從旋轉(zhuǎn)視角看待全等三角形

于方舟

【摘 要】 旋轉(zhuǎn)是圖形運(yùn)動(dòng)中的三種全等變換之一，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)之后的圖形與原圖形是全等的，因此，可以借助旋轉(zhuǎn)變化的方法幫助我們識(shí)別復(fù)雜圖形中的全等圖形。本文主要從簡(jiǎn)單的旋轉(zhuǎn)模型開始，以具體題型為例，尋找復(fù)雜圖形中所具有的簡(jiǎn)單模型，進(jìn)一步理解旋轉(zhuǎn)變化。

【關(guān)鍵詞】 旋轉(zhuǎn)變化;全等圖形;三角形

全等三角形是初中幾何的重點(diǎn)內(nèi)容，旋轉(zhuǎn)變換是初中數(shù)學(xué)三大變換之一，一道證明三角形全等的題目，如果從旋轉(zhuǎn)變換的視角去尋找三角形全等的條件，往往會(huì)使得尋找的目標(biāo)更為明確，對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)也更為清晰。

一、旋轉(zhuǎn)模型

如圖1，在等邊三角形ABC和等邊三角形ADE中，AB和AD在同一條直線上，連接BE、CD，分別與AC和AE相交于點(diǎn)G、H，BE和CD的交點(diǎn)記作點(diǎn)F。求證：△ABE≌△ACD。

分析：本題是旋轉(zhuǎn)的基本模型，由題意：△ABC和△ADE都是等邊三角形，可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=60°，同時(shí)加上公共角∠GAH，即可得∠BAE=∠CAD，即能證得△ABE≌△ACD（SAS）。在這一問題中，△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°與△ACD重合，因此尋找對(duì)應(yīng)線段和對(duì)應(yīng)角就顯得更為明顯。 我們可以從這一問題中，歸納出一個(gè)基本的旋轉(zhuǎn)模型，如圖2，兩個(gè)三角形繞著一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)即可重合，利用旋轉(zhuǎn)變換的視角，即能化繁為簡(jiǎn)，在復(fù)雜的幾何圖形中，分辨出基本模型。

二、旋轉(zhuǎn)模型的適當(dāng)變形

如圖3，以△ABC的兩邊AB、AC為邊，分別向外作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接BE、CD，相交于點(diǎn)F，請(qǐng)回答以下問題：（1）判斷BE與CD之間的大小關(guān)系;（2）判斷∠BFD與∠BAD之間的大小關(guān)系。

分析：在這個(gè)圖形中，可以將△ABE繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADC，因此解決這個(gè)問題，首先證明△ABE≌△ADC（SAS），即可得到BE=CD。在判斷∠BAD與∠BFD的大小關(guān)系時(shí)，可以利用圖形中存在的“8字模型”。在△ADG和△FGB中，∠AGD=∠FGB（對(duì)頂角），∠ADG=∠FBG（由三角形全等得到對(duì)應(yīng)角相等），因此，∠BFG=∠DAG=60°?！?字模型”也是由旋轉(zhuǎn)模型得到的一個(gè)結(jié)論，通過三角形全等，得到一組對(duì)應(yīng)角相等，再根據(jù)對(duì)頂角相等，即可得到兩個(gè)三角形中的另外一組角相等，由“8字模型”，可以很快找到度數(shù)相等的角。

接下來，對(duì)于圖3再作適當(dāng)變形，通過旋轉(zhuǎn)模型，解決問題。

如圖4，以△ABC的AB、AC為腰，向三角形外作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，頂角∠BAD=∠CAE=α，連接BE、CD，相交于點(diǎn)F，連接AF，請(qǐng)證明以下結(jié)論：（1）∠BFD=α;（2）∠DFA=∠EFA。

分析：（1）由旋轉(zhuǎn)模型，很容易得出△ABE≌△ADC，從而得到對(duì)應(yīng)角相等，即∠ABE=∠ADC，再由“8字模型”，可以得到∠BFD=∠BAD=α。

