斜坡基樁水平動力響應(yīng)解析解

張玲，岳梢?，劉亞楠，彭文哲

（1.湖南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南長沙 410082；2.建筑安全與節(jié)能教育部重點實驗室（湖南大學(xué)），湖南長沙 410082；3.國家級建筑安全與環(huán)境國際聯(lián)合研究中心（湖南大學(xué)），湖南長沙 410082）

隨著跨江、跨溝谷等斜坡地形上的高速公路建設(shè)的不斷推進，斜坡樁基工程越來越多.斜坡基樁不僅要承受上部結(jié)構(gòu)自重等豎向荷載，還要承擔(dān)車輛制動等水平動荷載作用.與平地基樁相比，因斜坡巖土體應(yīng)力場分布不對稱，斜坡基樁樁-土耦合振動問題以及側(cè)向承載能力設(shè)計計算更加復(fù)雜.因此，分析水平動荷載作用下斜坡基樁的動力響應(yīng)具有重要的意義.

目前，國內(nèi)外已有學(xué)者針對水平靜載下斜坡基樁的受力變形分析開展了一些研究.試驗方面，趙明華等［1］通過現(xiàn)場試驗探究了陡坡段雙樁基礎(chǔ)承載特性及荷載傳遞機理，為同類工程設(shè)計施工提供了有效參考；尹平保等［2］通過室內(nèi)模型試驗研究了坡度等因素對斜坡段基樁的斜坡空間效應(yīng)的影響；楊明輝等［3］基于室內(nèi)模型試驗指出了樁前土抗力折減效應(yīng)與坡角及臨坡距緊密相關(guān).數(shù)值模擬方面，Georgiadis 等［4］采用三維有限元軟件研究了邊坡樁基的水平承載性能，并得到了考慮坡角的p-y曲線表達式；Ng等［5］基于有限元軟件，研究了水平荷載下斜坡套筒樁的受力變形，得到了套管對斜坡樁性能影響規(guī)律.理論計算方面，趙明華等［6］和楊超煒等［7］根據(jù)m法假定，分別提出陡坡段雙樁內(nèi)力計算有限差分解及有限桿單元解；尹平保等［8］假定樁后邊坡趨于穩(wěn)定，產(chǎn)生的水平推力甚小，只考慮樁前土抗力作用，提出了基于p-y曲線法的斜坡段基樁內(nèi)力變形計算方法；楊明輝等［9］基于斜坡基樁橫向加載破壞試驗，提出考慮陡坡效應(yīng)的應(yīng)變楔計算方法，并研究了陡坡效應(yīng)的影響范圍；Peng 等［10-11］假定斜坡地基樁前淺層土難以提供土抗力，提出修正應(yīng)變楔理論；我國《公路橋涵地基與基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范》（JTG 3363—2019）［12］建議采用m法計算平地樁身內(nèi)力變形，對于斜坡地形可將地基反力系數(shù)比例系數(shù)m值折減一半簡化計算.上述研究采用不同方式均對樁前土抗力進行折減以考慮斜坡效應(yīng)，且取得較好的效果，但均屬于靜力學(xué)范疇，斜坡段基樁的動力響應(yīng)計算方法鮮有報道，尚缺乏系統(tǒng)深入的研究.

現(xiàn)有水平動力響應(yīng)方面的研究主要是針對平地基樁開展的.早期有學(xué)者采用動力Winkler地基梁模型［13-15］將樁周土模擬為彈簧和阻尼器，該模型雖簡單直觀，但不能很好地反映樁土相互作用，忽略了樁周土的連續(xù)性；Nogami 等［16］和Novak 等［17］考慮土體應(yīng)力的梯度變化，將土體視為三維連續(xù)介質(zhì)，通過構(gòu)造勢函數(shù)解耦土體三維波動方程，求得樁周土水平振動阻力，根據(jù)樁土相互作用得到樁基水平振動響應(yīng)解析解；Zheng 等［18］將此擴展到大直徑管樁，推導(dǎo)了黏彈性土層中大直徑管樁水平動力響應(yīng)的解析解；欒魯寶等［19］考慮了豎向應(yīng)力梯度變化和軸向荷載二階效應(yīng)的影響，研究了黏彈性土層中樁-土橫向耦合振動問題；Hu 等［20］建立了徑向非均質(zhì)黏彈性土體的水平動力阻抗解析解；趙密等［21］考慮水-樁-土之間的耦合作用，建立了水中高樁水平振動響應(yīng)解析解.以上研究對斜坡基樁振動響應(yīng)有著一定的參考價值.

