一類奇攝動(dòng)高階方程非線性多點(diǎn)邊值問題

劉 燕，杜冬青

(1.安徽師范大學(xué)皖江學(xué)院 電子工程系，安徽 蕪湖 241000； 2.江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院徐州財(cái)經(jīng)分院 基礎(chǔ)部，江蘇 徐州 221000)

0 引言

源于天體力學(xué)的奇異攝動(dòng)理論已經(jīng)成為處理非線性問題的重要工具, 近年來, 關(guān)于非線性奇攝動(dòng)邊值問題已經(jīng)得到廣泛的研究[1～10]。其中文獻(xiàn)[1～3]分別研究了二階、三階、四階非線性微分方程的奇攝動(dòng)兩點(diǎn)邊值問題。多點(diǎn)邊值問題的存在性結(jié)果由Il’in和Moiseev[11,12]發(fā)起, 隨后, 一些作者討論了多點(diǎn)邊值條件的非線性微分方程的奇攝動(dòng)問題。如文獻(xiàn)[4～5]研究了具有三點(diǎn)邊值條件的二階微分方程的奇攝動(dòng)問題， 文獻(xiàn)[6]討論了一類具有三點(diǎn)邊值條件的三階微分方程的奇攝動(dòng)問題，利用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理、格林函數(shù)和上下解法得到邊值問題解的存在性和漸近估計(jì)，文獻(xiàn)[7]采用一種新的Liouville-green變換得到奇攝動(dòng)二階微分方程多點(diǎn)邊值問題的漸近解，文獻(xiàn)[8]利用微分不等式理論和Leray-Schauder度理論，研究了一類三階微分方程的多點(diǎn)邊值條件的奇攝動(dòng)問題，得到解的存在唯一性和漸近估計(jì)結(jié)果，文獻(xiàn)[9]在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上將線性多點(diǎn)邊值條件推廣到非線性多點(diǎn)邊值條件，討論了一類三階微分方程的非線性多點(diǎn)邊值條件的奇攝動(dòng)問題，并將標(biāo)量邊值問題擴(kuò)展到向量邊值問題[10]。受到以上工作的啟發(fā)，本文考慮如下一類更為一般的n階微分方程的附以非線性多點(diǎn)邊值條件的奇攝動(dòng)問題。

εy(n)+f(t,y,y′,…,y(n-1))=0,0

(1)

y(i)(0)=gi(y(i)(t1),y(i)(t2),…,y(i)(tm)),i=0,1,…,n-2

(2)

y(n-2)(1)=gn-1(y(n-2)(t1),y(n-2)(t2),…,y(n-2)(tm))

(3)

其中0

現(xiàn)作如下假設(shè):

[H1]問題(1)～(3)的退化問題

(4)

(5)

在t∈[0,1]上有充分光滑的解Y0=Y0(t);[H2]函數(shù)f(t,y,y′,…,y(n-1)),關(guān)于其變?cè)谙鄳?yīng)區(qū)域內(nèi)充分光滑,并存在正常數(shù)δ0，δ1使得

fy(n-1)≤-δ0,fy(k)>0(k=0,1,…,n-3), 且

[H3]n-1階線性微分方程

具有n-1個(gè)線性無關(guān)的解y1(t),y2(t),…,yn-1(t)∈Cn[0,1],滿足

其中

[H4]函數(shù)gi(y1,y2,…,ym)(i=0,1,…,n-1)關(guān)于其變?cè)谙鄳?yīng)區(qū)域內(nèi)充分光滑, 且存在正常數(shù)l1,l2使得giyl≥ 0(i=0,1,…,n-1;l=1,2,…,m),

1 問題的外部解

設(shè)外部解的形式為

(6)

將(6)式代入(1)和(2)式, 可得退化問題(4)～(5), 以及

(7)

(8)

其中Fj-1是有Y0,Y1,…,Yj-1依次確定的函數(shù),Gj-1是依次確定的常數(shù), 由假設(shè)[H1][H3]和(7) (8)式可依次確定Yj(t)(j=0,1,2,…) ,得到問題的外部解。

2 邊界層校正項(xiàng)

由假設(shè)可知, 邊值問題(1)～(3)在x=1附近具有邊界層項(xiàng), 引進(jìn)伸展變量

令

y=Y(t,ε)+εn-2V(ζ,ε)

(9)

其中

(10)

且其具有性質(zhì)

(11)

將(6)(9)(10)式代入(1)(3)式得

(12)

(13)

(14)

(15)

引進(jìn)光滑函數(shù)Ф(t)∈C∞[0,1], 使得

其中p(t)是個(gè)多項(xiàng)式函數(shù),σ為足夠小的正常數(shù), 令

(16)

由此得到問題(1)～(3)的N階形式漸近解。

3 主要結(jié)果及證明

定義1[13]若函數(shù)α(t),β(t)∈Cn-1[0,1]∩Cn(0,1)滿足

α(n)(t)+f(t,α(t),α′(t),…,α(n-1)(t))≥0,0

α(i)(0)≤gi(α(i)(t1),α(i)(t2),…,α(i)(tm)),i=0,1,…,n-2

α(n-2)(1)≤gn-1(α(n-2)(t1),α(n-2)(t2),…,α(n-2)(tm))