（2）要證∠DFA=∠EFA，可證∠DFA與∠EFA所在的三角形全等。△ABE與△ADC通過旋轉(zhuǎn)可以重合，那么這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)元素也是始終相等的，因此可以聯(lián)想到，旋轉(zhuǎn)三角形中的重要對(duì)應(yīng)線段——高線，從而構(gòu)造全等三角形。過點(diǎn)A作AG⊥CD于點(diǎn)G，AH⊥BE于點(diǎn)H，如圖4。可以得到AG=AH（AG、AH可以看成是△ABE與△ADC對(duì)應(yīng)邊的高，因此它們是相等的;也可通過證明△ABH≌△ADG（AAS），得到AG=AH。在Rt△AGF和Rt△AHF中，AG=AH，AF=AF，所以Rt△AGF≌Rt△AHF（HL）。所以∠AFG=∠AFH，即∠DFA=∠EFA。

思維拓展：如圖5，以△ABC的AB、AC為邊向三角形外作正方形ABDE、ACFG，連接BG、CE，相交于點(diǎn)H。證明：（1）BG⊥CE;（2）∠EHA=∠GHA。

三、模型方法遷移，解決難題

有了上述問題做鋪墊，解決下面的問題就會(huì)顯得得心應(yīng)手。

如圖6，已知△ABC和△DCE均是等邊三角形，點(diǎn)B，C，E在同一條直線上，AE與BD相交于點(diǎn)H，AE與CD相交于點(diǎn)G，AC與BD相交于點(diǎn)F，連接HC，F(xiàn)G，有下列結(jié)論：①AE=BD;②AG=BF;③FG∥BE;④∠BHC=EGC。其中正確的結(jié)論是_。

分析：在此圖形中，可將△BCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，即可與△ACE重合，因此，這是一個(gè)典型的旋轉(zhuǎn)模型。結(jié)論①易證;同樣，可將△BCF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，即可與△ACG重合，故有AG=BF，結(jié)論②正確;由△BCF≌△ACG，有CG=CF，又∠FCG=60°，所以△CFG是等邊三角形，所以∠CFG=∠ACB=60°，所以FG∥BE，結(jié)論③正確;要證明∠BHC=∠EGC，由上述探究得到啟發(fā)，過點(diǎn)C作CM⊥BD于點(diǎn)M，CN⊥AE于點(diǎn)N，如圖6。CM、CN是旋轉(zhuǎn)模型中兩個(gè)全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高，故CM=CN，易證Rt△CMH≌Rt△CNH（HL），所以∠CHM=∠CHN，即∠BHC=∠EHC，結(jié)論④正確。所以，正確的結(jié)論有①②③④。

通過對(duì)上述旋轉(zhuǎn)模型的分析和變形，相信我們對(duì)此類問題不會(huì)再感到迷惑了吧，我們接下來就挑戰(zhàn)一下自己吧！

如圖7，在銳角三角形ABC中，AH是BC邊上的高，分別以AB、AC為一邊，向外作正方形ABDE和ACFG，連接CE、BG和EG，EG與HA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，下列結(jié)論：①BG=CE;②BG⊥CE;③∠EAM=∠ABC;④AM是△AEG的中線。其中正確的結(jié)論是_。

思路點(diǎn)撥：由上述探究，可知①②正確。 過點(diǎn)E、G分別作直線HM的垂線，垂足分別記作P、Q，如圖7。易證Rt△ABH≌Rt△EAP，所以∠EAM=∠ABC，AH=EP;同樣方法證明Rt△ACH≌Rt△EAQ，所以AH=EQ，因此EP=EQ，接下來可證Rt△EPM≌Rt△GQM，得到EM=GM，即AM是△AEG的中線。因此，③④正確。

總結(jié)：旋轉(zhuǎn)模型可以幫助我們?cè)趶?fù)雜圖形中抽象出基本圖形，迅速找到圖形中存在的全等三角形，利用旋轉(zhuǎn)圖形的對(duì)應(yīng)線段也是相等的，可以在添加輔助線時(shí)給予啟發(fā)，構(gòu)造全等圖形。 旋轉(zhuǎn)思想，可以幫助我們化繁為簡(jiǎn)，切中圖形要點(diǎn)，使困難問題迎刃而解。