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    帶有臨界項的薛定諤-泊松系統基態(tài)解的存在性

    2020-07-02 05:46:46馮曉晶
    關鍵詞:薛定諤泊松基態(tài)

    楊 霞,馮曉晶

    (山西大學 數學科學學院,山西 太原 030006)

    0 引言

    本文研究一類帶有臨界非局部項的薛定諤-泊松系統[1]:

    (1)

    近幾年,越來越多的數學家們研究了下列薛定諤-泊松系統[2]:

    (2)

    特別地,對帶有臨界非局部項的薛定諤-泊松系統:

    (3)

    其中:2

    系統(1)可以化為Choquard方程:

    注:本文中,用C>0表示不同的正常數。

    1 預備知識

    (4)

    對任意的u∈Π,有:

    (5)

    引理1[12](Ⅰ)對任意的u∈D,有φu≥0。

    (Ⅱ)對任意的t>0和u∈D,有φtu=t5φu。

    (Ⅳ)若un在D中弱收斂于u,則存在子列,使得φun在D中弱收斂于φu。

    定義能量泛函為:

    顯然,J∈C1(D,R)。容易證明系統(1)的弱解等價于J的臨界點。為了得到基態(tài)解(也就是最小能量解),定義Nehari流形N={u∈D{0}:I(u)=0},其中

    2 定理1的證明

    為了證明主要結果,首先給出一些引理。

    引理2假設定理1的條件成立,對任意的w∈Π,存在唯一的tu>0,使得tuu∈N,且有J(tuu)=maxt>0J(tu)。

    證明對任意的u∈D,根據H?lder不等式和式(4)得:

    (6)

    取定u∈D{0},對t>0,定義f(t)∶=J(tu),注意到f′(t)=〈J′(tu),u〉=0當且僅當tu∈N,通過計算有:

    顯然,t>0時,h是不增函數,由式(6)可知:

    因此,存在唯一的tu>0,使得f′(tu)=0,即有tuu∈N。從而J(tuu)=maxt>0J(tu)。

    引理2證畢。

    對任意的u∈N,結合式(4)及式(6),有:

    從而不難推得,存在α>0,使得:

    (7)

    根據式(6),對任意的u∈N,有:

    (8)

    知J有下界,則可令m=infu∈NJ(u)且m>0。

    引理3假設定理1的條件成立,對任意的u∈N,I′(u)≠0。

    證明對任意的u∈N,根據式(6)和式(7),有:

    (9)

    則對任意的u∈N,I′(u)≠0。

    引理3證畢。

    引理4假設定理1的條件成立,則存在有界序列{un}?N,滿足J(un)→m,且在D-1中J′(un)→0。

    證明利用Ekeland’s變分原理[16],存在有界序列{un}?N,{λn}?R,使得J(un)→m,并且在D-1中J′(un)-λnI′(un)→0。由式(8)可得:

    故{un}在D中有界。又知0=〈J′(un),un〉=λn〈I′(un),un〉+ο(1),結合式(9)可得:λn→0。利用H?lder不等式和{un}的有界性得:

    從而有:

    引理4證畢。

    引理5假設定理1的條件成立,則下面不等式成立:

    證明對任意的u∈Π,當t>0時,定義

    結合式(5),上式可以化為:

    故有:

    根據引理2,對任意的w∈Π,存在唯一的tw>0,使得tww∈N,從而有:

    因此,m<Λ。

    引理5證畢。

    引理6假設定理1的條件成立,J有非平凡的臨界點。

    (10)

    利用文獻[16]中的引理2.13,有:

    (11)

    再由式(10)及式(11),有:

    (12)

    由引理1,φun在D中弱收斂于φu,則在L6(R3)中有φun弱收斂于φu。從而有:

    (13)

    (14)

    又顯然有:

    (15)

    由式(11)、式(14)、式(15)及J′(un)→0得:

    〈J′(u),φ〉=limn→∞〈J′(un),φ〉=0,

    由此可得J存在一個非平凡的臨界點。

    引理6證畢。

    定理1的證明由引理6可知:J有一個(PS)m序列{un}?N且存在u∈D,使得un在D中弱收斂于u,此外,u∈N有J(u)≥m。通過式(11)及范數的弱下半連續(xù),知:

    定理1證畢。

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