基于CMM的薄壁葉片型線測量點分區(qū)域采樣規(guī)劃方法*

高 源，藺小軍，張俊岐，史耀耀

（1.西北工業(yè)大學(xué)機電學(xué)院，西安 710072；2.中國航發(fā)上海商用航空發(fā)動機制造有限責(zé)任公司，上海 200241）

葉片廣泛應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域，是發(fā)動機的核心部件。由于航空發(fā)動機氣動性能的需要，葉片設(shè)計得越來越薄，其中前后緣部分的厚度甚至小于0.1mm[1]。在加工過程中，葉片較薄的前緣、后緣及緣頭、葉身過渡部分極易產(chǎn)生過大誤差。因此，對葉片型面的準(zhǔn)確、快速測量是評價其合格性的關(guān)鍵，也是保證加工質(zhì)量的重要環(huán)節(jié)。目前，三坐標(biāo)測量機（CMM）是高精度葉片測量中最常用且最有效的測量設(shè)備。為了完成葉片型面的測量，三坐標(biāo)測量機的探針必須觸碰所有的測量點。然而在理論上，葉片型面由無數(shù)點組成，不可能對所有的點進行測量。因此，需要提取出一定數(shù)量的、能夠表征葉片型面的測量點。測量點采樣的本質(zhì)是效率與精度的權(quán)衡。一般情況下，測量點數(shù)量越多，則對被測要素幾何特征的描述就越完整。但受到實際測量條件的限制，測量過程耗時也相應(yīng)越長。

Mian 等[2]綜述了不同的采樣方法以及它們在估計測量點數(shù)量和分布狀態(tài)中的應(yīng)用情況，由此得出結(jié)論，可以使用合理的采樣規(guī)劃策略來提高三坐標(biāo)測量機的性能和測量效率。對于曲面的測量點采樣規(guī)劃，Yu等[3]提出一種基于FEM 概念的測量點自適應(yīng)采樣方法，根據(jù)替代幾何體和FEM數(shù)據(jù)之間的最大偏差，對測量點進行迭代計算。Obeidat 等[4]提出了3種算法，對自由曲面進行測量點采樣。首先將待測曲面上的每個曲面片看作獨立的采樣單元，并對各單元中的關(guān)鍵點進行采樣；之后根據(jù)關(guān)鍵點在各曲面片上的總體分布情況，計算更多的測量點。對于具有修剪曲面、N 邊曲面和多曲面片特征的幾何模型，ElKott 等[5]研究了其?測量點采樣方法，并開發(fā)了一個基于CAD的采樣系統(tǒng)。王平江等[6]將空間自由曲面上的測量點規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為網(wǎng)格劃分問題，即測量點均位于經(jīng)緯線網(wǎng)格的結(jié)點上。在此基礎(chǔ)上提出了等弧長均勻網(wǎng)格和任意疏密網(wǎng)格的劃分方法，并著重闡述了等弧長均勻網(wǎng)格劃分的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。為了使探針運動路徑的長度最短，Ren等[7]提出一種基于曲線網(wǎng)絡(luò)的測量點采樣方法。在給定的精度范圍內(nèi)，沿兩個不同方向，對自由曲面上的兩組等平面曲線進行迭代采樣。Cho等[8]研究了復(fù)雜曲面在機測量中的測量點采樣規(guī)劃策略，提出了CAD/CAM/CAI 集成的概念，基于誤差預(yù)測結(jié)果，在產(chǎn)生最大誤差的可能性更大的區(qū)域中，采樣更多的測量點。

基于“曲面—曲線—點集—測量點集”的原則，將對葉片型面的測量簡化為對若干型線的測量時，可以使測量點采樣問題得到簡化。Zhao等[9]將對曲面的測量簡化為對截面線的測量。使用B樣條曲線來近似待測截面線，并將構(gòu)建B樣條曲線所需的數(shù)據(jù)點作為測量點。雷志盛等[10]針對曲線測量點的分布進行了研究，提出一種斜率差自適應(yīng)采樣方法，實現(xiàn)了測量點隨曲率變化而分布。程云勇等[11]從葉片彎扭變形分析的角度，對等弦高、等弧長、等參數(shù)3種采樣方法在配準(zhǔn)精度和效率上的區(qū)別進行了對比分析。高國軍等[12]指出測量點數(shù)量和分布的確定不僅與加工過程的工藝能力和測量精度有關(guān)，還與被測表面的幾何形狀有關(guān)，重點采用試驗方法給出了不同曲率下測量點數(shù)量的確定方法。張現(xiàn)東等[13]提出二次采樣法，即先在參數(shù)方向進行等參數(shù)采樣，然后在曲率變化大的兩個點間插入中點，直到任意兩相鄰點間的曲率差值都小于既定值。但其葉型分割方法僅適用于圓弧型緣頭，而不適用于橢圓、雙曲線等二次曲線型緣頭。