鑒于此，本文將在現(xiàn)有平地基樁水平動力響應(yīng)理論的基礎(chǔ)上，考慮斜坡效應(yīng)，提出適用于斜坡段基樁的水平動力響應(yīng)解析解，以期為斜坡基樁水平振動研究提供一定的理論參考.

1 計算模型建立及基本假定

1.1 計算模型

如圖1 所示，斜坡段基樁樁頂同時受到水平簡諧荷載Q0eiωt和搖擺簡諧荷載M0eiωt作用；樁長為L，其中自由段長為L1，嵌入段深度為L2；樁徑為Dp=2r0.假定樁前一定深度H0范圍內(nèi)的淺層土體難以提供水平抗力［10-11］.實際計算土層厚度為H1，并設(shè)實際計算土層對應(yīng)的樁軸中心處為坐標原點O，沿深度方向為z軸，水平方向為x軸.

圖1 斜坡基樁計算模型簡圖Fig.1 Calculation model of pile in sloping ground

1.2 基本假定

為便于分析，根據(jù)圖1 所示的簡化計算模型，進一步做出如下假設(shè)：

1）橋梁基樁成樁后斜坡基本上趨于穩(wěn)定，樁后巖土體產(chǎn)生的水平推力甚小，故可假定樁位處斜坡是穩(wěn)定的，即不考慮斜坡的失穩(wěn)破壞，也不考慮樁側(cè)摩阻力及樁后土體水平推力的作用［8］.

2）基樁視為線彈性Euler 桿件，忽略剪切變形及轉(zhuǎn)動慣性，樁周土為各向同性黏彈性體［19，21］.

3）樁土體系為小變形振動，樁-土體系接觸良好，接觸面不發(fā)生相對滑移，且只考慮水平方向位移，忽略豎向位移［19，21］.

2 樁周土層水平振動

在水平簡諧荷載作用下，樁-土體系處于簡諧振動狀態(tài)，相應(yīng)的狀態(tài)項均包含時間因子eiωt.為書寫方便，在以下推導(dǎo)過程中均省略eiωt項.在對斜坡樁周土水平動反力推導(dǎo)時，先推導(dǎo)出平地基樁周土水平動反力，再進一步考慮斜坡的土抗力折減效應(yīng)，最終得出斜坡基樁周土抗力表達式.

2.1 樁周土振動方程建立

當(dāng)樁周土系統(tǒng)做水平振動時，根據(jù)黏彈性動力學(xué)理論，建立柱坐標系下樁周土運動方程如下：

式中：ur、uθ分別為樁周土的徑向和環(huán)向位移；λs和μs為復(fù)拉梅常數(shù)，λs=2μsνs/（1-2νs），μs=Gs（1+2iξs），Gs為樁周土剪切模量，Gs=Es/（2（1+νs）），νs、Es、ξs分別為樁周土泊松比、彈性模量以及滯回阻尼比；ρs為樁周土密度.

2.2 樁周土邊界及連續(xù)性條件

樁周土邊界條件：

樁周土接觸邊界條件：

式中：up為樁身沿θ=0方向水平位移.

2.3 樁周土振動方程求解

引入勢函數(shù)對土體振動控制方程進行解耦：

式中：?（r，θ，z）、ψ（r，θ，z）為土體的位移勢函數(shù).

由式（10）（11）容易得到：

將式（10）～（12）代入方程（1）（2），化簡得：

式中：A、B、C、D、E和F為待定系數(shù)；Kn1（·）和In1（·）分別為n1階第一類和第二類修正Bessel函數(shù).

勢函數(shù)?的解為：

同理，可得到勢函數(shù)ψ的解：

根據(jù)式（7）并考慮修正Bessel 函數(shù)的性質(zhì)，可得B=B0=0，n1=1.由式（8）（9）可知ur是θ的偶函數(shù)，uθ是θ的奇函數(shù)，可得C=D0=0.由式（5）（6）可得E=E0=0，gn=（2n-1）π/（2H1）；n=1，2，3，….

因此可得：

式中：An、Bn為待定系數(shù).

