零膨脹計數(shù)資料幾種模型方法的比較研究*

復(fù)旦大學(xué)公共衛(wèi)生學(xué)院流行病學(xué)教研室(200032) 吳學(xué)福 劉振球 吳明山 方綺雯 袁黃波 張鐵軍

【提 要】 目的 探討處理零膨脹計數(shù)資料的幾種模型之間的比較及其應(yīng)用。方法 在R語言中，分別用Poisson回歸、負二項回歸、零膨脹模型和hurdle模型來擬合66歲以上老年人醫(yī)療保健需求的數(shù)據(jù)，并通過似然比檢驗、Vuong檢驗和AIC、BIC的比較，對模型進行評估。結(jié)果 零膨脹負二項模型和負二項hurdle回歸模型對數(shù)據(jù)的擬合效果優(yōu)于其他回歸模型，負二項hurdle模型的擬合結(jié)果與數(shù)據(jù)更接近，其擬合結(jié)果顯示老年人住院天數(shù)越長、患有慢性病數(shù)量越多、受教育年數(shù)越久、參加私人保險，其訪問醫(yī)療診所的次數(shù)越多，而自評健康狀況良好、男性的老年人醫(yī)療診所訪問的次數(shù)較少，即醫(yī)療保健需求的次數(shù)較少。結(jié)論 零膨脹負二項回歸模型和負二項hurdle模型處理零過多、過離散數(shù)據(jù)的效果優(yōu)于一般的計數(shù)模型；而在零觀測值相對較少的情況下，用負二項hurdle模型可能更合適。

醫(yī)學(xué)研究中經(jīng)常會遇到某事件發(fā)生次數(shù)的資料中含有大量的零，即許多觀察個體在單位時間、單位體積內(nèi)未觀察到相應(yīng)事件的發(fā)生[1]。這些資料零觀測值出現(xiàn)的概率遠遠超出相同條件下標準計數(shù)模型(如Poisson回歸和負二項回歸模型)能夠預(yù)期的范圍，使模型的方差遠大于期望，這種現(xiàn)象稱為零膨脹(zero-inflated)現(xiàn)象。零膨脹現(xiàn)象一直受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注和研究，當計數(shù)資料中存在零膨脹現(xiàn)象時，如果繼續(xù)使用Poisson回歸或負二項回歸模型來擬合數(shù)據(jù)，所得結(jié)果可能失真。近年來，hurdle回歸模型和零膨脹回歸模型不斷發(fā)展，在醫(yī)學(xué)、金融、農(nóng)業(yè)和社會科學(xué)等研究領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用，逐漸成為分析零膨脹數(shù)據(jù)的主流模型。

原理和方法

1.零膨脹回歸模型(zero-inflated model，ZIM)

零膨脹模型認為計數(shù)數(shù)據(jù)中的零觀測值來源于兩部分：一部分是來源于數(shù)據(jù)中存在某些特殊結(jié)構(gòu)而產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)零；另一部分是來源于Poisson分布或負二項分布產(chǎn)生的抽樣零[2-3]。零膨脹模型可以看作是Bernoulli分布和離散型分布組成的混合分布，其概率密度函數(shù)的一般形式為：

(1)

其中πi(0≤πi<1)為零膨脹參數(shù),表示結(jié)構(gòu)零的概率，f(yi)服從某個離散型分布，如Poisson分布或負二項分布等。

(1)零膨脹泊松回歸模型(zero-inflated Poisson model，ZIP)

若(1)式中的f(yi)服從參數(shù)為μ的Poisson分布時， ZIP的公式為：

(2)

其中γ,β為待估計的模型回歸系數(shù)；x,z為協(xié)變量，二者可以相同也可以不同。

(2)零膨脹負二項回歸模型(zero-inflated negative binomial model，ZINB)

若(1)式中的f(yi)服從參數(shù)為μ和α的負二項分布時，ZINB的公式為：

(3)