對于未知的復(fù)雜曲面模型，Liu等[14]在等平面方法的基礎(chǔ)上，研究了針對點激光非接觸測量的自適應(yīng)采樣策略。何雪明等[15]介紹了逆向工程中常見的測量點規(guī)劃方法，包括等步長測量法、圓弧插值法、三次多項式法等。在三次多項式法的基礎(chǔ)上提出曲率連續(xù)預(yù)測法（即五次多項式法），提高了待測點預(yù)測效率和精度，但仍無法避免多項式法的缺點。

綜上所述，自由曲面測量點采樣規(guī)劃研究主要解決測量點的數(shù)量和分布問題，僅考慮了零件的幾何特征，而忽略了零件加工后的實際狀態(tài)。Cho 等[8]討論了殘余高度對測量精度的影響，但僅限定在已加工表面的局部特征，沒有反映整體的誤差分布情況。

加工過程中，薄壁葉片呈弱剛性狀態(tài)，前緣、后緣及緣頭、葉身過渡區(qū)域容易發(fā)生尺寸超差、變形或其他缺陷。傳統(tǒng)的采樣規(guī)劃方法只考慮了葉片型面的幾何特征，而忽略了加工誤差的分布情況，導(dǎo)致在加工誤差很小的葉身區(qū)域中，測量點分布過于密集；而在加工誤差過大的緣頭、葉身過渡區(qū)域中，測量點分布異常稀疏。這直接導(dǎo)致葉片型線重要形狀信息丟失，更造成有限測量資源的浪費，限制三坐標(biāo)測量機精密、高效測量性能的發(fā)揮。針對以上問題，提出一種測量點分區(qū)域采樣規(guī)劃方法。在測量點采樣過程中，既利用葉片型線的幾何特征，又兼顧葉片加工誤差的分布情況。首先，根據(jù)薄壁葉片的特點，提出測量點采樣規(guī)劃的原則；然后，基于所提出的原則，依次從測量區(qū)域劃分和測量點計算兩方面，對測量點分區(qū)域采樣規(guī)劃方法進行研究；最后，在實際葉片上，對所提出的方法進行試驗驗證和對比分析。

薄壁葉片型線測量點采樣規(guī)劃原則

1 幾何特征分析

從幾何角度進行分析，薄壁葉片型面為自由曲面。一張k×l次NURBS曲面定義為

其中，Pi,j為曲面的控制頂點；ωi,j為控制頂點的權(quán)因子；Ni,k(u)為曲面u方向上的第i個k次B樣條基函數(shù)；Nj,l(v)為曲面v方向上的第j個l次B樣條基函數(shù)。

由式（1）可以看出，NURBS曲面由控制點網(wǎng)Pi,j、權(quán)因子ωi,j及u、v方向的節(jié)點向量確定。用法向量平行于葉片積疊軸的平面截葉片型面，所得截面線稱為葉片型線，其方程為

由式（2）可知，葉片型線C(t)由控制頂點Pi、對應(yīng)權(quán)因子ωi和p次樣條基函數(shù)Ni,p(t)唯一確定，且其控制頂點Pi共面。葉片型線C(t)的曲率為

葉片型線C(t)的撓率為

葉片型線為平面曲線，可知曲線的副法向量始終與曲線所在的平面垂直。因此，葉片型線的撓率τ= 0。

葉片型線由前緣、后緣、葉盆、葉背4 大部分構(gòu)成，如圖1所示。

以某型號航空發(fā)動機薄壁葉片為例，根據(jù)式（3），得到薄壁葉片型線的曲率分布圖，如圖2所示?？芍趨?shù)t∈[0,1)上，薄壁葉片型線的曲率分布曲線整體平穩(wěn)，但在參數(shù)t∈[0.359,0.403) 與t∈[0.852,0.896)范圍內(nèi)急劇變化，并在參數(shù)t=0.379與t=0.877 處分別出現(xiàn)3.650 與6.695的曲率峰值。

