一類具有時(shí)滯的Brusselator模型的穩(wěn)定性分析

楊曉燕， 王喬鈺， 許慧潔， 易 秀

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

Brusselator模型[1-3]是用來(lái)描述自催化反應(yīng)的理論模型，為了使系統(tǒng)可以呈現(xiàn)更豐富的動(dòng)力學(xué)行為，人們考慮延遲現(xiàn)象，由此建立了時(shí)滯微分方程[4-5]。時(shí)滯微分方程是用來(lái)描述事物不僅依賴于現(xiàn)在的狀態(tài)，也依賴于過(guò)去的狀態(tài)，它在物理、化學(xué)、生物等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[6-7]。我們知道時(shí)滯微分方程的分支現(xiàn)象在動(dòng)力系統(tǒng)研究中有著非常重要的研究?jī)r(jià)值和應(yīng)用意義[8]。根據(jù)文獻(xiàn)[9-11]，本文將考慮下面的時(shí)滯微分方程：

(1)

其中u、v分別表示化學(xué)反應(yīng)物的有效濃度，t>0、τ>0為常數(shù)，假設(shè)參數(shù)a、b都是正常數(shù)。

1 平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性和Hopf分支

系統(tǒng)(1)所對(duì)應(yīng)的常微分系統(tǒng)為

(2)

容易知道，系統(tǒng)(2)有唯一的正平衡點(diǎn)E*=(u*，v*)=(1，1)。系統(tǒng)(2)在(u*，v*)的雅克比矩陣為

(3)

可以看出

b>0，-a2<0。

則

D∶= detJ=a2>0，T∶= traceJ=b-1-a2。

通過(guò)文獻(xiàn)[10]的分析過(guò)程，我們有下面的結(jié)果：

令

b0=1+a2，

(4)

則當(dāng)b=b0時(shí)，T=0且D>0。因此，可以得到下面的結(jié)論：

定理1 (1)如果0

(2)如果b>b0，那么系統(tǒng)(2)的正平衡點(diǎn)E*是不穩(wěn)定的；

(3)如果b=b0，那么系統(tǒng)(2)在正平衡點(diǎn)E*附近出現(xiàn)Hopf分支。

在正平衡點(diǎn)E*處采用泰勒展開法線性化系統(tǒng)(1)，可得下面的線性系統(tǒng)：

應(yīng)力腐蝕開裂的影響因素分別是：應(yīng)力、環(huán)境、材料。油罐罐底在服役過(guò)程中所受應(yīng)力情況十分復(fù)雜；由于長(zhǎng)期處于罐底水的環(huán)境中，受罐底水中的酸度、礦化度和鹽度的影響，其應(yīng)力腐蝕敏感性很大，尤其是柳屯原油庫(kù)的罐底水中Cl-的含量很高，很容易引起罐底的局部腐蝕，而局部腐蝕往往又是引起應(yīng)力腐蝕的最基本前提，會(huì)增大罐底鋼材的應(yīng)力腐蝕開裂敏感性。因此，油罐在介質(zhì)和應(yīng)力的雙重作用下必然會(huì)具有應(yīng)力腐蝕傾向。在油罐的生產(chǎn)運(yùn)行中，為延緩油罐罐底的腐蝕，經(jīng)常對(duì)罐底實(shí)施陰極保護(hù)，而陰極極化電位大小也會(huì)影響應(yīng)力腐蝕開裂的敏感性。

(5)

λ2+(a2-2b)λ-a2b+[(b+1)λ+a2(b+1)]e-λτ=0。

(6)

下面在條件00)，將其代入特征方程(6)可以得到：

-ω2+i(a2-2b)ω-a2b+[i(b+1)ω+a2(b+1)]e-iωτ=0,

將上面的方程分離實(shí)部和虛部，得

(a2-2b)ω=a2(b+1)sin(ωτ)-(b+1)ωcos(ωτ),

ω2+a2b=a2(b+1)cos(ωτ)+(b+1)ωsin(ωτ),

(7)

把方程(7)兩邊平方和相加可以得到

ω4+[a4-2a2b+3b2-2b-1]ω2+a4(-2b-1)=0,

(8)

因?yàn)閍4(-2b-1)<0，則方程(8)有唯一的正根：

(9)

其中B=a4-2a2b+3b2-2b-1，C=-a4(2b+1)。

從方程(7)可以得到相應(yīng)于ω的τ的值：

(10)

引理1 設(shè)λ(τ)=μ(τ)+iω(τ)是方程(6)在τ=τ0附近變化時(shí)且滿足μ(τ0)=0，ω(τ0)=ω的根，則下面的橫截性條件成立：

證明將方程(6)兩邊對(duì)τ微分可以得到

λ[(b+1)λ+a2(b+1)]e-λτ,

從而

根據(jù)方程(7)可以得到

由式(9)可知

代入上式，于是有

證明完畢。

根據(jù)引理1，可以得到下面的結(jié)論(參見(jiàn)文獻(xiàn)[12])。

定理2 (1)如果0≤τ<τ0，則系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的；

(2)如果τ>τ0，則系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)E*是不穩(wěn)定的；

(3)如果τ=τ0，則系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)E*附近會(huì)出現(xiàn)Hopf分支;

其中ω由式(9)定義且τ由式(10)定義。

2 數(shù)值模擬

例1 在系統(tǒng)(2)中，取a=1，b=1.5，則a、b滿足0

(a)正平衡點(diǎn)(1，1)局部漸近穩(wěn)定 (b)正平衡點(diǎn)(1，1)附近出現(xiàn)Hopf分支

例2 在系統(tǒng)(1)中，根據(jù)定理2，取a=1，b=0.3，則τ0=0.877 6。參數(shù)a、b滿足0

圖2 當(dāng)a=1，b=0.3，τ=0.85且初值是(1.1，1.1)時(shí)，系統(tǒng)(1)的相圖

圖3 當(dāng)a=1，b=0.3，τ=0.9且初值是(2.2，2.2)和(0.8，0.7)時(shí)，系統(tǒng)(1)的相圖

圖4 當(dāng)a=1，b=0.3，τ=0.9且初值是(1.1，1.1)時(shí)，系統(tǒng)(1)的相圖

3 結(jié)論

本文主要研究時(shí)滯微分方程中平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性。首先利用線性化方法得到系統(tǒng)的特征方程，通過(guò)分析常微分系統(tǒng)特征方程根的分布來(lái)判斷平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性；其次在常微分穩(wěn)定的情況下研究時(shí)滯微分方程中時(shí)間參數(shù) 對(duì)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的影響；結(jié)果表明系統(tǒng)在臨界值附近會(huì)出現(xiàn)Hopf分支。最后用數(shù)值模擬得到了理論驗(yàn)證。