開展方程教學(xué) 滲透數(shù)學(xué)思想

摘?要：方程是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的“重中之重”，傳統(tǒng)課堂教學(xué)只是把方程作為一種知識或技能來開展教學(xué)，以概念學(xué)習(xí)來掌握方程形式和特征，以方程求解來掌握運(yùn)算法則，以應(yīng)用題來掌握解決問題的步驟。實(shí)際上，方程是一種蘊(yùn)含著豐富思想的載體，其中最為重要的就是方程思想，此外，還有字母表示數(shù)、化歸、類比、模型等思想，有助于形成數(shù)學(xué)觀念，提升自身數(shù)學(xué)綜合能力。

關(guān)鍵詞：方程教學(xué);數(shù)學(xué)思想;一元一次方程

方程是初中數(shù)學(xué)的重要組成部分，教師在教學(xué)中往往只是把方程作為一種技能來教學(xué)，要求學(xué)生掌握方程解法，以應(yīng)用題來解決實(shí)際問題。實(shí)際上，筆者認(rèn)為方程是一種載體，其中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，比起求解方法更應(yīng)該重視的是方程思想。那么，方程教學(xué)中如何體現(xiàn)方程思想，在教學(xué)中如何實(shí)施方程思想教學(xué)？下面，筆者以“一元一次方程”為例來開展教學(xué)活動，對知識進(jìn)行深入剖析，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，發(fā)展綜合能力。

一、 方程思想內(nèi)涵

方程思想是分析數(shù)學(xué)問題的等量關(guān)系，通過建立起方程或方程組模型來求解，運(yùn)用方程性質(zhì)去解決問題，得到答案的思想方法。一般來說，方程思想方法包含三個方面：（1）以字母表示未知數(shù)，把“未知數(shù)”當(dāng)作“已知數(shù)”來參與數(shù)學(xué)運(yùn)算，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型;（2）用等式來表示問題數(shù)量關(guān)系;（3）利用求解的思路來計(jì)算方程，進(jìn)而獲得未知數(shù)的數(shù)值。在一元一次方程課堂教學(xué)中，教師要在不同教學(xué)階段注重不同內(nèi)容，顯化出其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、 滲透方程思想的教學(xué)策略

（一）概念教學(xué)，側(cè)重“以字母表示未知數(shù)”

進(jìn)入到初中階段，與小學(xué)數(shù)學(xué)很大區(qū)別就是初中數(shù)學(xué)開始以字母表示數(shù)，由具體數(shù)字過渡到字母，這也是學(xué)生思維的重大轉(zhuǎn)變，是一個需要逐步深入的學(xué)習(xí)過程。在一元一次方程前，學(xué)生在“整式及其加減”一章中已經(jīng)初步了解了用字母表示數(shù)，學(xué)會了字母表示數(shù)的運(yùn)算律。在教材中，一元一次方程概念引入時安排了很多例子，學(xué)生在學(xué)習(xí)時要用字母表示未知數(shù)，列出方程。在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生要嘗試在問題情境中建立數(shù)學(xué)方程，認(rèn)識到方程在解決問題時的應(yīng)用優(yōu)勢。在筆者看來，初中數(shù)學(xué)一元一次方程的意義在于引導(dǎo)學(xué)生思維轉(zhuǎn)變（從小學(xué)算數(shù)思維向中學(xué)代數(shù)思維過渡），體會到解決問題的重要方式。受到傳統(tǒng)學(xué)習(xí)方式的影響，學(xué)生在面對問題往往習(xí)慣于算數(shù)方式來解決，不愿意使用方程、不理解方程的重要性。面對著這種情況，教師要掌握實(shí)際學(xué)情，從學(xué)生角度了解其心理狀態(tài)，在肯定算術(shù)方法合理性的同時來引導(dǎo)他們對比研究算式和方程思想，使其了解到方程思維的優(yōu)勢，實(shí)現(xiàn)從算式向方程思想的過渡。