將式（26）（27）代入方程（8）（9）化簡得：

由式（28）（29）得到：

土層對樁的水平阻力p可表示為：

以上即得平地水平動反力p的表達式，但對于斜坡而言將會存在折減效應(yīng)［8-9］，《公路橋涵地基與基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范》（JTG 3363—2019）［12］建議當(dāng)樁基礎(chǔ)側(cè)面設(shè)有斜坡或臺階，且其坡度（橫∶豎）或臺階總寬與深度之比大于1∶20 時，地基抗力比例系數(shù)m值應(yīng)減小50%取用.即通過考慮土體強度折減來計算水平荷載下斜坡樁的受力變形，本文采用類似處理，對反力系數(shù)bn進行折減，引入折減因子ζ，ζ數(shù)值大小與邊坡角度等緊密相關(guān)［2-4］，例如：尹平保等［2］基于室內(nèi)模型試驗，提出不同坡度θs下基樁水平極限承載力的折減系數(shù)擬合式（1-θs/90°）.

綜上即得斜坡土層水平動反力ps：

3 單樁水平振動

根據(jù)假設(shè)1），可將圖1 土層深度H0對應(yīng)樁體劃入自由段，并在下文求解中將自由段與土層深度H0對應(yīng)樁體統(tǒng)稱為自由段，相應(yīng)的入土段則僅表示埋入土中實際計算土層對應(yīng)樁體.

3.1 單樁振動方程建立

由動力平衡條件建立柱坐標系中樁運動方程.

自由段：

入土段：

式中：Ep為樁彈性模量；Ip為樁截面慣性矩；up0、up1分別為自由段、入土段的樁身水平位移；mp為樁單位長度質(zhì)量，mp=ρpπr02，ρp為樁體密度.

3.2 單樁振動方程求解

3.2.1 自由段

令λ4=mpω2/（EpIp），可得式（33）的解為：

式中：C1、C2、C3、C4為待定常數(shù).

由材料力學(xué)位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力之間的關(guān)系可知：

式中：φp0、Mp0、Qp0分別為樁身自由段轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力；χ0為自由段系數(shù)矩陣.

則樁身自由段上、下兩端的水平位移、轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力的關(guān)系可表示為：

3.2.2 入土段

式（34）由通解與特解兩部分組成，容易得到式（34）的解為：

由樁周土接觸邊界條件式（8）（9）可得：

利用三角函數(shù)cos（gnz）正交性，式（40）兩端同乘cos（gnz），在區(qū)間［0，L］上積分可得：

由式（41）可得：

將式（42）代入式（39）中可得斜坡基樁入土段水平位移up1解：

由材料力學(xué)位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力之間的關(guān)系可得：

式中：φp1、Mp1、Qp1分別為樁身入土段轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力；χ1為入土段系數(shù)矩陣.

則入土樁段上、下兩端的水平位移、轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力的關(guān)系可表示為：

結(jié)合式（38）和式（46），考慮樁身連續(xù)條件，可得樁底和樁頂?shù)乃轿灰?、轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力的關(guān)系為：

式中：fp=［χ1（H1）］［χ1（0）］-1［χ0（0）］［χ1（-L1-H0）］-1.

3.3 邊界條件

Novak 等［17］給出了平地單樁樁端固定與鉸接時的樁動力阻抗的解答，對于斜坡基樁而言，樁端一般嵌入基巖中，故本文給出式（48）樁端固定時的詳細解答，鉸接可類似得出.

樁頂已知邊界條件：

限于篇幅，下文僅給出樁頂自由、樁端固定時的詳細解答，其他邊界條件可類似得出.

3.4 動力阻抗解答

結(jié)合邊界條件式（48），由式（47）可得樁頂彎矩、剪力和樁頂水平位移、轉(zhuǎn)角的關(guān)系：

式中：Kp為動力阻抗矩陣，其表達式為：

樁端鉸接時的動力阻抗矩陣為：

根據(jù)動力阻抗的定義［15］，可得單樁水平動力阻抗Kh、搖擺動力阻抗Kr以及水平-搖擺耦合動力阻抗Khr如下：

3.5 內(nèi)力變形解答

結(jié)合邊界條件式（48）（49），由式（47）可得樁頂水平位移、轉(zhuǎn)角和樁頂彎矩、剪力的關(guān)系：

式中：K0為系數(shù)矩陣，其表達式為：

綜上結(jié)合式（36）（44）即可得樁身內(nèi)力變形解.

