聚焦“數(shù)學(xué)模型建構(gòu)”的生物學(xué)教學(xué)研究

左開(kāi)俊

“數(shù)學(xué)模型建構(gòu)”是通過(guò)符號(hào)、公式、圖像等數(shù)學(xué)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)工具，來(lái)定量描述生命系統(tǒng)發(fā)展?fàn)顩r的一種教學(xué)結(jié)構(gòu)或教學(xué)程式。“數(shù)學(xué)模型建構(gòu)”教學(xué)最大的特點(diǎn)就是：可以將日常中一個(gè)復(fù)雜的生物學(xué)問(wèn)題借助數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)，最終轉(zhuǎn)化成一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題?！镀胀ǜ咧猩飳W(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“新課標(biāo)”）在“教學(xué)建議”中強(qiáng)調(diào)：教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)文字描述、數(shù)學(xué)表格、示意圖、曲線圖等方式完成報(bào)告，組織交流探究的過(guò)程和結(jié)果，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)。［1］（P57-58）該段文字折射出來(lái)的“數(shù)學(xué)模型”思想，確立了“數(shù)學(xué)模型建構(gòu)”教學(xué)在新課改中的地位，值得一線教育工作者對(duì)此課題進(jìn)行深入探討和研究。

一、研究過(guò)程

數(shù)學(xué)模型是聯(lián)系數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際問(wèn)題的橋梁，是數(shù)學(xué)知識(shí)在各個(gè)領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的媒介，是數(shù)學(xué)科學(xué)技術(shù)轉(zhuǎn)化的主要途徑。［2］教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的方式輔助解決生物學(xué)問(wèn)題，能促進(jìn)學(xué)生綜合運(yùn)用能力和綜合分析能力的提高；同時(shí)，數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的方式也能使相關(guān)復(fù)雜的生物學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單直觀和一目了然。

（一）圖像模型建構(gòu)

圖像模型就是將數(shù)與各種圖形有機(jī)聯(lián)合，實(shí)現(xiàn)彼此之間的數(shù)量關(guān)系。通過(guò)圖像模型建構(gòu)能直觀形象、脈絡(luò)清晰地呈現(xiàn)抽象概念的內(nèi)涵與外延、眾多概念彼此間的聯(lián)系和區(qū)別，這既有利于創(chuàng)造性思維的培育、探究性教學(xué)的實(shí)施［3］，又有助于對(duì)學(xué)生歸納與概括能力的培養(yǎng)、科學(xué)性解題思維的訓(xùn)練。在開(kāi)展和實(shí)施生物學(xué)教學(xué)時(shí)，如能經(jīng)?？紤]數(shù)圖結(jié)合，則常會(huì)使教學(xué)方式別開(kāi)生面，教學(xué)內(nèi)容直觀易懂。

【教學(xué)案例1】“密碼子、反密碼子、氨基酸”三者關(guān)系的教學(xué)

生物教學(xué)中，最難教的就是多個(gè)知識(shí)點(diǎn)間的相互聯(lián)系與區(qū)別。多個(gè)知識(shí)點(diǎn)間錯(cuò)綜復(fù)雜的聯(lián)系，常讓學(xué)生找不到學(xué)習(xí)或解題的頭緒。此時(shí)，如果通過(guò)數(shù)圖結(jié)合的圖像模型，就會(huì)脈絡(luò)分明地展現(xiàn)它們彼此間的相互關(guān)系和聯(lián)系。例如：教師在開(kāi)展和實(shí)施“密碼子、反密碼子、氨基酸”三者關(guān)系的教學(xué)時(shí)，若能建構(gòu)如圖1所示的圖像模型，則其教學(xué)效能肯定會(huì)事半功倍。

“密碼子、反密碼子、氨基酸”三者關(guān)系的圖像模型概述：正方形代表密碼子，有64種；三角形代表反密碼子，有61種；圓形代表氨基酸，約21種。從圖像模型中可以直觀得出：第一，一種密碼子只能與一種反密碼子配對(duì)，但有三種密碼子（UAA、UAG、UGA）是終止密碼子，沒(méi)有與之配對(duì)的反密碼子；第二，一種反密碼子只能決定一種氨基酸，一種氨基酸卻可以由好幾種反密碼子或密碼子決定；第三，有兩種氨基酸（甲硫氨酸和色氨酸）只能由一種反密碼子或密碼子決定。

