反電勢(shì)負(fù)載單相全波整流電路無(wú)功功率的圖解法

伍家駒，周 葉，馮上賢，陳亮亮

（南昌航空大學(xué)信息工程學(xué)院，南昌 330063）

隨著電動(dòng)汽車和微電網(wǎng)技術(shù)的發(fā)展，蓄電池在生活和工業(yè)中的應(yīng)用也日益廣泛[1]。蓄電池充電過(guò)程中，其電壓、電流波形易發(fā)生畸變，進(jìn)而對(duì)電網(wǎng)產(chǎn)生諧波污染[2-4]。在非正弦條件下，傳統(tǒng)的無(wú)功功率和功率因數(shù)的計(jì)算方法已不再適用[5]，給無(wú)功功率的計(jì)量和功率補(bǔ)償?shù)葞?lái)了困擾。文獻(xiàn)[6]對(duì)帶反電勢(shì)負(fù)載的整流發(fā)電系統(tǒng)進(jìn)行分析，通過(guò)電流分解來(lái)研究整流發(fā)電系統(tǒng)的穩(wěn)定條件，但卻忽略了直流側(cè)電流高次諧波的影響，存在較大誤差；文獻(xiàn)[7]提出一種電動(dòng)汽車充電站接入公網(wǎng)產(chǎn)生諧波的工程算法，但并未分析充電站工作時(shí)的網(wǎng)側(cè)功率因數(shù)；文獻(xiàn)[8]對(duì)蓄電池充電時(shí)電流畸變情況下的波形系數(shù)進(jìn)行分析，指出了波形系數(shù)與導(dǎo)通角的關(guān)系，但也未分析反電勢(shì)負(fù)載下的無(wú)功功率；文獻(xiàn)[9]引入電壓脈動(dòng)系數(shù)來(lái)描述負(fù)載側(cè)電壓特性，通過(guò)將電壓d-q變換來(lái)分析整流系統(tǒng)帶反電勢(shì)負(fù)載時(shí)輸出電壓的諧波，但對(duì)于導(dǎo)致電源側(cè)功率因數(shù)降低的非正弦電流卻并未加以分析。IEEE1459-2010標(biāo)準(zhǔn)[10]通過(guò)將電流進(jìn)行Fourier變換，從而求得無(wú)功功率；Budeanu功率理論[11]采用頻域分析法，在Fourier變換的基礎(chǔ)上提出失真功率，表征電流波形失真的程度；Fryze功率理論[12]采用時(shí)域分析法，將電流分解為相互正交的有功電流和無(wú)功電流，進(jìn)而得到無(wú)功功率；文獻(xiàn)[13]通過(guò)合成三維Lissajous圖，利用其投影測(cè)算不控整流電路帶純阻負(fù)載的無(wú)功分量，但以上4種方法均未對(duì)反電勢(shì)負(fù)載的情況作出具體分析?，F(xiàn)行功率理論在對(duì)無(wú)功功率分析時(shí)多以純阻負(fù)載為典型，對(duì)于帶蓄電池等反電勢(shì)負(fù)載模型的無(wú)功功率分析鮮有報(bào)道?？梢?jiàn)，由于在單相相控整流電路帶反電勢(shì)負(fù)載的狀態(tài)下存在特有的停止導(dǎo)電角，分析網(wǎng)側(cè)無(wú)功功率和功率因數(shù)時(shí)尚無(wú)先例可循。

反電勢(shì)負(fù)載是整流電路的3種典型負(fù)載之一[14]。本文以反電勢(shì)負(fù)載電路為例，通過(guò)電壓、磁通及電流的表達(dá)式合成不同導(dǎo)通角下的三維Lissajous圖[15]，并由三維圖的投影分解出有功和無(wú)功分量。分析結(jié)果表明，所提反電勢(shì)負(fù)載的無(wú)功功率圖解法簡(jiǎn)單直觀，易于測(cè)算。