4 算例驗證分析

因現(xiàn)有文獻鮮有斜坡基樁水平動力試驗或數(shù)值模擬報道，難以直接用對應(yīng)試驗結(jié)果驗證本文解答正確性，故下文將分兩步進行驗證，其一是不考慮斜坡效應(yīng)，將解答退化為平地基樁動力問題，并與已有平地動力解析解對比，驗證樁周土振動方程以及基樁動力阻抗方程解答正確性；其二是不考慮水平動荷載的影響，將解答退化為斜坡基樁靜力問題，與已有斜坡基樁靜力數(shù)值試驗對比，驗證斜坡基樁水平振動響應(yīng)解答的正確性.

4.1 算例1

為驗證本文樁周土振動方程的正確性，本文與Nogami 等［16］理論解進行對比驗證，基本參數(shù)為：r0/H1=100，νs=0.4，ξs=0.01，ζ=1，H0=0，L1=0，計算結(jié)果如圖2 所示.圖2 中土體第n振動模態(tài)阻抗因子βn=bn/ηs（第n模態(tài)下樁在發(fā)生單位水平位移時，對應(yīng)土體在r=r0產(chǎn)生的水平阻力）；an為土體第n階固有頻率，an=π（2n-1）/2，n=1，2，3，….圖2 中橫縱坐標分別為：無量綱土體頻率a*=/a1（a1=π/2）；無量綱土體阻抗因子=βn/（πμs）通常為復(fù)數(shù)，根據(jù)定義［16］實部為土體剛度虛部為阻尼.

由圖2 可知，本文解與Nogami 理論解［16］吻合較好，表明本文樁周土振動方程是正確的.

圖2 不同振動模態(tài)n下，土體阻抗因子隨頻率a*的變化對比Fig.2 Comparison of soil resistance factor with frequency a*under different vibration modes n

4.2 算例2

為驗證本文斜坡段基樁動力阻抗方程的正確性，令H0=0，L1=0，ζ=1，即退化為平地基樁動力阻抗解，與Chau 等［22］解析解進行驗證.基本參數(shù)為：νs=0.4，ρs/ρp=0.6，L/r0=H1/r0=30，ξs=0.05，η′=0.01.邊界條件為樁端鉸接，計算結(jié)果如圖3所示.圖3中，橫坐標為λ*/λ0，其中λ0為無土的獨立彈性樁λ*的最小值，對于樁端鉸接，Kh對應(yīng)的λ0=1.571，其他邊界條件取值見文獻［22］.縱坐標Kh′=Kh（動力）/Kh（靜力），Kh（靜力）可令ω→0，通過計算Kh（動力）的值確定.

由圖3 可知，本文解與文獻［22］解吻合較好，驗證了本文動力阻抗方程以及相應(yīng)程序的正確性.

圖3 無量綱水平動力阻抗隨頻率的變化對比Fig.3 Comparison of dimensionless horizontal dynamic resistance with frequency

4.3 算例3

為驗證本文斜坡基樁水平振動響應(yīng)解析解的正確性與適用性，令ω→0，即退化為水平靜載下斜坡基樁解答，與Peng 等［11］基于張-花高速公路現(xiàn)場試驗的ABAQUS 有限元軟件解進行對比.基本參數(shù)如下：L=L2=18，r0=1 m，ρp=2 400 kg/m3，Ep=29 600 MPa，νs=0.3，Es=100 MPa，ρs=2 000 kg/m3，ζ=0.5.樁頂受水平荷載Q0=200 kN作用，且樁頂自由，樁端固定.通過有限元解最大位移值反算土層深度H0=1Dp，計算結(jié)果如圖4 所示.圖4 中縱軸坐標參照文獻［11］坐標系，以樁頂為零點.

圖4 表明本文解與文獻［11］解吻合很好，且相比于規(guī)范法誤差更小，驗證了本文解的適用性.

圖4 樁身水平位移結(jié)果對比Fig.4 Comparison of pile lateral displacement results

5 結(jié)論

本文基于土體三維波動方程，引入折減因子并忽略樁前一定深度范圍內(nèi)的淺層土體的水平抗力作用，求得斜坡樁周土水平動反力；在此基礎(chǔ)上，利用Euler 模型推導(dǎo)斜坡基樁自由段以及入土段水平振動控制方程，運用傳遞矩陣法結(jié)合邊界條件得到斜坡段基樁水平振動響應(yīng)解析解，并通過退化分別與已有平地基樁水平振動響應(yīng)解析解以及斜坡基樁靜力變形有限元解進行對比驗證了本文斜坡基樁模型解的正確性與合理性，可為斜坡基樁水平振動研究提供初步理論參考.