基于CMM的薄壁葉片型線測量點分區(qū)域采樣規(guī)劃方法*

高 源，藺小軍，張俊岐，史耀耀

（1.西北工業(yè)大學機電學院，西安 710072；2.中國航發(fā)上海商用航空發(fā)動機制造有限責任公司，上海 200241）

葉片廣泛應用于航空航天領域，是發(fā)動機的核心部件。由于航空發(fā)動機氣動性能的需要，葉片設計得越來越薄，其中前后緣部分的厚度甚至小于0.1mm[1]。在加工過程中，葉片較薄的前緣、后緣及緣頭、葉身過渡部分極易產(chǎn)生過大誤差。因此，對葉片型面的準確、快速測量是評價其合格性的關鍵，也是保證加工質(zhì)量的重要環(huán)節(jié)。目前，三坐標測量機（CMM）是高精度葉片測量中最常用且最有效的測量設備。為了完成葉片型面的測量，三坐標測量機的探針必須觸碰所有的測量點。然而在理論上，葉片型面由無數(shù)點組成，不可能對所有的點進行測量。因此，需要提取出一定數(shù)量的、能夠表征葉片型面的測量點。測量點采樣的本質(zhì)是效率與精度的權衡。一般情況下，測量點數(shù)量越多，則對被測要素幾何特征的描述就越完整。但受到實際測量條件的限制，測量過程耗時也相應越長。

Mian 等[2]綜述了不同的采樣方法以及它們在估計測量點數(shù)量和分布狀態(tài)中的應用情況，由此得出結論，可以使用合理的采樣規(guī)劃策略來提高三坐標測量機的性能和測量效率。對于曲面的測量點采樣規(guī)劃，Yu等[3]提出一種基于FEM 概念的測量點自適應采樣方法，根據(jù)替代幾何體和FEM數(shù)據(jù)之間的最大偏差，對測量點進行迭代計算。Obeidat 等[4]提出了3種算法，對自由曲面進行測量點采樣。首先將待測曲面上的每個曲面片看作獨立的采樣單元，并對各單元中的關鍵點進行采樣；之后根據(jù)關鍵點在各曲面片上的總體分布情況，計算更多的測量點。對于具有修剪曲面、N 邊曲面和多曲面片特征的幾何模型，ElKott 等[5]研究了其?測量點采樣方法，并開發(fā)了一個基于CAD的采樣系統(tǒng)。王平江等[6]將空間自由曲面上的測量點規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為網(wǎng)格劃分問題，即測量點均位于經(jīng)緯線網(wǎng)格的結點上。在此基礎上提出了等弧長均勻網(wǎng)格和任意疏密網(wǎng)格的劃分方法，并著重闡述了等弧長均勻網(wǎng)格劃分的數(shù)學基礎。為了使探針運動路徑的長度最短，Ren等[7]提出一種基于曲線網(wǎng)絡的測量點采樣方法。在給定的精度范圍內(nèi)，沿兩個不同方向，對自由曲面上的兩組等平面曲線進行迭代采樣。Cho等[8]研究了復雜曲面在機測量中的測量點采樣規(guī)劃策略，提出了CAD/CAM/CAI 集成的概念，基于誤差預測結果，在產(chǎn)生最大誤差的可能性更大的區(qū)域中，采樣更多的測量點。

基于“曲面—曲線—點集—測量點集”的原則，將對葉片型面的測量簡化為對若干型線的測量時，可以使測量點采樣問題得到簡化。Zhao等[9]將對曲面的測量簡化為對截面線的測量。使用B樣條曲線來近似待測截面線，并將構建B樣條曲線所需的數(shù)據(jù)點作為測量點。雷志盛等[10]針對曲線測量點的分布進行了研究，提出一種斜率差自適應采樣方法，實現(xiàn)了測量點隨曲率變化而分布。程云勇等[11]從葉片彎扭變形分析的角度，對等弦高、等弧長、等參數(shù)3種采樣方法在配準精度和效率上的區(qū)別進行了對比分析。高國軍等[12]指出測量點數(shù)量和分布的確定不僅與加工過程的工藝能力和測量精度有關，還與被測表面的幾何形狀有關，重點采用試驗方法給出了不同曲率下測量點數(shù)量的確定方法。張現(xiàn)東等[13]提出二次采樣法，即先在參數(shù)方向進行等參數(shù)采樣，然后在曲率變化大的兩個點間插入中點，直到任意兩相鄰點間的曲率差值都小于既定值。但其葉型分割方法僅適用于圓弧型緣頭，而不適用于橢圓、雙曲線等二次曲線型緣頭。