1 單相交流電路帶反電勢(shì)負(fù)載功率分析

1.1 反電勢(shì)負(fù)載電路原理分析

當(dāng)整流電路的負(fù)載為一個(gè)蓄電池，則可將其視為1個(gè)直流電壓源，其電路如圖1所示。

假設(shè)電源側(cè)電壓為 u（t）=Umsin（ωt），則對(duì) u（t）積分可得磁通 φ（t），且 φ（t）的相位超前電壓 90°，即

式中：ω 為角頻率，ω=2πf；Um為電源電壓最大值；φm為磁通最大值。

分析整流電路可知，當(dāng)|u（t）|＞E 時(shí)，流過(guò)晶閘管的電流為

式中：R為整流電路的反電勢(shì)負(fù)載；E為反電動(dòng)勢(shì)。

由于整流電路帶反電勢(shì)負(fù)載E，當(dāng)觸發(fā)角小于停止導(dǎo)電角，即α＜δ時(shí)，晶閘管承受負(fù)電壓，不能導(dǎo)通。為了保證晶閘管可靠導(dǎo)通，將觸發(fā)角推遲到ωt=δ時(shí)刻，即晶閘管存在的停止導(dǎo)電角δ為

由KVL定律可得整流電路電源側(cè)電流為

1.2 三維Lissajous圖合成

已知 u（t）、φ（t）、i（t）的表達(dá)式，則以 u（t）為橫軸方向上的位移函數(shù)、以φ（t）為縱軸方向上的位移函數(shù)、以i（t）為豎軸方向上的位移函數(shù)進(jìn)行三維Lissajous圖合成。由于u軸、φ軸、i軸相互正交，且u（t）、φ（t）、i（t）的頻率相同，若采樣點(diǎn)相同，則可合成1條閉合、穩(wěn)定的三維Lissajous曲線[16]，如圖2所示。

圖 2 中，t0～t2為正半周的導(dǎo)通區(qū)間，t2～t3為正半周的截止區(qū)間；t3～t4為負(fù)半周的截止區(qū)間，t4～t6為負(fù)半周的導(dǎo)通區(qū)間，t6～t7為負(fù)半周的截止區(qū)間，t7～t0為正半周的截止區(qū)間。

1.3 三維圖的繪制

借用Matlab中的plot3指令進(jìn)行三維Lissajous圖的合成，通過(guò)設(shè)置電流i（t）的通斷時(shí)間來(lái)改變晶閘管的導(dǎo)通角，其繪制步驟[17]如下。

①建立整流電路帶反電勢(shì)負(fù)載模型；

②以時(shí)間 t為 u（t）、φ（t）、i（t）的自變量，在程序中設(shè)置合適的步長(zhǎng)；

③分析電路模型，構(gòu)造電壓、電流和磁通表達(dá)式；

④根據(jù)晶閘管導(dǎo)通角和停止導(dǎo)電角設(shè)置電流表達(dá)式的導(dǎo)通區(qū)間；

⑤以 u（t）、φ（t）、i（t）為函數(shù) f（u，φ，i）的自變量，利用plot3指令繪制u-φ-i三維Lissajous圖；

⑥利用view指令得到φ-i面、u-i面的二維投影圖；

⑦利用polyarea指令通過(guò)計(jì)算機(jī)測(cè)算二維投影圖的面積。

1.4 反電勢(shì)負(fù)載有功功率

將圖2向φ-i面投影，即得到φ-i平面圖，如圖3所示。

由于整流電路帶反電勢(shì)負(fù)載，則變壓器副邊電流在整周期內(nèi)不能完全導(dǎo)通，相比于純阻負(fù)載電路，反電勢(shì)負(fù)載電路延遲δ電角度導(dǎo)通且提前δ電角度關(guān)斷。因此，圖 2 中 φ（t）∈φ（θ）∪[-φ（θ）]對(duì)應(yīng)時(shí)刻的 i（t）=0，則 φ-i平面圖可由 2個(gè)橢圓的一部分拼接組成，如圖3所示，則

可知，圖 3 截取了式（5）所表示橢圓的 i（t）≥0部分和式（6）所表示橢圓的i（t）≤0部分拼合而成。

1.5 反電勢(shì)負(fù)載有功率分析

圖3中，縱軸表示電流，量綱為I；橫軸表示磁通，量綱為 L2MT-2I-1，故其乘積 i（t）φ（t）所表示的面積M為功，其量綱為L(zhǎng)2MT-2。在第1、3象限內(nèi)，有i（t）φ（t）＞0，在第 2、4 象限內(nèi)，有 i（t）φ（t）＜0，因?yàn)楹纳⒐κ遣豢赡娴?，故通過(guò)累計(jì)面積M來(lái)計(jì)算所耗散的功時(shí)，需取其絕對(duì)值|i（t）φ（t）|，則有