圖1 “密碼子、反密碼子、氨基酸”三者關(guān)系圖像模型

通過(guò)圖像模型建構(gòu)實(shí)施教學(xué)的優(yōu)點(diǎn)主要體現(xiàn)在：第一，其具備簡(jiǎn)單直觀、深入淺出的特點(diǎn)，即建構(gòu)合理的圖像模型，一方面能使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，另一方面能使抽象的問(wèn)題直觀化。生物學(xué)教學(xué)過(guò)程中，建構(gòu)有序的圖像模型展現(xiàn)多個(gè)知識(shí)級(jí)層，依托彼此延伸關(guān)系的概念去分類(lèi)識(shí)別。這種呈現(xiàn)方式避免了蒼白語(yǔ)言的空洞性描述，使一些關(guān)鍵概念的內(nèi)涵得以重點(diǎn)呈現(xiàn)。第二，其具備思維創(chuàng)造，能力培養(yǎng)的特點(diǎn)，即建構(gòu)圖像模型是一種思維創(chuàng)造，其能通過(guò)形象、直觀的數(shù)學(xué)元素，來(lái)提高學(xué)生對(duì)生物知識(shí)的加深與鞏固，幫助學(xué)生培養(yǎng)和提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、處理問(wèn)題方式的能力。

（二）函數(shù)模型建構(gòu)

函數(shù)模型指對(duì)某個(gè)具體問(wèn)題通過(guò)“建模”，轉(zhuǎn)化成函數(shù)或方程式，進(jìn)而解決問(wèn)題的一種方法。運(yùn)用到生物學(xué)中，就是將具體的生物學(xué)問(wèn)題，通過(guò)運(yùn)用生物學(xué)原理和數(shù)學(xué)方法將問(wèn)題中所展示的概念性生物關(guān)系轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)，然后利用數(shù)學(xué)知識(shí)和生物規(guī)則逐層鋪展，以便尋求認(rèn)知上的突破。

【教學(xué)案例2】“核苷酸種類(lèi)、脫氧核苷酸和核糖核苷酸成分上異同點(diǎn)”的教學(xué)

2019版普通高中生物教科書(shū)（以下簡(jiǎn)稱(chēng)為“新教材”）在安排“核苷酸種類(lèi)、脫氧核苷酸和核糖核苷酸成分上異同點(diǎn)”的教學(xué)內(nèi)容時(shí)，建立了如下的概念模型（見(jiàn)圖2）。該概念模型雖然清晰地解決了DNA與RNA在化學(xué)組成成分上的異同，但此概念模型未能涵蓋本節(jié)教學(xué)內(nèi)容的其他兩個(gè)知識(shí)概念：第一，核苷酸的種類(lèi)；第二，脫氧核苷酸和核糖核苷酸成分上的異同點(diǎn)。

圖2 DNA與RNA在化學(xué)組成成分上的異同

如何通過(guò)模型的再建構(gòu)，將眾多概念直觀、形象地整體展現(xiàn)呢？教師可以引入函數(shù)思想，通過(guò)建構(gòu)函數(shù)模型，來(lái)開(kāi)展教學(xué)。其教學(xué)過(guò)程為：首先，依據(jù)核苷酸分子組成，建構(gòu)函數(shù)模型：把每個(gè)核苷酸分子看成是關(guān)于五碳糖和堿基這兩個(gè)變量的二元一次函數(shù)，記作f（x，y）=x+y+P，其中x∈{核糖，脫氧核糖}，y∈{A，G，C，T，U}，P（磷酸）可看作是常數(shù)，同時(shí)當(dāng)x=核糖時(shí)，y≠T，當(dāng)x=脫氧核糖時(shí)，y≠U。其次，建構(gòu)函數(shù)模型：根據(jù)已設(shè)定的元素種類(lèi)，畫(huà)出函數(shù)模型（見(jiàn)圖3）。［4］