對于未知的復雜曲面模型，Liu等[14]在等平面方法的基礎上，研究了針對點激光非接觸測量的自適應采樣策略。何雪明等[15]介紹了逆向工程中常見的測量點規(guī)劃方法，包括等步長測量法、圓弧插值法、三次多項式法等。在三次多項式法的基礎上提出曲率連續(xù)預測法（即五次多項式法），提高了待測點預測效率和精度，但仍無法避免多項式法的缺點。

綜上所述，自由曲面測量點采樣規(guī)劃研究主要解決測量點的數(shù)量和分布問題，僅考慮了零件的幾何特征，而忽略了零件加工后的實際狀態(tài)。Cho 等[8]討論了殘余高度對測量精度的影響，但僅限定在已加工表面的局部特征，沒有反映整體的誤差分布情況。

加工過程中，薄壁葉片呈弱剛性狀態(tài)，前緣、后緣及緣頭、葉身過渡區(qū)域容易發(fā)生尺寸超差、變形或其他缺陷。傳統(tǒng)的采樣規(guī)劃方法只考慮了葉片型面的幾何特征，而忽略了加工誤差的分布情況，導致在加工誤差很小的葉身區(qū)域中，測量點分布過于密集；而在加工誤差過大的緣頭、葉身過渡區(qū)域中，測量點分布異常稀疏。這直接導致葉片型線重要形狀信息丟失，更造成有限測量資源的浪費，限制三坐標測量機精密、高效測量性能的發(fā)揮。針對以上問題，提出一種測量點分區(qū)域采樣規(guī)劃方法。在測量點采樣過程中，既利用葉片型線的幾何特征，又兼顧葉片加工誤差的分布情況。首先，根據(jù)薄壁葉片的特點，提出測量點采樣規(guī)劃的原則；然后，基于所提出的原則，依次從測量區(qū)域劃分和測量點計算兩方面，對測量點分區(qū)域采樣規(guī)劃方法進行研究；最后，在實際葉片上，對所提出的方法進行試驗驗證和對比分析。

薄壁葉片型線測量點采樣規(guī)劃原則

1 幾何特征分析

從幾何角度進行分析，薄壁葉片型面為自由曲面。一張k×l次NURBS曲面定義為

其中，Pi,j為曲面的控制頂點；ωi,j為控制頂點的權因子；Ni,k(u)為曲面u方向上的第i個k次B樣條基函數(shù)；Nj,l(v)為曲面v方向上的第j個l次B樣條基函數(shù)。

由式（1）可以看出，NURBS曲面由控制點網(wǎng)Pi,j、權因子ωi,j及u、v方向的節(jié)點向量確定。用法向量平行于葉片積疊軸的平面截葉片型面，所得截面線稱為葉片型線，其方程為

由式（2）可知，葉片型線C(t)由控制頂點Pi、對應權因子ωi和p次樣條基函數(shù)Ni,p(t)唯一確定，且其控制頂點Pi共面。葉片型線C(t)的曲率為

葉片型線C(t)的撓率為

葉片型線為平面曲線，可知曲線的副法向量始終與曲線所在的平面垂直。因此，葉片型線的撓率τ= 0。

葉片型線由前緣、后緣、葉盆、葉背4 大部分構成，如圖1所示。

以某型號航空發(fā)動機薄壁葉片為例，根據(jù)式（3），得到薄壁葉片型線的曲率分布圖，如圖2所示。可知在參數(shù)t∈[0,1)上，薄壁葉片型線的曲率分布曲線整體平穩(wěn)，但在參數(shù)t∈[0.359,0.403) 與t∈[0.852,0.896)范圍內(nèi)急劇變化，并在參數(shù)t=0.379與t=0.877 處分別出現(xiàn)3.650 與6.695的曲率峰值。