根據(jù)表1薄壁葉片型線各部分與參數(shù)域的對應(yīng)情況可知，葉盆和葉背區(qū)域在參數(shù)域中的占比為91.2%，占絕大部分。葉片型線在該區(qū)域中的曲率很小，且變化平緩。前緣和后緣區(qū)域在參數(shù)域中的占比僅為8.8%。葉片型線的最大曲率κmax和最小曲率κmin之比為837:1，這說明葉片型線的曲率在該區(qū)域中發(fā)生了劇烈的變化。需要說明的是，對于不同類型的薄壁葉片，雖然在幾何尺寸和型線參數(shù)上各不相同，但緣頭、葉身區(qū)域在參數(shù)域中的占比和曲率變化情況均具有相同的特點。

圖1 薄壁葉片型線各組成部分Fig.1 Components of thin-walled blade section

圖2 某型號航空發(fā)動機薄壁葉片型線曲率分布Fig.2 Curvature distribution of sampled thin-walled blade section

表1 某型號航空發(fā)動機薄壁葉片型線各部分與參數(shù)域的對應(yīng)情況Table1 Relationship of sampled thin-walled blade components and parameter domains

2 加工誤差分布情況分析

薄壁葉片作為典型的薄壁結(jié)構(gòu)零件，具有壁薄、彎扭、剛性差等特點。由葉片、刀具和機床組成的弱剛性工藝系統(tǒng)在數(shù)控加工時容易發(fā)生變形，從而產(chǎn)生較大的加工誤差。通過大量的葉片加工及測量試驗，郝煒[1]、藺小軍[16]、劉維偉[17]等學(xué)者發(fā)現(xiàn)薄壁葉片的加工誤差分布存在以下規(guī)律：

（1）加工后葉片的型線相比理論型線變短、變薄，其示意圖如圖3[1]所示。

（2）加工誤差在緣點處達(dá)到峰值，且從型線端部（即緣頭）到兩側(cè)葉身的變化過程中，呈非線性減小的趨勢。具體而言，在緣頭區(qū)域及緣頭、葉身過渡區(qū)域中，加工誤差的變化速度較慢，即維持較大的加工誤差值。而變化至葉身區(qū)域時，加工誤差的變化速度加快，即加工誤差值快速減小。以某型號航空發(fā)動機薄壁葉片為例，其加工誤差分布曲線如圖4[1]所示。其中，X軸表示測量位置，X軸上的零點與緣點的位置相對應(yīng)，X軸正方向表示葉背側(cè)，X軸負(fù)方向表示葉盆側(cè)；Y軸表示加工誤差值。

圖3 加工后葉片緣頭部分型線與理論型線對比Fig.3 Comparison of manufactured and theoretical edge contours

3 薄壁葉片采樣規(guī)劃原則

通過前文分析可知，薄壁葉片型線的幾何特征與實際加工誤差的分布情況并不完全一致。因此，有必要針對這一問題，提出與之相適應(yīng)的采樣規(guī)劃原則。

（1）測量點的分布應(yīng)綜合考慮待測曲面的幾何特征和加工誤差分布情況，即要求測量點在曲率變化大、加工誤差大的區(qū)域分布密集；在曲率變化小、加工誤差小的區(qū)域分布疏松；而在曲率變化小、加工誤差大的區(qū)域分布較密集。

（2）在準(zhǔn)確反映待測型面特征的前提下，測量點數(shù)量應(yīng)盡可能少，以提高測量效率。

（3）采樣后，測量點所形成的拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)應(yīng)較優(yōu)，以滿足后續(xù)測量數(shù)據(jù)處理與模型重構(gòu)的要求。

薄壁葉片型線測量點分區(qū)域采樣規(guī)劃

在測量點采樣過程中，同時考慮葉片型面的幾何特征和加工誤差的分布情況。首先需要對測量區(qū)域進行劃分，然后對測量點的計算方法進行說明。

1 測量區(qū)域劃分

以前緣區(qū)域為例，首先計算葉片型線的緣點坐標(biāo)，如圖5中O點所示。然后以緣點O為圓心，前緣區(qū)域長度LE及前緣、葉身過渡區(qū)域長度LET為半徑，作同心分割圓。將分割圓與葉片型線的交點作為采樣區(qū)域的分界點，分別記為P1、P2、P3及P4。

圖4 某型號航空發(fā)動機薄壁葉片加工誤差分布Fig.4 Machining error distribution of sampled thin-walled blade

類似地，對葉片型線的后緣側(cè)進行計算，得到后緣側(cè)分界點。利用測量區(qū)域的分界點，將葉片型線劃分為前緣、前緣葉盆過渡、前緣葉背過渡、葉盆、葉背、后緣葉背過渡、后緣葉盆過渡、后緣共8個采樣區(qū)域。