圖3 “核苷酸種類(lèi)、脫氧核苷酸和核糖核苷酸成分上的異同點(diǎn)”的函數(shù)模型

再次，觀察模型，得出相關(guān)結(jié)論：第一，核苷酸的種類(lèi)：函數(shù)模型中，每個(gè)直角三角形分別代表一種核苷酸，第一象限為DNA區(qū)，含有4種脫氧核糖核苷酸，即APD、CPD、GPD和TPD四種；第二象限為RNA區(qū)，含有4種核糖核苷酸，即APR、CPR、GPR和UPR四種，故核苷酸的種類(lèi)有8種。第二，脫氧核苷酸和核糖核苷酸在成分上異同點(diǎn)：根據(jù)X軸的正負(fù)方向，得出五碳糖的不同，即脫氧核苷酸的五碳糖是脫氧核糖，核糖核苷酸的五碳糖是核糖；根據(jù)Y軸正方向區(qū)域不同，得出脫氧核苷酸和核糖核苷酸共同的堿基是A、C、G，脫氧核苷酸特有的堿基是T，核糖核苷酸特有的堿基是U。

通過(guò)函數(shù)模型建構(gòu)實(shí)施教學(xué)的優(yōu)點(diǎn)，主要體現(xiàn)在：第一，其具備概念鋪展，樹(shù)立觀念的特點(diǎn)，即函數(shù)模型能夠依據(jù)重要概念的元素構(gòu)成，直觀而清晰地呈現(xiàn)各構(gòu)成元素之間的異同點(diǎn)。能幫助學(xué)生形成正確的生物學(xué)重要概念，支撐眾多概念的脈絡(luò)化形成，幫助學(xué)生建立正確、科學(xué)的生物學(xué)觀念。第二，其具備辨識(shí)比對(duì)，去偽存真的特點(diǎn)，即學(xué)生通過(guò)對(duì)兩個(gè)或多個(gè)概念的觀察、比較和辨析，能迅速地找出其彼此間的聯(lián)系和區(qū)別，一方面幫助學(xué)生消除了錯(cuò)誤概念，建立了科學(xué)概念；另一方面也培養(yǎng)了學(xué)生歸納與概括、分析與辨別的思維品質(zhì)。

（三）多邊形模型建構(gòu)

多邊形是指由三條或三條以上的線段連接成的平面圖形。在生物學(xué)教學(xué)中，建構(gòu)多邊形模型可以直觀地解決多倍體復(fù)雜的減數(shù)分裂、受精作用、基因型及比例等生物學(xué)問(wèn)題。這一方面提供了一種避免大量假設(shè)與討論的解決問(wèn)題模式；另一方面也實(shí)現(xiàn)了將多維、復(fù)雜的問(wèn)題在推理上可視化。

【教學(xué)案例3】“多倍體減數(shù)分裂產(chǎn)生配子的基因型及比例”的教學(xué)

“新教材”必修2，在介紹低溫和一定濃度的秋水仙素處理萌發(fā)的種子或幼苗，能夠引起細(xì)胞內(nèi)染色體數(shù)目加倍的應(yīng)用時(shí)，用常規(guī)教學(xué)方法來(lái)分析二倍體生物產(chǎn)生配子的基因型及比例，學(xué)生是可以理解的。但如果將二倍體拓展為多倍體生物體時(shí)，常規(guī)方法就顯得非常雜亂和繁瑣。如何解決“多倍體減數(shù)分裂產(chǎn)生配子的基因型及比例”的教學(xué)難題，可以通過(guò)建構(gòu)多邊形模型來(lái)進(jìn)行詮釋。

