b∈P,a ∨b∈I?a∈I,b∈I；

（2）P的任意理想的交是理想.

2 主要結(jié)論

定義5設(shè)P為非空集合，S(P)為P的一切子集所成的集合，若I?S(P)滿足下列條件：

（1）P∈I；

（2）若X,Y∈I,則X?Y∈I；

（3）若X∈I且Z?X?P，則Z∈I.

則稱I為P上的一個(gè)理想［8]，如果I滿足（1）（2）（3）之外又滿足

（4）?X∈S(P),X∈I當(dāng)且僅當(dāng)(PX)?I.

則稱I為P上的一個(gè)超理想.

如果P上的理想I≠S(P)，則稱I為P上的一個(gè)真理想.

定義6I為P上的超理想，若任意p∈P,{p}?I.則稱I為P上的非主超理想.

定義7設(shè)P為非空集合I上的超理想，μp(p∈P)為語言L的一族模型，定義模型族μp(p∈P)是以I為模型的超積它也是L的模型.

命題1設(shè)E是S(P)的任一子集，I是E上的理想，則

（1）I是P上的理想；

（2）I是所有X∈S(P)的集合使得X=P或存在Y1,Y2,…,Yn∈E,滿足Y1?Y2?…?Yn?X；

（3）I是真理想當(dāng)且僅當(dāng)E有有限并的性質(zhì).

證明（1）顯然成立.

下證（2） 設(shè)I′是所有X∈S(P)的集合，使得X=P或存在Y1,Y2,…,Yn∈E,滿足Y1?Y2?…?Yn?X.下證I=I′.設(shè)P∈I′,X,X′∈I′,Yi,Yj∈E,使得Y1?Y2?…?Yn?X,Y′1?Y′2?…?Y′m?X′.若X?Z?P,則Y1?Y2?…?Yn?Z.因此Z∈I′,進(jìn)而

所以X?X′∈I′,因此I′是P上的理想，顯然E?I′,

下證D?D′.F是P上包含E的任意理想，則P∈F,對(duì)任意Y1,Y2,…,Yn∈E有Y1?Y2?…?Yn∈F,因此任意X∈S(P),Y1?Y2?…?Yn?X∈F，則I′∈F,I′?I故I=I′.

（3）由（2）知顯然成立.

定理1I為P上的超理想?I為P上的極大真理想（即I為P上的真理想，并且在P上不存在真理想F≠P，能使I?F.）

證明必要性. 設(shè)I為P上的超理想，則由超理想定義知P∈I，從而空集?=(PP)?I. 所以I是P上的真理想.

設(shè)F是P上的真理想，并且I?F. 現(xiàn)在證明F=I. 假若F≠I，則存在X∈F滿足X?I=?,因??I，從 而由De Morgan 定 律 可 得，故由理想的定義可知，即矛盾！從而F=I,F是P上的真理想.

充分性. 設(shè)I為P上的極大真理想. 考慮任一X∈S(P)，若X∈I，則由I為真理想易知，(PX)?I.

反 之，設(shè)(PX)?I，現(xiàn) 在 證 明X∈I. 令X?I且E=I?{X} ，設(shè)F={Y：Y?P并 且 存 在 有 限 個(gè)Z1,Z2,…,Zn∈E使得易見E為P上的理想并且I?E,X?E. 假若X?I，則I≠E，從而由I的極大性有E=S(P). 從而?∈E，故由E定義可知，存在有限個(gè)Z1,Z2,…,Zn∈E，使Z1?Z2?…?Zn=?. 如果Z1,Z2,…,Zn∈I，則?∈I，與I為真理想矛盾. 故Z1,Z2,…,Zn∈X，從而?=Z1?Z2?…?Zn∈X,取從而PX=P∈I矛盾！故X∈I.

定理2P上任一個(gè)真理想E都能擴(kuò)張為P上的一個(gè)超理想I.

證明令Τ={F：F為P上真理想且E?F},則Τ為一個(gè)非空的偏序集，并且對(duì)Τ中理想的任一升鏈F0?F1?…?Fξ?…(ξ ＜α)，易知其交集也在Τ中. 故由Zorn 引理可知，Τ存在極大元，任取其一記作I，從而易知E?I且I為P上的極大真理想. 由定理1可得I為P上的超理想.

命題2設(shè)P為非空集，I為P上的超理想. 若子集X,Y?P，滿足X?Y∈I，則X∈I或Y∈I.

證 明設(shè)X?I且Y?I, 由 超 理 想 的 定 義 可 知且即從而X?Y?I. 矛盾！

推論1任一無限集P上都存在非主超理想.

證明令F={X：X?P且PX有限},則易得F為P上的一個(gè)真理想，由定理2可知，F(xiàn)能擴(kuò)張為P上的一個(gè)超理想I.

推論2（理想下的緊致性定理） 設(shè)T為L中的理論，令P為T的一切有限子集所成的集合. 如果對(duì)每一p∈P都存在p的模型μp，則存在P上的超理想I，能使是T的模型.

證 明對(duì) 每 一 語 句φ∈T，令φ={p∈P：φ∈p} ，再 令E={e?p： 存 在 有 限 個(gè)φ1,φ2,…,φn∈T，使(φ1?φ2?…?φn)?e}，易見E為P上的理想，又由于對(duì)任何φ1,φ2,…,φn∈T(n≥1)都有{φ1,φ2,…,φn}∈(φ1?φ2?…?φn)，故知空集??E，所以E是I上的真理想. 再由定理2 知，E可擴(kuò)張為P上的一個(gè)超理想I. 對(duì)任何φ∈T，有{p∈P：μp?φ}?φ，但φ∈E?I，從而有{p∈P：μp?φ}∈I. 再由超積基本定理知，所以