將圖3面積M除以周期T，其值可表示為單位時(shí)間所作的功，也即有功功率，表示為

由式（8）可知，M和P均與積分上、下限有關(guān)，積分上限隨時(shí)間t的增加而增加，即有功功率與相控整流電路的導(dǎo)通角θ成正比；但積分下限也隨停止導(dǎo)電角δ的增大而增大，即導(dǎo)通角θ的取值范圍隨δ的增大而減小，則有功功率與停止導(dǎo)電角δ成反比。當(dāng)晶閘管導(dǎo)通角θ達(dá)到ωT/2-2δ時(shí)，有功功率達(dá)到最大。

1.6 偽無(wú)功功率定義

記反電勢(shì)電路電壓 u（t）=Umsin（ωt）并投影到圖2 橫軸 u，將其電流 i（t）=[Umsin（ωt）-E]/R 投影到縱軸 i，則 u-i平面 i軸與函數(shù) f（u，i）所圍面積為偽無(wú)功功率Qf，以表達(dá)伴隨著交流瞬間功率變化，與近旁電磁場(chǎng)交換的瞬間無(wú)功能量流的額度。

偽無(wú)功功率流是由近旁電磁場(chǎng)完成的，假設(shè)存在等效電感L，但不拘泥于L的電感量，僅關(guān)注電感中的電流及其超前90°的兩端電壓，則能利用Lissajous圖在u-i平面投影上的面積來(lái)表達(dá)。

1.7 反電勢(shì)負(fù)載無(wú)功功率圖

將圖2向u-i面投影，得到u-i平面圖，如圖4所示。

因?yàn)閹Х措妱?shì)負(fù)載的整流電路存在停止導(dǎo)電角δ，所以圖 4中u（t）∈[-u（δ），u（δ）]對(duì)應(yīng)時(shí)刻的i（t）=0。 圖中 t0～t1、t1～t2及 t4～t5、t5～t6時(shí)刻 u-i曲線數(shù)值的正負(fù)和變化率，反映了電路偽無(wú)功功率的存儲(chǔ)與釋放。

1.8 反電勢(shì)負(fù)載無(wú)功功率分析

圖 4 中，在 t0～t1期間，u＞0，di/dt＞0，積分所得陰影面積 MΔt0t1m＞0，表示磁場(chǎng)存儲(chǔ)能量；在 t1～t2期間，u＞0，di/dt＜0，則陰影面積 MΔt1t2m＜0，表示磁場(chǎng)釋放能量；兩面積大小相等，方向相反，可相互抵消，即磁場(chǎng)存儲(chǔ)與釋放的偽無(wú)功功率， 對(duì)外不彰顯無(wú)功功率；同理，在 t4～t5和 t5～t6期間，負(fù)半周的偽無(wú)功功率，則在整周期內(nèi)反電勢(shì)負(fù)載的偽無(wú)功功率正負(fù)抵消，對(duì)外不彰顯無(wú)功功率。

反電勢(shì)負(fù)載的網(wǎng)側(cè)無(wú)功功率表達(dá)式為

等式（9）右邊括號(hào)內(nèi)第一、二項(xiàng)分別是正、負(fù)半周的偽無(wú)功功率，結(jié)合反電勢(shì)負(fù)載整流電路，可得其網(wǎng)側(cè)無(wú)功功率為

將式（8）與圖3中的圖形面積相結(jié)合，可得有功功率，進(jìn)而由功率因數(shù)的定義得到λ=1。

由式（10）可知，M和Q均與積分上、下限有關(guān)，當(dāng)導(dǎo)通時(shí)間t＜T/4時(shí)，積分上限隨時(shí)間t的增大而增大，即無(wú)功功率與導(dǎo)通角θ成正比，當(dāng)t＞T/4時(shí)，積分上限隨t的增大而減小，即無(wú)功功率與θ成反比；積分下限又隨停止導(dǎo)電角δ的增大而增大，則無(wú)功功率隨停止導(dǎo)電角δ的增大而減小，反電勢(shì)負(fù)載整流電路的無(wú)功功率在導(dǎo)通角為ωT/4-δ處達(dá)到最大。