其教學(xué)過(guò)程為：首先，展現(xiàn)特殊案例，思考問(wèn)題，即先呈現(xiàn)“基因型為Aa的番茄幼苗，經(jīng)適宜濃度的秋水仙素處理后形成四倍體”的案例，再引導(dǎo)學(xué)生思考，其在減數(shù)分裂時(shí)，形成配子的基因型及比例為多少？其次，根據(jù)已有知識(shí)體系，進(jìn)行推理，即基因型為Aa的番茄二倍體，經(jīng)適宜濃度的秋水仙素處理后，變成四倍體AAaa，這四個(gè)基因位于四條同源染色體上，在減數(shù)分裂形成配子的過(guò)程中，兩兩隨機(jī)分向一極。（注：此階段若按照常規(guī)教學(xué)法，應(yīng)分三種情況進(jìn)行討論、分析、綜合，最后篩選出結(jié)果。常規(guī)教學(xué)方法雖能解決問(wèn)題，但過(guò)程繁瑣、邏輯推理要求高，思維過(guò)程不形象）。再次，嘗試建構(gòu)四邊形模型解決問(wèn)題，即以基因型AAaa中的4個(gè)字母A，A，a，a為長(zhǎng)方形的四個(gè)頂點(diǎn)。減數(shù)分裂的實(shí)質(zhì)同源染色體的分離，就可以直觀地表現(xiàn)為字母的兩兩結(jié)合，這樣，就順利且直觀地在四邊形模型上完成了三組連線（2條邊長(zhǎng)1組；2條寬1組，2條對(duì)角線1組），展現(xiàn)了四倍體減數(shù)分裂產(chǎn)生配子的基因型及比例的教學(xué)了（見(jiàn)圖4）。（提示：如果是類(lèi)似于基因型為AAa的三倍體，在建構(gòu)四邊形模型時(shí)，另一頂點(diǎn)可以用零替代。）

圖4 “四倍體減數(shù)分裂產(chǎn)生配子的基因型及比例”的四邊形模型

通過(guò)多邊形模型建構(gòu)實(shí)施教學(xué)的優(yōu)點(diǎn)，主要體現(xiàn)在：第一，其具備融會(huì)貫通，推理探究的特點(diǎn)，即能夠運(yùn)用學(xué)生掌握的多邊形相關(guān)知識(shí)、證據(jù)和邏輯，對(duì)生物學(xué)議題進(jìn)行建構(gòu)、思考、展開(kāi)論證，培養(yǎng)了學(xué)生創(chuàng)新學(xué)習(xí)和創(chuàng)新思維的能力；第二，其具備他山之石，可以攻玉的特點(diǎn)，即依托多邊形的幾何知識(shí)（如案例4中四邊形的2條邊長(zhǎng)、2條寬、2條對(duì)角線）為載體，引導(dǎo)學(xué)生將抽象、復(fù)雜的生物學(xué)行為問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為形象、可演示的模型行為，體現(xiàn)了“新課標(biāo)”的學(xué)科間聯(lián)系的思想，培養(yǎng)了學(xué)生進(jìn)階認(rèn)知的品質(zhì)。

（四）集合模型建構(gòu)

集合模型建構(gòu)是一種在生物教學(xué)中，利用集合的屬性、類(lèi)型（子集、交集、補(bǔ)集等）及相關(guān)運(yùn)算定律，直觀呈現(xiàn)生物學(xué)關(guān)聯(lián)概念之間的共性和異性，方便學(xué)生順暢地解決物質(zhì)性質(zhì)區(qū)分、細(xì)胞器分工、生物進(jìn)化、遺傳學(xué)概率計(jì)算等生物學(xué)問(wèn)題的一種學(xué)習(xí)模式。通常情況下，集合模型一般由正方形和圓組成（見(jiàn)圖5）。

圖5 通用集合模型簡(jiǎn)圖

正方形代表的是具有同一相對(duì)廣泛屬性的所有事物的集合；A、B等圓圈代表在集合范圍內(nèi)，蘊(yùn)藏著自我獨(dú)特屬性的同一類(lèi)事物的集合；若不同的圓圈彼此間交叉（圖中陰影部分），說(shuō)明不同的群體間除了具有彰顯獨(dú)特個(gè)性的屬性外，還具有相似的內(nèi)在屬性特征。

【教學(xué)案例4】“組成生物體元素”的教學(xué)

教師在實(shí)施“組成生物體元素”內(nèi)容的教學(xué)時(shí)，可以通過(guò)構(gòu)建“組成生物體元素”的集合模型（見(jiàn)圖6），呈現(xiàn)各元素之間的歸類(lèi)及從屬關(guān)系。

