基于四階龍格- 庫塔公式的火控系統(tǒng)瞄準角修正模型

徐亞軍，王 鈺，宋賢龍

（陸軍裝甲兵學院蚌埠校區(qū)，安徽 蚌埠 233050）

0 引言

大量的部隊實彈射擊訓練結果表明，裝甲突擊車輛火炮在相同距離上對炮目高低角不同的目標射擊時，炮目高低角越大其命中概率越低。究其原因主要是由于現行火控系統(tǒng)是采用彈道剛性原理［1］來解算彈道諸元的，彈道剛性原理是制定裝甲突擊車輛直瞄射擊規(guī)則的重要依據。根據彈道剛性原理，火炮射擊時若射角不超過15°，在確定首發(fā)諸元時可以不考慮目標炮目高差的影響，直接根據測得的目標距離確定瞄準角瞄準目標射擊，而不影響射擊效果，這樣大大提高了射擊的簡便性。而實際上，目標炮目高差對射擊是有一定影響的，并且隨著炮目高差的增大其誤差越大。那么，能不能通過一種算法，將這種誤差計算出來，從而為部隊組織射擊訓練時提供修正的理論依據？下面就來介紹一種基于四階龍格-庫塔公式的裝甲突擊車輛火控系統(tǒng)瞄準角修正模型。

1 四階龍格-庫塔公式

基于該思路產生的龍格-庫塔算法，應用最為廣泛的是四階經典龍格-庫塔公式：

式中，yn+1由現在的值yn加上步長（時間間隔）h 和一個估算的斜率的乘積所決定，該斜率是開始斜率k1、中間斜率k2、中間斜率k3和終點斜率k4的加權平均值。

2 基于四階龍格- 庫塔公式的質點彈道方程仿真模型

將質點彈道方程組［3］中的各式作為四階龍格-庫塔公式的一階迭代系數，可以得到質點彈道方程的仿真模型。質點彈道方程要區(qū)分兩種形式：一種是炮目高低角ε=0，另一種是炮目高低角ε≠0，所以仿真模型也區(qū)分兩種。

2.1 當炮目高低角ε=0 時，令

式中，C 為彈道系數；H（y）為空氣密度函數，隨高度y變化；G（v）為空氣阻力；函數vx，vy為彈丸初速在x，y坐標系投影軸上的分速度。將式（2）代入式（1）有

式（2）和式（3）即為ε＝0 時的四階龍格- 庫塔法形式的質點彈道仿真模型。

2.2 當炮目高低角ε≠0 時，令

3 仿真模型的Matlab 程序設計

由于炮目高低角ε＝0 和ε≠0 兩種情況的仿真步驟是一致的，只是賦予的初值和選擇的計算公式不一樣，限于篇幅，下面只給出炮目高低角ε≠0 時的仿真步驟。

在坦克火控系統(tǒng)射擊諸元求解過程中的彈道問題，并不具備微分方程組所需的初始條件，而已知的是

這是典型的兩點邊值問題，這里以彈道軌跡的某些物理特性為依據，通過采用步長自動選擇的迭代-修正法，將彈道微分方程邊值問題化為初值問題進行迭代求解。仿真求解的步驟如下：

3.1 預先估計瞄準角

預估值可根據距離D 的大小及彈道的規(guī)律來加以選擇，一般可將瞄準角表示為D 的一次函數，即

式中，k 為按射表選擇的系數。

3.2 按初值問題求解彈道微分方程組

有了瞄準角的估算值，即可求出初始條件，因此，對彈道微分方程組按初值問題進行數值求解，選擇的公式為式（4）。在求解過程中可形成各彈道諸元的序列值，即

其中，j 為整個迭代-修正法的序號；i 在積分計算過程中，以步長為h 的遞推計算序號。

3.3 根據落點諸元進行瞄準角修正

3.4 步長的自動選擇

在每次迭代的積分計算過程中，還可以根據落點的計算信息，對積分步長進行選擇，以保證計算的精確性。有以下公式

3.5 迭代完成的條件

程序設計框圖如圖1 所示。

圖1 炮目高低角ε≠0 時仿真程序框圖

4 仿真結果分析

將編輯完成的程序代入至MATLAB 中運行計算，程序能順利運行。圖2 為穿甲彈基于彈道剛性原理（炮目高低角ε=0）和基于四階龍格-庫塔公式（炮目高低角ε≠0 時）兩種不同的彈道軌跡，圖3為破甲彈兩種不同方法的彈道軌跡，圖4 為殺爆彈兩種不同方法的彈道軌跡（圖中藍色曲線為基于彈道剛性原理計算的彈道軌跡，紅色曲線為基于四階龍格-庫塔原理計算的彈道軌跡）。

圖2 穿甲彈瞄準角修正量

圖3 破甲彈瞄準角修正量

圖4 殺爆彈瞄準角修正量

從圖中可以看出不論是何種彈種、多遠的炮目距離、多大的炮目高低角，采用彈道剛性原理的彈道軌跡要比基于四階龍格-庫塔原理的軌跡高出一部分，這就需要在實際射擊過程中，對涉及到炮目高低角的瞄準角進行相應的向下修正，穿甲彈的瞄準角修正量如表1，破甲彈的瞄準角修正量如表2，殺爆彈的瞄準角修正量如表3（限于篇幅，只選取了部分炮目距離）。

表1 穿甲彈瞄準角修正量（mil）

表2 破甲彈瞄準角修正量（mil）

表3 殺爆彈瞄準角修正量（mil）

5 結論

本文得到的結論主要有：1）四階龍格-庫塔法可以進行質點外彈道方程的數值計算，得到的外彈道諸元基本符合射表；2）利用四階龍格-庫塔公式可以求解當炮目高低角不為零時的外彈道諸元，從而彌補彈道剛性原理在射表中應用的不足；3）利用四階龍格-庫塔法進行仿真計算，可以得到當炮目高低角不為零時在不同炮目距離上的瞄準角修正量。該方法已經進行過實彈射擊檢驗，經過修正后，射擊命中率明顯提高。