在教材中，編者設(shè)計(jì)了一些問題情境來開展概念教學(xué)，如，猜年齡——把年齡乘以2減去5得數(shù)來告訴同桌，讓同桌猜出年齡。同桌要計(jì)算出年齡，以班級王同學(xué)為例，王同學(xué)年齡乘以2減去5得21，那么王同學(xué)年齡是多少？本道問題較為簡答，學(xué)生運(yùn)用算術(shù)方法能順利求解，但是要經(jīng)歷逆向思維來計(jì)算，即，先用21+5，再把得數(shù)除以2。這種運(yùn)算順序與給出的語言正好相反，即，表述語言是“先乘后減”，算式是“先加后除”，逆向思維方式加大了學(xué)生思考難度，在邏輯上也存在著理解困難。如果運(yùn)用方程思想，設(shè)小王年齡為x，方程為：2x-5=21，只要把條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)式即可，這種方程思想與語言表述一致，邏輯上也更加容易理解。對比上述兩種數(shù)學(xué)思維，算式能夠解決問題，但要進(jìn)行逆向思維，如果難度稍大，很難順利解決。運(yùn)用方程思想會直接列出公式，進(jìn)而順利求解問題答案。

（二）方程教學(xué)，滲透化歸思想

方程求解過程是對原方程進(jìn)行變化，直到計(jì)算出x=a的形式，教材給出了求解方法：移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、去括號、化系數(shù)為1等等。方程的求解過程是方程思想的核心內(nèi)容，只要建立起方程就能運(yùn)用上述求解方法來求出未知數(shù)。一般來說，一元一次方程的形式為ax+b=0（a≠0），根據(jù)運(yùn)算法則來求解化為x=a的形式，而x=a形式是化歸的目的，因此，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中要注重滲透方程求解過程中蘊(yùn)含的化歸思想。

如，一次教學(xué)中，筆者列出了兩道試題：4x-4=12、2x=5x-21，學(xué)生要運(yùn)用求解方法來計(jì)算答案。4x-4=12（兩邊都加4）→4x=16（兩邊都除4）→x=4。2x=5x-21（兩邊都減去5x）→2x-5x=5x-5x-21（合并同類項(xiàng)）→-3x=-21（兩邊都除以-3）得x=7。在求解過程中，體會到方程求解過程，意識到求解思想，實(shí)際上，初中階段方程求解（如二元一次方程、分式方程和一元二次方程）都可以轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解，因此，化歸思想的重要性不言而喻。一元一次方程求解中，學(xué)生在上述例子中提煉出解方程的整體策略：（1）明確出要求解題目與一元一次方程區(qū)別;（2）選擇合適方法來求解一元一次方程;（3）運(yùn)用一元一次方法的求解程序進(jìn)行求解。

（三）應(yīng)用教學(xué)，實(shí)施數(shù)學(xué)模型教學(xué)

在上面論述中，我們了解到方程是含有未知數(shù)的等式，列方程的關(guān)鍵在于運(yùn)用數(shù)學(xué)符號來等價表示出兩側(cè)的內(nèi)容，依據(jù)是兩個不同事物有著相同數(shù)量關(guān)系，因此，方程思想的核心在于“直觀”表示問題中的等式關(guān)系。根據(jù)新課改要求，教師要培養(yǎng)初中生核心素養(yǎng)，其中模型建立是核心素養(yǎng)的重要組成部分。學(xué)習(xí)一元一次方程時，學(xué)生要初步嘗試尋找問題中的等量關(guān)系、建立起數(shù)學(xué)方程，教師要鼓勵他們從多個角度來列出方程，用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)問題，采用規(guī)范化方式來建立起方程，進(jìn)而解決數(shù)學(xué)問題。在應(yīng)用過程中，數(shù)學(xué)模型是學(xué)習(xí)的重要部分，教師要有意識地灌輸“數(shù)學(xué)建?！彼枷耄私饨５拿恳徊襟E進(jìn)而求解出問題答案，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