其中γ,β為待估計的模型回歸系數(shù)；x,z為協(xié)變量，二者可以相同也可以不同。零膨脹模型中πi常用的連接函數(shù)為logit、probit函數(shù)。

2.hurdle回歸模型

hurdle模型認為數(shù)據(jù)中的零觀測值均來自于結(jié)構(gòu)零，非零數(shù)據(jù)則是來自于不同的過程：第一個過程決定零事件發(fā)生還是非零事件發(fā)生的可能，發(fā)生取1，不發(fā)生取0，這個過程服從(0，1)分布，當?shù)谝粋€過程取0時則進入第二個過程，即事件至少發(fā)生一次的過程，該過程的非零數(shù)據(jù)服從零截斷Poisson或零截斷負二項分布等零截斷離散分布模型[4]。

根據(jù)以上原理hurdle模型的一般形式為：

i=1,2,…,N

(4)

式(4)中πi為事件數(shù)取0的概率;f′(Zi)表示零截斷離散型分布。

(1)Poisson-hurdle回歸模型(Poisson hurdle model，PH)

當(4)式中的f′(Zi)選擇零截斷Poisson分布時[5]，PH的公式為：

i=1,2,…,N

(5)

(2)負二項hurdle回歸模型(negative binomial hurdle，NBH)

當(2)式中的f′(Zi)選擇零截斷負二項分布時[6]，NBH的公式為：

i=1,2,…,N

(6)

hurdle模型中πi選擇不同連接函數(shù)(logit、probit、clog函數(shù)等)可得到不同的二分類回歸模型。

3.模型的評價指標

(1)似然比檢驗(LRT) 似然比檢驗是用來比較兩個嵌套關(guān)系模型(模型1嵌套于模型2)的擬合優(yōu)度。在R語言中，可以通過lrtest()函數(shù)來實現(xiàn)。似然比檢驗統(tǒng)計量為：

LR=-2[LL2-LL1]

(7)

(8)

(3)AIC和BIC準則 當似然比檢驗和Vuong檢驗難以判斷模型優(yōu)劣時，可以通過比較AIC和BIC統(tǒng)計量的相對大小來對模型優(yōu)劣進行排名，信息準則值越小則模型越優(yōu)[9]。

實例分析

本研究數(shù)據(jù)來源于1987-1988年美國國家醫(yī)療費用調(diào)查(national medical expenditure survey，NMES)關(guān)于老年人(66歲以上)醫(yī)療費用支出的調(diào)查資料。該研究共納入了4406名醫(yī)保覆蓋的老年人，本文對其住院天數(shù)、健康狀況自評、慢性病數(shù)量、性別、受教育年數(shù)和是否參加私人健康保險進行分析，以醫(yī)療診所訪問次數(shù)作為老年人醫(yī)療保健需求的測量指標，探討老年人醫(yī)療保健需求的影響因素。

醫(yī)療診所訪問次數(shù)的取值分布如圖1所示。

圖1 醫(yī)療診所訪問次數(shù)的取值分布

圖1中，醫(yī)療診所訪問次數(shù)取值為0的比例為15.5%，運用R中的dispersiontest()函數(shù)對訪問次數(shù)資料進行過離散檢驗，檢驗統(tǒng)計量為11.509(P<0.05)，提示數(shù)據(jù)存在零過多和過離散的現(xiàn)象，使用零膨脹或hurdle回歸模型處理數(shù)據(jù)優(yōu)于Poisson回歸模型。

對零膨脹和hurdle回歸模型的兩個部分(零部分和非零部分)均選取住院天數(shù)、健康狀況自評、慢性病數(shù)量、性別、受教育年數(shù)和是否參加私人健康保險作為其協(xié)變量。分別用Poisson、負二項回歸(negative binomial，NB)、ZIP、ZINB、PH和NBH模型對老年人醫(yī)療健康需求數(shù)據(jù)進行擬合，并對嵌套關(guān)系模型進行似然比檢驗、非嵌套模型進行Vuong檢驗，檢驗結(jié)果如表1所示。