為了實現(xiàn)測量區(qū)域分界點與葉片型線參數(shù)的對應(yīng)，需要計算分界點的參數(shù)。已知NURBS 曲線C(t)上某點P=(x,y,z)，計算其對應(yīng)參數(shù)t0，使得C(t0)=P。如果曲線次數(shù)p≤4，則對應(yīng)參數(shù)可用解析式精確求解。求解步驟為：

（1）利用曲線的強凸包性質(zhì)，確定曲線的某幾段可能包含點P；

（2）利用節(jié)點插入方法，提取各個候選的曲線段，并將其轉(zhuǎn)化為冪基形式；

（3）對于每一曲線段，可列出包含未知參數(shù)t的3個p次多項式方程，如果這3個方程具有1個共同的解，則點P一定位于該曲線段上。

測量區(qū)域劃分結(jié)果如圖6所示（其中，黃色表示葉身區(qū)域、藍(lán)色表示過渡區(qū)域，紅色表示緣頭區(qū)域）。

2 測量點計算

基于前文計算得到的測量區(qū)域分界點參數(shù)，在每個區(qū)域內(nèi)部進行等參數(shù)采樣。對于逐點測量的情況，具體算法描述如下：

圖5 測量區(qū)域劃分過程示意圖Fig.5 Process of measurement area division

Step 1：對于第i個測量區(qū)域(i=0,1,…,7)，將起點參數(shù)記為tsi，終點參數(shù)記為tei，且tsi

Step 2：為了保證測量精度，采用文獻[18]中的方法計算測量點數(shù)量Ni，并將測量點對應(yīng)的參數(shù)記為tij，其中j=0,1,…,Ni–1。通常情況下，測量點對應(yīng)的曲線參數(shù)值tij會隨j值的遞增而依次遞增，但由于葉片型線為封閉參數(shù)曲線，參數(shù)0點與參數(shù)1點相互重疊。當(dāng)重疊點位于測量區(qū)域內(nèi)部時，參數(shù)值tij的變化趨勢會發(fā)生變化。因此，需要分以下兩種情況進行討論：

（1）當(dāng)tei–tsi<0.5時，重疊點位于測量區(qū)域之外。此時，取參數(shù)步長測量點對應(yīng)曲線參數(shù)tij=tsi+j·Δt。

（2）當(dāng)tei–tsi>0.5時，重疊點位于測量區(qū)域之內(nèi)。此時，取參數(shù)步長測量點對應(yīng)曲線參數(shù)tij=tsi+j·Δt，且當(dāng)tij≥1時，令tij=tij–1。

Step 3：根據(jù)式（3），計算參數(shù)集合ti={tij|tij∈[tsi,tei),j=0,1,…,Ni–1}對應(yīng)的點集Pi。

按上述方法對各采樣區(qū)域進行計算，完成測量點分區(qū)域采樣。算法流程如圖7所示。對于連續(xù)掃描測量的情況，可直接根據(jù)上文中測量區(qū)域劃分部分計算得到的分界點信息計算連續(xù)掃描控制參數(shù)，對不同的測量區(qū)域選擇對應(yīng)的測量點間距即可。

圖6 測量區(qū)域劃分結(jié)果Fig.6 Result of measurement area division

圖7 測量點分區(qū)域采樣流程Fig.7 Flow chart of area division method for measurement point sampling

算法驗證與對比分析

1 算法驗證

根據(jù)本文所提方法，已經(jīng)開發(fā)出一套基于UG NX 平臺和OPEN/API接口的葉片/整體葉盤測量編程軟件，軟件簡稱為NPU CMM。以某型號航空發(fā)動機薄壁葉片為例，使用該軟件進行算法驗證。分別采用等參數(shù)采樣方法、等弦高差采樣方法和本文所提方法，對同一葉片型線進行測量點采樣。測量點個數(shù)均為233個。對比3種采樣方法所得到的結(jié)果，如圖8所示。

圖8 3種采樣方法所得結(jié)果比較Fig.8 Results comparison of three different sampling methods

等參數(shù)方法的采樣結(jié)果如圖8（a）所示?？梢钥闯觯摲椒ǐ@得的測量點近似呈均勻分布的狀態(tài)，在緣頭與葉身區(qū)域的分布密度無明顯差別，并沒有反映出葉片型線的幾何特征。這是由等參數(shù)采樣方法的內(nèi)在特點決定的。