1.9 反電勢(shì)負(fù)載與純阻負(fù)載區(qū)別

在正常導(dǎo)通情況下，純阻負(fù)載電路的網(wǎng)側(cè)電壓和電流都是完整正弦波。而對(duì)于反電勢(shì)負(fù)載，其網(wǎng)側(cè)電壓是正弦波，假設(shè)在 Um＞E 的條件下，當(dāng)|u（t）|＞E 時(shí)晶閘管單通，電流為正弦波，當(dāng)|u（t）|＜E 時(shí)，由于半導(dǎo)體器件的單向?qū)щ娦詫?dǎo)致晶閘管關(guān)斷，無(wú)電流通過(guò)，因此，在整周期內(nèi)，電流波形為殘缺的正弦波，而從晶閘管停止導(dǎo)通到ωT/2的電角度稱之為停止導(dǎo)電角。由于傳統(tǒng)的功率計(jì)量是通過(guò)電壓有效值乘以電流有效值，而反電勢(shì)負(fù)載的電流波形非正弦則導(dǎo)致了傳統(tǒng)功率計(jì)量方法出現(xiàn)問(wèn)題。將反電勢(shì)負(fù)載電路的電壓、電流等參數(shù)進(jìn)行標(biāo)么化換算，其波形如圖5所示。

圖 5 中，曲線 1 為 u（t）波形，曲線 2 為 i（t）波形，曲線3為瞬時(shí)有功功率p（t）波形，曲線4為平均有功功率P，曲線5為網(wǎng)側(cè)設(shè)備最大做功能力pmax即瞬時(shí)有功功率的最大值。

由網(wǎng)側(cè)電壓和式（4）可得瞬時(shí)有功功率為

由式（11）與圖5可知，瞬時(shí)有功功率呈電壓、電流的2倍頻脈動(dòng)，而周邊電磁場(chǎng)隨之進(jìn)行能量的存儲(chǔ)與釋放。

在純阻負(fù)載情況下，瞬時(shí)有功功率p（t）隨平均有功功率P按正弦規(guī)律波動(dòng)，其能量的存儲(chǔ)與釋放的能量可以相互抵消，網(wǎng)側(cè)最大做功能力與平均有功功率的差值可以表達(dá)為無(wú)功功率。而在整流條件或反電勢(shì)負(fù)載情況下時(shí)，其能量的存儲(chǔ)和釋放不能相互抵消， 由于 ωT∈[0，δ]∪[ωT/2-δ，ωT/2+δ]∪[ωT-δ，ωT]，部分 p（t）=0，則瞬時(shí)有功功率 p（t）不是完整正弦波，其缺失的部分將在偽無(wú)功功率中得到表達(dá)。

1.10 反電勢(shì)負(fù)載特點(diǎn)

單相相控整流帶反電勢(shì)負(fù)載的電路模型常用于蓄電池充電，當(dāng)進(jìn)行充電時(shí)，反電勢(shì)E會(huì)隨時(shí)間逐漸增大，則由式（3）可知，停止導(dǎo)電角δ也隨之增大。為方便無(wú)功功率的測(cè)算，僅取某一時(shí)刻的電路模型進(jìn)行分析，則該時(shí)刻反電勢(shì)E為一固定值，可將其視為一直流電壓源。

將圖2～圖4相結(jié)合，把圖3的殘缺橢圓、圖4的陰影三角形代入圖2中，可得反電勢(shì)負(fù)載三維圖如圖6所示。

由圖6可看出瞬時(shí)無(wú)功能量流的變化和偽無(wú)功功率存儲(chǔ)與釋放的過(guò)程，便于后續(xù)測(cè)算和分析。

2 不同導(dǎo)通角下的功率分析

2.1 整流電路表達(dá)式分析

以 u（t）=311sin（100 πt），R=5 Ω，E=155.5 V 的帶反電勢(shì)負(fù)載單相全波相控整流電路為例進(jìn)行分析。當(dāng)觸發(fā)角α＜δ，晶閘管承受負(fù)電壓，不能導(dǎo)通。為保證晶閘管可靠導(dǎo)通，將觸發(fā)角推遲到ωt=δ時(shí)刻，晶閘管導(dǎo)通后，由式（4）可得變壓器副邊電流i（t）為

