黑洞的面積量子化

曹興偉

一、黑洞

在上個(gè)世紀(jì)，量子引力理論的必要性已得到廣泛的認(rèn)可。然而，在一系列問題的解釋上我們依然缺少一個(gè)完整的量子引力理論。但我們堅(jiān)信，在試圖闡明引力的量子理論上黑洞扮演著重要角色，就好比在量子力學(xué)早期發(fā)展中原子所扮演的角色一樣。

黑洞是廣義相對(duì)論所預(yù)言的一種特殊天體，根據(jù)愛因斯坦的引力場(chǎng)方程，一團(tuán)足夠致密的物質(zhì)或能量能夠?qū)r(shí)空彎曲到撕裂的極端程度，這時(shí)就形成了黑洞。然而，最早的黑洞思想?yún)s萌發(fā)于經(jīng)典力學(xué)。法國大數(shù)學(xué)家拉普拉斯和英國約翰·米歇爾對(duì)黑洞做出了最早的預(yù)言。拉普拉斯曾寫道：“一個(gè)密度像地球，直徑為太陽250倍的發(fā)光星體，在其引力的作用下，將不允許任何光線到達(dá)我們這兒。由于這個(gè)原因，宇宙中最亮的天體，對(duì)于我們來說可能是不可見的”。[1]從經(jīng)典力學(xué)的角度來說，宇宙中可能存在質(zhì)量足夠大且足夠致密的天體，它們產(chǎn)生強(qiáng)大的引力場(chǎng)，就連光線都逃不了多遠(yuǎn)就被它們的引力場(chǎng)吸收回去，以至于我們無法觀測(cè)到它們，并把它們稱為“暗星”。

1912年，愛因斯坦發(fā)表廣義相對(duì)論后不久，德國物理學(xué)家卡爾·史瓦西就得出一個(gè)靜態(tài)球?qū)ΨQ的物體周圍真空中引力場(chǎng)的解。這個(gè)解的兩個(gè)奇異區(qū)從時(shí)空間隔[1]

（2）可以看出：出現(xiàn)奇點(diǎn)（rg 稱為引力半徑或史瓦西半徑）。在相對(duì)論沒有產(chǎn)生的時(shí)代，拉普拉斯根據(jù)牛頓理論也得到與之一樣的結(jié)果。他認(rèn)為光子的動(dòng)能為：，光子勢(shì)能為：。故可以考慮到當(dāng)時(shí)，得到“暗星”產(chǎn)生的條件為：。這是由于拉普拉斯的計(jì)算中有兩個(gè)錯(cuò)誤相互抵消的結(jié)果，一是光子的動(dòng)能為：Ek=mc2而不是，二是引力場(chǎng)應(yīng)該由廣義相對(duì)論來描述，而不是牛頓的萬有引力定律。

二、黑洞面積譜的提出

黑洞視界面面積的量子化也是一個(gè)由來已久的問題，率先研究黑洞量子化問題的是貝肯斯坦，早在他的開創(chuàng)性工作中就提出了黑洞的量子化。他通過對(duì)非極端黑洞的大量觀察和分析，發(fā)現(xiàn)黑洞的視界面相當(dāng)于一個(gè)經(jīng)典的絕熱不變量。所謂絕熱不變量[3]，是指系統(tǒng)的哈密頓量在隨時(shí)間周期緩慢變化時(shí)保持不變的量。例如，在經(jīng)典力學(xué)中，對(duì)于一個(gè)一維勢(shì)阱，其中是隨時(shí)間t做緩慢變化的參數(shù)，考慮一個(gè)在勢(shì)阱中周期性運(yùn)動(dòng)的粒子，由于與時(shí)間相關(guān)，顯然能量不守恒

但E與的組合量A（近似）保持不變

其中，且哈密頓量：。對(duì)于一般情況，艾倫菲斯特指出，對(duì)于形如的運(yùn)動(dòng)積分都是絕熱不變量，同時(shí)根據(jù)Bohr-Sommerfeld量子化條件，任何經(jīng)典絕熱不變量對(duì)應(yīng)于有分立譜的量子實(shí)體，即

貝肯斯坦根據(jù)艾倫菲斯特原理[6]，任何經(jīng)典的絕熱量對(duì)應(yīng)于有離散譜的量子實(shí)體這一規(guī)律，他推測(cè)，非極端黑洞的視界面面積有分立的本征值，同時(shí)他還進(jìn)一步猜想相鄰本征值間的間隔為一定值。