圖6 組成生物體元素的集合模型圖

從圖6中可知：圓①中的C是最基本元素，圓②中的C、H、O、N是基本元素，圓③中的C、H、O、N、P、S是主要元素，圓④中的C、H、O、N、P、S、K、Ca、Mg是大量元素，圓⑤中的Fe、Mn、B、Zn、Cu、Mo、Ni是微量元素。通過(guò)集合模型的建構(gòu)，一目了然地厘清了各元素之間的層級(jí)分類(lèi)和屬性分界。

【教學(xué)案例5】“生物進(jìn)化學(xué)說(shuō)”的教學(xué)

教師在講授達(dá)爾文自然選擇學(xué)說(shuō)和現(xiàn)代進(jìn)化理論時(shí)，可以依據(jù)兩者之間的異同點(diǎn)，建構(gòu)“自然選擇學(xué)說(shuō)與現(xiàn)代進(jìn)化理論”的集合模型（見(jiàn)圖7）。

圖7 “自然選擇學(xué)說(shuō)與現(xiàn)代進(jìn)化理論”的集合模型圖

上圖視覺(jué)化地展現(xiàn)了達(dá)爾文自然選擇學(xué)說(shuō)的主要內(nèi)容及局限性、現(xiàn)代生物進(jìn)化理論的主要內(nèi)容及進(jìn)步性、兩個(gè)劃時(shí)代進(jìn)化學(xué)說(shuō)的發(fā)展淵源及區(qū)別聯(lián)系。

【教學(xué)案例6】“遺傳病概率計(jì)算”的教學(xué)

在人類(lèi)的遺傳病中，若只考慮A病的情況，患A病的概率為a，只考慮B病的情況，患B病的概率為b，兩個(gè)事件互相獨(dú)立，則不患A病和不患B病的概率分別是集合a和集合b的補(bǔ)集，分別用（1-a）、（1-b）表示（見(jiàn)圖8甲）。同時(shí)患兩病的概率可看成集合a、集合b的交集（見(jiàn)圖8乙）。只患A病的概率為集合a中集合ab的補(bǔ)集，數(shù)值=a-ab（集合ab是集合a的子集）。［5］（P10）

圖8 “遺傳病概率計(jì)算”集合模型圖

通過(guò)集合模型建構(gòu)實(shí)施教學(xué)的優(yōu)點(diǎn)，主要體現(xiàn)在：第一，其具備層次分明，直感透視的特點(diǎn)，即利用集合模型區(qū)域分明的框、圓、線等組合形式，配合整合性的推理過(guò)程，將學(xué)生數(shù)學(xué)課上的集合知識(shí)轉(zhuǎn)換成生物科學(xué)模型，進(jìn)而產(chǎn)生有意義的學(xué)習(xí)。第二，其具備由點(diǎn)及面，聚散為合的特點(diǎn)，即學(xué)生通過(guò)對(duì)兩個(gè)或多個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的整合，讓學(xué)生通過(guò)觀察和比較，激發(fā)學(xué)生的整合能力，弄清彼此間的聯(lián)系和區(qū)別。這一方面能幫助學(xué)生深層次地闡述生物學(xué)關(guān)聯(lián)知識(shí)的本質(zhì)與內(nèi)涵；另一方面也能幫助學(xué)生杜絕囫圇吞棗式的僵化式學(xué)習(xí)和記憶。

（五）幾何模型建構(gòu)

幾何模型建構(gòu)特指在生物教學(xué)中，通過(guò)建構(gòu)相應(yīng)的幾何圖形，并且根據(jù)其蘊(yùn)含的相關(guān)知識(shí)（如定理、公理等），探尋和發(fā)現(xiàn)其與生物學(xué)問(wèn)題之間的共性，達(dá)到直接解決問(wèn)題的一種模式。

【教學(xué)案例7】“細(xì)胞為什么不能無(wú)限長(zhǎng)大”的教學(xué)