等弦高差方法的采樣結(jié)果如圖8（b）所示。其中，公差設(shè)置為0.001mm?？梢钥闯?，等弦高差方法獲得的測量點在緣頭處分布密集，而在葉身處分布稀疏，基本反映出葉片型線的幾何特征。但在加工誤差過大的緣頭、葉身過渡區(qū)域中，沒有分布足夠多的測量點。此外，在曲率變化平緩，且加工精度較高的葉身部分，測量點的分布反而過密。因此，該方法無法反映出薄壁葉片加工誤差的分布情況。

本文所提方法的采樣結(jié)果如圖8（c）所示。其中，測量區(qū)域分界點參數(shù)值分別為0.023，0.478，0.501，0.508，0.530，0.970，0.993和0.999?？梢钥闯?，在測量點個數(shù)相同的條件下，本文所提方法對曲率變化劇烈且加工誤差過大的緣頭及緣頭、葉身過渡區(qū)域給予了更高的權(quán)重。而在保證測量精度的同時，對曲率變化平緩且加工誤差小的葉身部分給予更低的權(quán)重。該方法既能反映出葉片型線的幾何特征，又能反映出葉片加工誤差的分布情況，并使有限的測量資源得到充分利用。此外，還可以保證測量點布局具有嚴(yán)格的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，為后續(xù)測量數(shù)據(jù)處理和模型重構(gòu)提供便利。

2 算法對比分析

根據(jù)前文算法驗證結(jié)果，計算葉片型線各區(qū)域測量點占測量點總數(shù)的百分比，如圖9所示（其中，灰色表示葉身區(qū)域，黃色表示前緣區(qū)域，藍(lán)色表示后緣區(qū)域）。

可以看出，對于等參數(shù)方法，葉身區(qū)域測量點占比高達(dá)94.8%，而緣頭區(qū)域測量點占比僅為5.2%，反映出各區(qū)域測量點所占比重與該區(qū)域在參數(shù)域中的比重相一致的特點。顯然，這種測量點分布狀態(tài)沒有反映出薄壁葉片型線的幾何特征。

對于等弦高差方法，緣頭區(qū)域測量點占比增加至37.8%。雖然較等參數(shù)法有所提升，并在一定程度上反映了葉片型線的幾何特征，但葉身區(qū)域測量點仍占主要部分（62.2%），并沒有反映出薄壁葉片加工誤差的分布情況。

本文所提方法考慮了薄壁葉片加工誤差的分布情況，對于加工誤差過大的緣頭及緣頭、葉身過渡區(qū)域，測量點占比高達(dá)68.7%，而對于加工誤差較小的葉身區(qū)域，測量點占比則縮減至31.3%。

算法分析結(jié)果表明，在測量效率方面，本文所提方法既利用葉片型線的幾何特征，又兼顧葉片加工誤差的分布情況。

圖9 3種不同方法得到的測量點分布對比Fig.9 Comparison of point distribution of three different sampling methods

在測量精度方面，與等參數(shù)法和等弦高差法相比，本文所提方法獲得的測量點布局能更準(zhǔn)確地反映薄壁葉片實際誤差情況，避免葉片型線重要形狀信息丟失，尤其是加工誤差大，卻常被傳統(tǒng)測量點采樣方法忽略的前、后緣過渡區(qū)域的形狀信息。該測量點布局還具有嚴(yán)格的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，能避免測量數(shù)據(jù)處理和模型重構(gòu)時出現(xiàn)的異常情況，提高測量數(shù)據(jù)處理精度，進而提高測量精度。

結(jié)論

（1）結(jié)合薄壁葉片的幾何特征和加工誤差分布情況，提出了薄壁葉片測量點采樣規(guī)劃的原則。

（2）根據(jù)所提出的采樣規(guī)劃原則，進行了測量區(qū)域劃分和測量點計算。

（3）試驗驗證及對比分析結(jié)果表明，對于同一葉片型線，在測量點數(shù)量相同的情況下，加工誤差過大的緣頭及緣頭、葉身過渡區(qū)域測量點所占比重從37.8%提升至68.7%，而加工誤差較小的葉身區(qū)域測量點所占比重從62.2%降低至31.3%。所提方法不僅能夠避免葉片輪廓重要形狀信息丟失，還使得有限的測量資源得到充分的利用，提高測量效率。

此外，基于本文所提方法開發(fā)的葉片/整體葉盤測量編程軟件NPU CMM 已應(yīng)用于工程實際，提高了測量效率和測量精度。