貝肯斯坦和Hod對(duì)黑洞量子化條件的分析類似于我們所熟知的氫原子基態(tài)能量下限的半經(jīng)典半量子的求法。首先，利用赫利斯托祖的可逆過程的半經(jīng)典理論有益于我們的研究。赫利斯托祖研究表明：非極端黑洞在同化一個(gè)中性點(diǎn)的粒子時(shí)，把粒子放在它運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)折處和黑洞的視界處是可逆的，在這樣的情景下黑洞的視界面積不會(huì)發(fā)生改變。然而，正如貝肯斯坦在他的開創(chuàng)性工作中指出的質(zhì)點(diǎn)在量子理論中是不合理的。換而言之，粒子不能同時(shí)在運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)折處和黑洞的視界上，因?yàn)檫@違背了海森堡的量子不確定原理。

在量子力學(xué)中，由于經(jīng)典的點(diǎn)粒子不再適用，作為量子理論的讓步，貝肯斯坦假設(shè)粒子的半徑為一個(gè)有限值 b ，根據(jù)艾倫菲斯特定理，粒子的質(zhì)心遵循經(jīng)典軌跡。貝肯斯坦還得出，黑洞對(duì)一個(gè)有限大小的中性粒子的同化不可避免地導(dǎo)致視界面面積的增加。當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)到質(zhì)心距離視界面 b 處時(shí)，黑洞捕獲這一粒子導(dǎo)致黑洞視界面面積增加有最小值[2]：

其中A 是黑洞視界面面積，μ是粒子靜止質(zhì)量。對(duì)于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)半徑為 b = 0，人們發(fā)現(xiàn)ΔAmin? =? 0。作為一個(gè)可逆過程，這是赫利斯托祖的結(jié)果。然而，粒子受到量子不確定性的約束，相對(duì)論粒子的半徑必須不小于它的康普頓波長，即。于是，對(duì)于非極端不帶電黑洞，吸收一個(gè)中性粒子而導(dǎo)致黑洞視界面積增加的最小值為：

是普朗克長度（一般取G = c = 1）。赫利斯托祖的可逆過程及貝肯斯坦的公式（7）只適用于非極端黑洞。并且公式（7）也只是適用于中性粒子，所以對(duì)于非極端黑洞我們得找出一個(gè)更加普遍的黑洞視界面積增加的下限。最近Hod在分析一個(gè)黑洞對(duì)帶電粒子的捕獲時(shí)，發(fā)現(xiàn)了類似的黑洞視界面積增加的下限。黑洞對(duì)帶電粒子的同化引起的視界面積增加的下限為[4]：

我們已知道，對(duì)于中性粒子貝肯斯坦根據(jù)海森堡的不確定原理推翻了赫利斯托祖的可逆過程，而對(duì)于帶點(diǎn)粒子必須是另外一種物理機(jī)制，還要用到真空極化效應(yīng)。值得我們關(guān)注的是，即使他們的結(jié)果來源于不同的物理機(jī)制和思想，但有的方面卻是統(tǒng)一的，比如得出黑洞視界面積增加的下限都與黑洞的參數(shù)（質(zhì)量、電荷、角動(dòng)量）沒有關(guān)系。也就是說黑洞對(duì)粒子的同化而引起的視界面面積的增加可以表示為：

它是普適的，（ΔA）min可以被認(rèn)為是視界面面積本征值之間的間距。因此，得出結(jié)論，認(rèn)為黑洞的視界面面積量子化條件應(yīng)該是這樣的形式的：

其中是一個(gè)無量綱常數(shù)。

三、從經(jīng)典的角度對(duì)黑洞面積量子化的思考

對(duì)于黑洞面積量子化有：

α為無量綱常數(shù)。角動(dòng)量量子化條件：

從角動(dòng)量量子化得到黑洞面積量子化必須滿足：

這里我們的假設(shè)是基于黑洞面積量子化的?？紤]到引力的形式由：

給出。結(jié)合（19）式，我們發(fā)現(xiàn)：

很明顯，引力與m成反比，與r成正比。所以這種嘗試是不正確的。

參考文獻(xiàn)：

[1]J. D. Bekenstein， Phys. Rev. D 7， 2333 （1973）.

[2]俞允強(qiáng).廣義相對(duì)論引論[M]. 第二版.北京大學(xué)出版社，2002，84.