β(n)(t)+f(t,β(t),β′(t),…,β(n-1)(t))≤0,0

β(i)(0)≥gi(β(i)(t1),β(i)(t2),…,β(i)(tm)),i=0,1,…,n-2

β(n-2)(1)≤gn-1(β(n-2)(t1),β(n-2)(t2),…,β(n-2)(tm))

則稱α(t),β(t)分別為邊值問題

u(n)+f(t,u,u′…,u(n-1))=0,0

(17)

u(i)(0)=gi(u(i)(t1),u(i)(t2),…,u(i)(tm)),i=0,1,…,n-2

(18)

u(n-2)(1)=gn-1(u(n-2)(t1),u(n-2)(t2)，…,u(n-2)(tm))

(19)

的下解和上解。

定義2[13]設(shè)α(t),β(t)∈Cn-1[0,1]滿足

α(i)(t)≤β(i)(t),0≤t≤1,i=0,1,…,n-2

函數(shù)f(t,x0,…,xn-1)稱為關(guān)于函數(shù)α(t),β(t)滿足Nagumo條件, 如果

ξ=maxβ(n-2)(1)-α(n-2)(0),β(n-2)(0)-α(n-2)(1)

存在常數(shù)C=C(α,β)且

|f(t,x0,…,xn-1)|≤w(t)φ(|xn-1|)

且

其中, 當(dāng)p=∞時(shí),(p-1)/p≡1,

引理1[13]若邊值問題(17)～(19)滿足以下條件

1) 當(dāng)(t,x0,…,xn-1)∈(0,1)×n時(shí),f(t,x0,…,xn-1)關(guān)于變量x0,…,xn-3不減;

2) 當(dāng)(y1,…,ym) ∈m,gi(y1,…,ym)(i=0,…,n-1)關(guān)于每個(gè)自變量不減;

3) 存在下解α(t)和上解β(t), 且當(dāng)t∈[0,1]時(shí), 滿足

α(i)(t)≤β(i)(t),i=0,1,…,n-2

4)f(t,x0,…,xn-1)關(guān)于α(t),β(t)滿足Nagumo條件。

則邊值問題(17)～(19)至少存在一個(gè)解u(t)滿足

α(i)(t)≤u(i)(t)≤β(i)(t),|u(n-1)(t)|≤C,t∈[0,1],i=0,1,…,n-2

定理1 在假設(shè)[H1]～[H4]成立下, 則存在充分小的正數(shù)ε0, 使得對(duì)任意的0<ε<ε0, 邊值問題(1)～(3)有解y=y(t,ε)∈Cn[0,1],滿足

證明 構(gòu)造輔助函數(shù)

α(t,ε)=yN(t,ε)-γ(1+t)n-2εN+1β(t,ε)=yN(t,ε)+γ(1+t)n-2εN+1

其中γ為待定的充分大的正常數(shù)。

顯然有

α(i)(t,ε)≤β(i)(t,ε),t∈[0,1],i=0,1,…,n-2

另外, 由微分中值定理, 存在正常數(shù)N1,N2,使得

β(i)(0)-gi(β(i)(t1),β(i)(t2),…,β(i)(tm)),i=0,1,…,n-2

=(l1γ-N1)εN+1

以及

β(n-2)(1)-gn-1(β(n-2)(t1),β(n-2)(t2),…,β(n-2)(tm))

=(l2γ-N2)εN+1

β(i)(0)≥gi(β(i)(t1),β(i)(t2),…,β(i)(tm))

β(n-2)(1)≥gn-1(β(n-2)(t1),β(n-2)(t2),…,β(n-2)(tm))

類似地, 只要γ充分大，就有

α(i)(0)≤gi(α(i)(t1),α(i)(t2),…,α(i)(tm))

α(n-2)(1)≤gn-1(α(n-2)(t1),α(n-2)(t2),…,α(n-2)(tm))

最后,

εβ(n)+f(t,β,β′,…,β(n-1))

當(dāng)t∈[0,σ]時(shí), 由外部解的構(gòu)造知存在正常數(shù)N3,使得

=(N3-δ1γ)εN+1

當(dāng)t∈[1-σ,1]時(shí), 由外部解和右邊界層的構(gòu)造知存在正常數(shù)N4,使得

N4εN+1-δ1γεN+1

=(N3+N4-δ1γ)εN+1

當(dāng)t∈[σ,1-σ]時(shí), 由于每個(gè)Vj(ζ)(j=0,1,2,…)具有邊界層性態(tài), 故存在正常數(shù)N5和充分小的正數(shù)ε0,使得

=(N3+N5-δ1γ)εN+1

就有εβ(n)+f(t,β,β′,…,β(n-1))≤0,0

類似可證, 當(dāng)t∈[0,1]時(shí), 只要γ充分大, 有

εα(n)+f(t,α,α′,…,α(n-1))≥0,0

由引理1可知，對(duì)于充分大的γ, 當(dāng)0<ε<ε0,邊值問題(1)～(3)有解y(t,ε)∈Cn[0,1],滿足

定理證畢。