由式（3）可知，此時(shí)停止導(dǎo)電角 δ=30°，晶閘管導(dǎo)通角的取值范圍為120°。取幾個(gè)特殊導(dǎo)通角進(jìn)行無(wú)功功率的具體分析。

2.2 不同導(dǎo)通角下的無(wú)功功率

2.2.1 導(dǎo)通角 θ=45°

θ=45°的三維圖如圖 7 所示。 t0～t1、t5～t6分別為正、 負(fù)半周的導(dǎo)通區(qū)間，t1～t2、t7～t9為正半周的截止區(qū)間，t2～t4、t6～t7為負(fù)半周的截止區(qū)間， 而 t4～t5、t9～t0的導(dǎo)通時(shí)間是由開關(guān)元件的特性決定的。

由圖7（b）可知，有功功率等于正、負(fù)半周的2部分面積之和除以周期T，得P=1.11 kW。

由圖 7（c）可知，在 t9～t0期間存于磁場(chǎng)中的能量在 t0～t1期間被釋放，由于 u＞0，di/dt＜0，則 Δt0t1t9所圍面積構(gòu)成正半周的偽無(wú)功功率，即

在t4～t5期間存儲(chǔ)的能量在t5～t6期間被釋放，由于 u＜0，di/dt＜0， 則△t4t5t6的面積構(gòu)成負(fù)半周的偽無(wú)功功率=-2.10 kvar。

網(wǎng)側(cè)無(wú)功功率為正、負(fù)半周偽無(wú)功功率之和除以工頻電角度的平均值，即

功率因數(shù)為λ=cosφ=0.86

2.2.2 導(dǎo)通角 θ=90°

θ=90°的三維圖如圖 8 所示。 t0～t2、t5～t7分別為正、 負(fù)半周的導(dǎo)通區(qū)間，t2～t3、t8～t9為正半周的截止區(qū)間，t3～t4、t7～t8為負(fù)半周的截止區(qū)間。

由圖8（b）可知，有功功率等于正、負(fù)半周的2部分面積之和除以周期T，得P=3.30 kW。

由圖 8（c）可知，在正半周 t0～t1，由于 u＞0，di/dt＞0，則梯形的面積構(gòu)成正半周的正偽無(wú)功功率，即

在正半周t0～t1，由于u＞0，di/dt＜0，則△t1t2的面積構(gòu)成正半周的負(fù)偽無(wú)功功率，即

在負(fù)半周，偽無(wú)功功率的分析過(guò)程與正半周類似，晶閘管重復(fù)正半周的工作過(guò)程。分析得負(fù)半周的正偽無(wú)功功率=1.12 kvar，負(fù)半周的負(fù)偽無(wú)功功率=-2.42 kvar。

網(wǎng)側(cè)無(wú)功功率為正、負(fù)半周偽無(wú)功功率之和除以工頻電角度的平均值，即

功率因數(shù)為λ=cosφ=0.99

2.2.3其他導(dǎo)通角

①當(dāng)導(dǎo)通角 0°＜θ≤ 60°時(shí)，有功功率、無(wú)功功率和功率因數(shù)的圖解可參考第2.2.1節(jié)得到。

有功功率的計(jì)算如圖 7（b）和式（9），在 φ-i平面圖中求出圖形面積M，再除以工頻周期T即可。

無(wú)功功率的計(jì)算如圖7（c）所示，由于整個(gè)周期內(nèi)均有di/dt＜0，故有正、負(fù)半周的偽無(wú)功功率Qf＜0，即，則求網(wǎng)側(cè)無(wú)功功率時(shí)，可將式（10）化簡(jiǎn)為

在求得有功功率和網(wǎng)側(cè)無(wú)功功率后，功率因數(shù)可根據(jù)定義計(jì)算得到。

②當(dāng)導(dǎo)通角 60°＜θ≤120°時(shí)，有功功率、無(wú)功功率及功率因數(shù)的圖解可參考第2.2.2節(jié)得到，其中θ=120°時(shí)的三維 u-φ-i圖如圖 5 所示。