根據(jù)表1薄壁葉片型線各部分與參數(shù)域的對應情況可知，葉盆和葉背區(qū)域在參數(shù)域中的占比為91.2%，占絕大部分。葉片型線在該區(qū)域中的曲率很小，且變化平緩。前緣和后緣區(qū)域在參數(shù)域中的占比僅為8.8%。葉片型線的最大曲率κmax和最小曲率κmin之比為837:1，這說明葉片型線的曲率在該區(qū)域中發(fā)生了劇烈的變化。需要說明的是，對于不同類型的薄壁葉片，雖然在幾何尺寸和型線參數(shù)上各不相同，但緣頭、葉身區(qū)域在參數(shù)域中的占比和曲率變化情況均具有相同的特點。

圖1 薄壁葉片型線各組成部分Fig.1 Components of thin-walled blade section

圖2 某型號航空發(fā)動機薄壁葉片型線曲率分布Fig.2 Curvature distribution of sampled thin-walled blade section

表1 某型號航空發(fā)動機薄壁葉片型線各部分與參數(shù)域的對應情況Table1 Relationship of sampled thin-walled blade components and parameter domains

2 加工誤差分布情況分析

薄壁葉片作為典型的薄壁結構零件，具有壁薄、彎扭、剛性差等特點。由葉片、刀具和機床組成的弱剛性工藝系統(tǒng)在數(shù)控加工時容易發(fā)生變形，從而產(chǎn)生較大的加工誤差。通過大量的葉片加工及測量試驗，郝煒[1]、藺小軍[16]、劉維偉[17]等學者發(fā)現(xiàn)薄壁葉片的加工誤差分布存在以下規(guī)律：

（1）加工后葉片的型線相比理論型線變短、變薄，其示意圖如圖3[1]所示。

（2）加工誤差在緣點處達到峰值，且從型線端部（即緣頭）到兩側(cè)葉身的變化過程中，呈非線性減小的趨勢。具體而言，在緣頭區(qū)域及緣頭、葉身過渡區(qū)域中，加工誤差的變化速度較慢，即維持較大的加工誤差值。而變化至葉身區(qū)域時，加工誤差的變化速度加快，即加工誤差值快速減小。以某型號航空發(fā)動機薄壁葉片為例，其加工誤差分布曲線如圖4[1]所示。其中，X軸表示測量位置，X軸上的零點與緣點的位置相對應，X軸正方向表示葉背側(cè)，X軸負方向表示葉盆側(cè)；Y軸表示加工誤差值。

圖3 加工后葉片緣頭部分型線與理論型線對比Fig.3 Comparison of manufactured and theoretical edge contours

3 薄壁葉片采樣規(guī)劃原則

通過前文分析可知，薄壁葉片型線的幾何特征與實際加工誤差的分布情況并不完全一致。因此，有必要針對這一問題，提出與之相適應的采樣規(guī)劃原則。

（1）測量點的分布應綜合考慮待測曲面的幾何特征和加工誤差分布情況，即要求測量點在曲率變化大、加工誤差大的區(qū)域分布密集；在曲率變化小、加工誤差小的區(qū)域分布疏松；而在曲率變化小、加工誤差大的區(qū)域分布較密集。

（2）在準確反映待測型面特征的前提下，測量點數(shù)量應盡可能少，以提高測量效率。

（3）采樣后，測量點所形成的拓撲網(wǎng)絡應較優(yōu)，以滿足后續(xù)測量數(shù)據(jù)處理與模型重構的要求。

薄壁葉片型線測量點分區(qū)域采樣規(guī)劃

在測量點采樣過程中，同時考慮葉片型面的幾何特征和加工誤差的分布情況。首先需要對測量區(qū)域進行劃分，然后對測量點的計算方法進行說明。

1 測量區(qū)域劃分

以前緣區(qū)域為例，首先計算葉片型線的緣點坐標，如圖5中O點所示。然后以緣點O為圓心，前緣區(qū)域長度LE及前緣、葉身過渡區(qū)域長度LET為半徑，作同心分割圓。將分割圓與葉片型線的交點作為采樣區(qū)域的分界點，分別記為P1、P2、P3及P4。

圖4 某型號航空發(fā)動機薄壁葉片加工誤差分布Fig.4 Machining error distribution of sampled thin-walled blade

類似地，對葉片型線的后緣側(cè)進行計算，得到后緣側(cè)分界點。利用測量區(qū)域的分界點，將葉片型線劃分為前緣、前緣葉盆過渡、前緣葉背過渡、葉盆、葉背、后緣葉背過渡、后緣葉盆過渡、后緣共8個采樣區(qū)域。