表1 各模型的似然比檢驗和Vuong檢驗結(jié)果

*：P<0.05；**：P<0.001

似然比檢驗和Vuong檢驗結(jié)果顯示，NB的擬合效果優(yōu)于Poisson回歸；ZIP的擬合效果優(yōu)于Poisson，但比NB差，以此類推。NBH雖然優(yōu)于其他模型，但與ZINB比較的檢驗統(tǒng)計量V值小于1.96，不能區(qū)分二者的優(yōu)劣程度。各回歸模型的參數(shù)估計結(jié)果及擬合指標AIC、BIC如表2所示。

表2 老年人醫(yī)療保健需求回歸模型參數(shù)估計結(jié)果

a：零膨脹的logit部分(零過程)；*：P<0.05；**：P<0.001

表2中AIC、BIC的結(jié)果驗證了表2中ZINB和NBH優(yōu)于Poisson、負二項回歸模型、ZIP和PH，并補充說明了NBH對本研究數(shù)據(jù)的擬合效果最好。

討 論

對于具有零膨脹現(xiàn)象的數(shù)據(jù)，使用Poisson和負二項回歸得到的結(jié)論可能過于樂觀。本研究數(shù)據(jù)在使用標準計數(shù)模型時發(fā)現(xiàn)住院天數(shù)、健康狀況自評、患慢性病的數(shù)量、性別、受教育年數(shù)、是否參加私人保險均與老年人訪問醫(yī)療診所次數(shù)的多少有關(guān)，而NBH模型卻發(fā)現(xiàn)自評健康狀況差和醫(yī)療診所的次數(shù)并無明顯聯(lián)系，實際上，醫(yī)療診所的訪問次數(shù)是需要根據(jù)醫(yī)生的建議來決定的。因此，NBH模型更加貼合實際情況。

零膨脹回歸模型和hurdle回歸模型均是處理零過多、過離散數(shù)據(jù)常用的兩個模型，但二者的主要區(qū)別在于對數(shù)據(jù)中零觀測值的處理：零膨脹回歸模型假設(shè)零數(shù)據(jù)來自兩個不同的總體(或兩種不同的分布)，一部分是那些不可能發(fā)生某事件的個體，源于數(shù)據(jù)的特殊性，假定服從二項分布；另一部分就是那些有可能發(fā)生某事件的個體，但由于抽樣的存在而沒有觀察到事件的發(fā)生，這部分一般假定服從離散型分布。hurdle回歸模型是假設(shè)數(shù)據(jù)中的零部分和非零部分是完全分開的，零數(shù)據(jù)均服從二項分布，其余的非零計數(shù)數(shù)據(jù)則是服從零截斷的Poisson分布或負二項分布。零膨脹模型和hurdle模型在公共衛(wèi)生、臨床和社會經(jīng)濟等調(diào)查研究中都受到廣泛重視。有學(xué)者在對交通事故傷亡的影響因素研究中發(fā)現(xiàn)，零數(shù)據(jù)的比例為59.07%時，用PH回歸模型比NBH模型優(yōu)[7]。而本研究中NBH回歸模型對數(shù)據(jù)的擬合效果更好的原因可能在于：數(shù)據(jù)中零觀測值相對較少，為15.5%，這對零觀測值只有一個來源并與非零計數(shù)截然分開的hurdle回歸模型更合適。

本文只討論了零膨脹和Hurdle模型在老年人醫(yī)療保健次數(shù)影響因素研究中的應(yīng)用并進行比較，實際的調(diào)查研究中還存在許多零膨脹計數(shù)資料。在應(yīng)用回歸模型進行數(shù)據(jù)擬合時，不僅要考慮數(shù)據(jù)的性質(zhì)和分布，還要綜合考慮實際情況和專業(yè)性，從而選擇最優(yōu)模型。