無(wú)功功率的計(jì)算如圖8（c）所示，將正、負(fù)半周以60°導(dǎo)通角為分界，各自分為2個(gè)部分，其中di/dt＞0的部分稱為正偽無(wú)功功率，di/dt＜0 的部分稱為負(fù)偽無(wú)功功率與符號(hào)相反，則計(jì)算無(wú)功功率時(shí)，可將式（10）化簡(jiǎn)為

有功功率和網(wǎng)側(cè)功率因數(shù)的計(jì)算方法和過(guò)程與 0°＜θ≤60°時(shí)類似，不再重復(fù)敘述。

3 現(xiàn)行功率理論

現(xiàn)今，對(duì)無(wú)功功率理論仍尚無(wú)定論，Budeanu功率理論與Fryze功率理論可以分別適用于頻域和時(shí)域，各有其優(yōu)缺點(diǎn)。而IEEE1459-2010功率理論則相對(duì)完善，認(rèn)可度較高，但也仍有不足。

3.1 現(xiàn)行功率理論分析

（1）IEEE1459-2010 功率標(biāo)準(zhǔn)為：Q1=U1I1sinφ1，其中：Q1為基波無(wú)功功率；S1為基波視在功率；SH為諧波視在功率；DI為電流失真功率；DV為電壓失真功率；SN為非基波視在功率；U1為基波電壓；I1為基波電流；UH為諧波電壓；IH為諧波電流；φ1為基波電壓電流相位差。

（3）Fryze功率理論模型為 ：S=UI，P=UIp，Q=。其中：S為視在功率；P為有功功率；Q為基波無(wú)功功率；Ip為有功電流。

表1 單相相控反電勢(shì)負(fù)載現(xiàn)行功率理論比較Tab.1 Comparison with the existing power theory of single-phase phase-controlled rectifier circuit under back EMF load

3.2 各功率理論計(jì)算結(jié)果

以工頻220 V單相橋式相控整流電路帶155.5 V反電勢(shì)和5 Ω電阻負(fù)載的電路模型為例，對(duì)現(xiàn)行功率理論與本文圖解法進(jìn)行比較，結(jié)果如表1所示。

比較表1的數(shù)據(jù)可知，本文所提圖解法計(jì)算得到的無(wú)功功率Q與IEEE1459-2010標(biāo)準(zhǔn)的基波無(wú)功功率Q1、Budeanu功率理論的無(wú)功功率QB在數(shù)值上僅有小數(shù)點(diǎn)后3位的誤差，而Fryze功率理論的無(wú)功功率Q、文獻(xiàn)[18]所提方案的功率因數(shù)cosφ則與圖解法計(jì)算結(jié)果有所不同。

IEEE1459-2010標(biāo)準(zhǔn)是通過(guò)對(duì)電流Fourier變換，分析電流的基波與高次諧波，但由于整流電路二極管的單向?qū)щ娦?，電流只能通過(guò)一半的正弦波，故IEEE1459-2010標(biāo)準(zhǔn)仍有不足。而Budeanu功率理論被指出無(wú)功功率與畸變功率存在物理意義不明等問(wèn)題，F(xiàn)ryze功率理論所定義的無(wú)功功率不滿足功率守恒定律，故上述功率理論均有一定缺陷。

本文所提無(wú)功功率圖解法是根據(jù)電流、電壓及磁通波形合成三維圖，進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算即可得到無(wú)功功率，且計(jì)算結(jié)果與主流學(xué)術(shù)觀點(diǎn)相同。

4 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種基于圖解法的單相相控整流電路帶反電勢(shì)負(fù)載的無(wú)功功率測(cè)算方法，定義了偽無(wú)功功率的概念。作三維u-φ-i圖并將其向u-i面投影得到 f（u，i）的函數(shù)圖形，則 f（u，i）與縱軸 i所圍面積即為偽無(wú)功功率，由此可以進(jìn)一步計(jì)算得到網(wǎng)側(cè)無(wú)功功率和功率因數(shù)。所提的無(wú)功功率圖解法簡(jiǎn)單直觀，而傳統(tǒng)的計(jì)算方法是通過(guò)復(fù)雜的Fourier變換或電流分解，需要進(jìn)行繁瑣的數(shù)學(xué)推演。