為了實現(xiàn)測量區(qū)域分界點與葉片型線參數(shù)的對應，需要計算分界點的參數(shù)。已知NURBS 曲線C(t)上某點P=(x,y,z)，計算其對應參數(shù)t0，使得C(t0)=P。如果曲線次數(shù)p≤4，則對應參數(shù)可用解析式精確求解。求解步驟為：

（1）利用曲線的強凸包性質(zhì)，確定曲線的某幾段可能包含點P；

（2）利用節(jié)點插入方法，提取各個候選的曲線段，并將其轉(zhuǎn)化為冪基形式；

（3）對于每一曲線段，可列出包含未知參數(shù)t的3個p次多項式方程，如果這3個方程具有1個共同的解，則點P一定位于該曲線段上。

測量區(qū)域劃分結果如圖6所示（其中，黃色表示葉身區(qū)域、藍色表示過渡區(qū)域，紅色表示緣頭區(qū)域）。

2 測量點計算

基于前文計算得到的測量區(qū)域分界點參數(shù)，在每個區(qū)域內(nèi)部進行等參數(shù)采樣。對于逐點測量的情況，具體算法描述如下：

圖5 測量區(qū)域劃分過程示意圖Fig.5 Process of measurement area division

Step 1：對于第i個測量區(qū)域(i=0,1,…,7)，將起點參數(shù)記為tsi，終點參數(shù)記為tei，且tsi

Step 2：為了保證測量精度，采用文獻[18]中的方法計算測量點數(shù)量Ni，并將測量點對應的參數(shù)記為tij，其中j=0,1,…,Ni–1。通常情況下，測量點對應的曲線參數(shù)值tij會隨j值的遞增而依次遞增，但由于葉片型線為封閉參數(shù)曲線，參數(shù)0點與參數(shù)1點相互重疊。當重疊點位于測量區(qū)域內(nèi)部時，參數(shù)值tij的變化趨勢會發(fā)生變化。因此，需要分以下兩種情況進行討論：

（1）當tei–tsi<0.5時，重疊點位于測量區(qū)域之外。此時，取參數(shù)步長測量點對應曲線參數(shù)tij=tsi+j·Δt。

（2）當tei–tsi>0.5時，重疊點位于測量區(qū)域之內(nèi)。此時，取參數(shù)步長測量點對應曲線參數(shù)tij=tsi+j·Δt，且當tij≥1時，令tij=tij–1。

Step 3：根據(jù)式（3），計算參數(shù)集合ti={tij|tij∈[tsi,tei),j=0,1,…,Ni–1}對應的點集Pi。

按上述方法對各采樣區(qū)域進行計算，完成測量點分區(qū)域采樣。算法流程如圖7所示。對于連續(xù)掃描測量的情況，可直接根據(jù)上文中測量區(qū)域劃分部分計算得到的分界點信息計算連續(xù)掃描控制參數(shù)，對不同的測量區(qū)域選擇對應的測量點間距即可。

圖6 測量區(qū)域劃分結果Fig.6 Result of measurement area division

圖7 測量點分區(qū)域采樣流程Fig.7 Flow chart of area division method for measurement point sampling

算法驗證與對比分析

1 算法驗證

根據(jù)本文所提方法，已經(jīng)開發(fā)出一套基于UG NX 平臺和OPEN/API接口的葉片/整體葉盤測量編程軟件，軟件簡稱為NPU CMM。以某型號航空發(fā)動機薄壁葉片為例，使用該軟件進行算法驗證。分別采用等參數(shù)采樣方法、等弦高差采樣方法和本文所提方法，對同一葉片型線進行測量點采樣。測量點個數(shù)均為233個。對比3種采樣方法所得到的結果，如圖8所示。

圖8 3種采樣方法所得結果比較Fig.8 Results comparison of three different sampling methods

等參數(shù)方法的采樣結果如圖8（a）所示?？梢钥闯?，該方法獲得的測量點近似呈均勻分布的狀態(tài)，在緣頭與葉身區(qū)域的分布密度無明顯差別，并沒有反映出葉片型線的幾何特征。這是由等參數(shù)采樣方法的內(nèi)在特點決定的。