“新教材”必修一在介紹細(xì)胞不能無(wú)限長(zhǎng)大時(shí)，設(shè)計(jì)了一個(gè)“運(yùn)用模型作解釋”的思維訓(xùn)練［6］（P115），此訓(xùn)練中將細(xì)胞的形狀設(shè)計(jì)成了一個(gè)正方體模型，該細(xì)胞模型的建構(gòu)讓學(xué)生們很難用肉眼從生活中找到其影子，一定程度上脫離了學(xué)生們的真實(shí)生活和認(rèn)知范疇。筆者在施教此部分內(nèi)容時(shí)，首先，創(chuàng)設(shè)了一個(gè)真實(shí)的生活情境：現(xiàn)場(chǎng)給學(xué)生展示了一只熟雞蛋，取出蛋黃交代清楚：未受精的蛋黃，實(shí)際上是一個(gè)卵細(xì)胞。引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察卵細(xì)胞，將細(xì)胞的形狀建構(gòu)成一個(gè)球體模型。其次，將生物學(xué)問(wèn)題演變成數(shù)學(xué)問(wèn)題：卵細(xì)胞是通過(guò)什么結(jié)構(gòu)從外界汲取營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)的？汲取營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)后，卵細(xì)胞的生長(zhǎng)又是以何種形式呈現(xiàn)的？引導(dǎo)學(xué)生達(dá)成共識(shí)：卵細(xì)胞通過(guò)細(xì)胞膜從外界汲取營(yíng)養(yǎng)，促進(jìn)細(xì)胞體積的增長(zhǎng)。順勢(shì)引入“表面積和體積的商”代表的含義為：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)，卵細(xì)胞單位體積所攝入的營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)的量，即卵細(xì)胞的生長(zhǎng)速率?！氨砻娣e和體積的商”越大，卵細(xì)胞的生長(zhǎng)速率就越快，反之則慢。通過(guò)以上的鋪墊，此時(shí)就可以根據(jù)球體表面積、體積的數(shù)學(xué)公式，推導(dǎo)出細(xì)胞表面積和體積的關(guān)系：

再次，觀察關(guān)系式，發(fā)現(xiàn)矛盾：隨著卵細(xì)胞的生長(zhǎng)，細(xì)胞的半徑R隨之增大，將其代入關(guān)系式就發(fā)現(xiàn)，此時(shí)細(xì)胞生長(zhǎng)速率（S/V=3/R）卻趨向于0。即單位時(shí)間內(nèi)，卵細(xì)胞單位體積攝入的營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)量為零時(shí)，細(xì)胞就可以無(wú)限制的長(zhǎng)大。很顯然，這個(gè)觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的。最后，依據(jù)以上推理，得出結(jié)論：細(xì)胞的表面積與體積的關(guān)系，是限制細(xì)胞無(wú)限制長(zhǎng)大的一種原因。

通過(guò)幾何模型建構(gòu)實(shí)施教學(xué)的優(yōu)點(diǎn)，主要體現(xiàn)在：第一，其具備情境體驗(yàn)，探尋發(fā)現(xiàn)的特點(diǎn)，即通過(guò)真實(shí)情境的體驗(yàn)，幫助和引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)熟悉的幾何模型（如案例7中的球體），利用學(xué)生已貯存的相關(guān)知識(shí)（如案例7中的球體表面積和體積公式），嘗試著去分析和解決生物學(xué)問(wèn)題，這一方式有助于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新學(xué)習(xí)和創(chuàng)新思維的能力。第二，其具備具身認(rèn)知，覓求真知的特點(diǎn)，即依托真實(shí)存在的生物為載體（如案例7中的蛋黃），培養(yǎng)學(xué)生善于從實(shí)踐的層面探討或嘗試解決現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題，培養(yǎng)其勇于探索生命規(guī)律的品質(zhì)。

二、總結(jié)反思

“模型與建?！弊鳛椤靶抡n標(biāo)”中需要踐行的教學(xué)方略，其對(duì)于生命規(guī)律理解的落實(shí)、現(xiàn)實(shí)生活應(yīng)用的落生與學(xué)科核心素養(yǎng)的落地均大有裨益。就上文聚焦生物學(xué)教學(xué)的“數(shù)學(xué)模型建構(gòu)”而言，其具備了如下意義。