等弦高差方法的采樣結果如圖8（b）所示。其中，公差設置為0.001mm?？梢钥闯?，等弦高差方法獲得的測量點在緣頭處分布密集，而在葉身處分布稀疏，基本反映出葉片型線的幾何特征。但在加工誤差過大的緣頭、葉身過渡區(qū)域中，沒有分布足夠多的測量點。此外，在曲率變化平緩，且加工精度較高的葉身部分，測量點的分布反而過密。因此，該方法無法反映出薄壁葉片加工誤差的分布情況。

本文所提方法的采樣結果如圖8（c）所示。其中，測量區(qū)域分界點參數(shù)值分別為0.023，0.478，0.501，0.508，0.530，0.970，0.993和0.999?？梢钥闯觯跍y量點個數(shù)相同的條件下，本文所提方法對曲率變化劇烈且加工誤差過大的緣頭及緣頭、葉身過渡區(qū)域給予了更高的權重。而在保證測量精度的同時，對曲率變化平緩且加工誤差小的葉身部分給予更低的權重。該方法既能反映出葉片型線的幾何特征，又能反映出葉片加工誤差的分布情況，并使有限的測量資源得到充分利用。此外，還可以保證測量點布局具有嚴格的拓撲結構，為后續(xù)測量數(shù)據(jù)處理和模型重構提供便利。

2 算法對比分析

根據(jù)前文算法驗證結果，計算葉片型線各區(qū)域測量點占測量點總數(shù)的百分比，如圖9所示（其中，灰色表示葉身區(qū)域，黃色表示前緣區(qū)域，藍色表示后緣區(qū)域）。

可以看出，對于等參數(shù)方法，葉身區(qū)域測量點占比高達94.8%，而緣頭區(qū)域測量點占比僅為5.2%，反映出各區(qū)域測量點所占比重與該區(qū)域在參數(shù)域中的比重相一致的特點。顯然，這種測量點分布狀態(tài)沒有反映出薄壁葉片型線的幾何特征。

對于等弦高差方法，緣頭區(qū)域測量點占比增加至37.8%。雖然較等參數(shù)法有所提升，并在一定程度上反映了葉片型線的幾何特征，但葉身區(qū)域測量點仍占主要部分（62.2%），并沒有反映出薄壁葉片加工誤差的分布情況。

本文所提方法考慮了薄壁葉片加工誤差的分布情況，對于加工誤差過大的緣頭及緣頭、葉身過渡區(qū)域，測量點占比高達68.7%，而對于加工誤差較小的葉身區(qū)域，測量點占比則縮減至31.3%。

算法分析結果表明，在測量效率方面，本文所提方法既利用葉片型線的幾何特征，又兼顧葉片加工誤差的分布情況。

圖9 3種不同方法得到的測量點分布對比Fig.9 Comparison of point distribution of three different sampling methods

在測量精度方面，與等參數(shù)法和等弦高差法相比，本文所提方法獲得的測量點布局能更準確地反映薄壁葉片實際誤差情況，避免葉片型線重要形狀信息丟失，尤其是加工誤差大，卻常被傳統(tǒng)測量點采樣方法忽略的前、后緣過渡區(qū)域的形狀信息。該測量點布局還具有嚴格的拓撲結構，能避免測量數(shù)據(jù)處理和模型重構時出現(xiàn)的異常情況，提高測量數(shù)據(jù)處理精度，進而提高測量精度。

結論

（1）結合薄壁葉片的幾何特征和加工誤差分布情況，提出了薄壁葉片測量點采樣規(guī)劃的原則。

（2）根據(jù)所提出的采樣規(guī)劃原則，進行了測量區(qū)域劃分和測量點計算。

（3）試驗驗證及對比分析結果表明，對于同一葉片型線，在測量點數(shù)量相同的情況下，加工誤差過大的緣頭及緣頭、葉身過渡區(qū)域測量點所占比重從37.8%提升至68.7%，而加工誤差較小的葉身區(qū)域測量點所占比重從62.2%降低至31.3%。所提方法不僅能夠避免葉片輪廓重要形狀信息丟失，還使得有限的測量資源得到充分的利用，提高測量效率。

此外，基于本文所提方法開發(fā)的葉片/整體葉盤測量編程軟件NPU CMM 已應用于工程實際，提高了測量效率和測量精度。