首先，異質(zhì)性的數(shù)學(xué)模型建構(gòu)為學(xué)生習(xí)得生物學(xué)知識(shí)或概念提供了多元化的知識(shí)表征。函數(shù)、集合、多邊形與幾何等不同的模型均可以用于展示、表述不同的生物學(xué)知識(shí)，而異質(zhì)性模型建構(gòu)正是尋求了某一生物學(xué)知識(shí)適切性的教學(xué)方案，讓學(xué)生在簡(jiǎn)約化與客觀化的數(shù)學(xué)表征中獲得對(duì)生物學(xué)知識(shí)的進(jìn)一步理解。

其次，數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)讓學(xué)生越過(guò)了“表象迷亂”的生物學(xué)概念叢林，使其進(jìn)一步提煉出概念背后的生命科學(xué)規(guī)律，并延展了科學(xué)思維。上文教學(xué)研究中的案例均將生物學(xué)術(shù)語(yǔ)表達(dá)的知識(shí)概念，予以理性剖析后用數(shù)學(xué)模型建構(gòu)來(lái)直觀展示，這樣既可以幫助學(xué)生凝煉知識(shí)背后的科學(xué)規(guī)律等，又幫助其進(jìn)一步訓(xùn)練了數(shù)理邏輯遞推與現(xiàn)象歸納分析的科學(xué)思維。

再次，數(shù)學(xué)模型建構(gòu)使得數(shù)學(xué)與生物學(xué)的課程內(nèi)容實(shí)現(xiàn)有機(jī)統(tǒng)整，有利于學(xué)生跨學(xué)科能力的提升，以方便進(jìn)一步解決現(xiàn)實(shí)的生產(chǎn)生活問(wèn)題。以上案例通過(guò)數(shù)學(xué)符號(hào)、圖示以及思維等多方面在生物學(xué)學(xué)科中的整合應(yīng)用，體現(xiàn)了“新課標(biāo)”強(qiáng)調(diào)的加強(qiáng)學(xué)科間聯(lián)系和滲透的要求。一方面，數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的教學(xué)方式可以促進(jìn)學(xué)生用數(shù)字表格、示意圖、曲線圖等完成報(bào)告；另一方面，該方式也為科學(xué)、技術(shù)、工程學(xué)和數(shù)學(xué)（STEM）的綜合運(yùn)用奠基，方便學(xué)生解決生活中的實(shí)際問(wèn)題。［7］

數(shù)學(xué)模型建構(gòu)有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)所在，但在實(shí)施“數(shù)學(xué)模型建構(gòu)”的生物學(xué)教學(xué)時(shí)，有諸多方面仍需注意。

第一，教師自身應(yīng)當(dāng)具備良好的跨數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。這要求教師不僅應(yīng)當(dāng)主動(dòng)思考能否用跨數(shù)學(xué)學(xué)科整合的方式，進(jìn)行生物學(xué)知識(shí)提煉或展示，而且應(yīng)當(dāng)在此過(guò)程中不斷自主學(xué)習(xí)、反思梳理，從而提升自我數(shù)學(xué)素養(yǎng)以及將之運(yùn)用到生物學(xué)教學(xué)的能力。

第二，教師要依據(jù)不同生物學(xué)知識(shí)適切性地選擇數(shù)學(xué)模型進(jìn)行建構(gòu)。生物學(xué)概念體系龐雜、零散具象，不同的生物學(xué)知識(shí)及其本質(zhì)規(guī)律在表述、探究與應(yīng)用等多個(gè)層面差異較大。應(yīng)在實(shí)踐中反思，在反思中實(shí)踐，不斷探求某一生物學(xué)知識(shí)最適切的數(shù)學(xué)模型建構(gòu)方案，以便于學(xué)生依據(jù)不同的數(shù)學(xué)表征予以理解記憶。

第三，數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)要基于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)。多從學(xué)生的認(rèn)知角度出發(fā)，多從學(xué)生的思維角度出發(fā)，多從學(xué)生貯備的數(shù)學(xué)知識(shí)出發(fā)，開(kāi)發(fā)和探究出易于讓學(xué)生接受的數(shù)學(xué)模型。教師在教學(xué)中只有充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的思維，并根據(jù)不同生物學(xué)問(wèn)題的特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有意義的數(shù)學(xué)模型建構(gòu)，才能使數(shù)學(xué)模型內(nèi)化于學(xué)生的頭腦，成為他們分析和解決問(wèn)題時(shí)心智操作的工具。