方程思想的最大價值在于描述事物等量關(guān)系，一元一次方程是學(xué)生在初中階段最早接觸用于求解問題的數(shù)學(xué)模型。一般而言，在運(yùn)用一元一次方程解決實(shí)際問題時，學(xué)生要經(jīng)歷以下求解步驟：（1）從題干材料中找到關(guān)鍵詞、列出等量關(guān)系;（2）根據(jù)條件來列出等式關(guān)系;（3）運(yùn)用方程求解順序來解答等式關(guān)系。如，某面粉倉庫面粉運(yùn)出15%后，還剩余425000千克，倉庫原有多少面粉？（教師帶領(lǐng)學(xué)生共同分析，（1）本題中有哪些給出的已知量和未知量？（2）已知量和未知量間有何關(guān)系？（3）如何來假設(shè)未知量？）在分析完成后，了解到，要設(shè)原來面粉有x千克，等式關(guān)系為原來重量-運(yùn)出重量=剩余重量。解析過程如下：設(shè)原來有x千克面粉，運(yùn)出了15%x千克，由題意得：x-15%x=425000，解得x=500000，因此，原來有500000千克面粉。在求解后，學(xué)生再討論除了上述相等關(guān)系外，是否還有其他表達(dá)形式？（學(xué)生思考后，得到：原來重量=運(yùn)出重量+剩余重量、原來重量-剩余重量=運(yùn)出重量），再指出括號內(nèi)兩種相等表達(dá)形式與“原來重量-運(yùn)出重量=剩余重量”雖然有所不同，但實(shí)質(zhì)卻相同，可以選擇其中一個相等關(guān)系來列方程。在解答過程中，學(xué)生先理解試題材料，再根據(jù)等量關(guān)系來建立數(shù)學(xué)模型、列出數(shù)學(xué)公式，解答出問題答案。在解答試題中，應(yīng)用題的求解步驟為：（1）認(rèn)真審題、理解題意，弄清楚已知量、未知量及相互關(guān)系;（2）用字母假設(shè)未知量，建立數(shù)學(xué)模型，列出相等關(guān)系;（3）根據(jù)關(guān)系來列出方程，利用題干條件來求解問題，解答出正確答案;（4）檢驗(yàn)答案是否符合方程。

（四）復(fù)習(xí)教學(xué)，優(yōu)化方程教學(xué)結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)教學(xué)中，教材對內(nèi)容的編排往往從概念引入、方程建立和求解、應(yīng)用題解答三個部分來展開。教材用了很多實(shí)際情境問題來引入一元一次方程概念，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用字母x來表示問題中的未知量，進(jìn)而表示出數(shù)量關(guān)系，尋找到等量關(guān)系來表示數(shù)量關(guān)系建立方程，進(jìn)而引出一元一次方程概念。在方程求解過程中，學(xué)生要運(yùn)用移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、去括號、化系數(shù)為1等方法來求解方程，把一元一次方程轉(zhuǎn)化為x=a的形式。最后，方程應(yīng)用階段，設(shè)計(jì)一系列應(yīng)用題來練習(xí)如何建立方程組，解決遇到的實(shí)際問題，明確提出應(yīng)用一元一次方程來解決問題，運(yùn)用一元一次方程來解決應(yīng)用題。提煉出教材思路，結(jié)構(gòu)為“認(rèn)知方程→求解方程→應(yīng)用方程”，每一步都蘊(yùn)含著豐富的方程思想。

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師要重視揭示教材思路，從而為后續(xù)其他方程學(xué)習(xí)做好鋪墊，展示方程歸納的步驟、方法、其中蘊(yùn)含的思想等等，便于班級學(xué)生在后續(xù)其他方程學(xué)習(xí)中類比一元一次方程的學(xué)習(xí)過程，借鑒成功學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。這樣，學(xué)生在整個初中階段學(xué)習(xí)就不再獨(dú)立地學(xué)習(xí)某一方程類型，而是對方程主題進(jìn)行整體性學(xué)習(xí)。在學(xué)習(xí)中，教師要優(yōu)化教材內(nèi)容和結(jié)構(gòu)，一方面要指出方程引入、求解和應(yīng)用過程和注意事項(xiàng)，另一方面還應(yīng)當(dāng)指出蘊(yùn)含在其中的數(shù)學(xué)方程思想。在復(fù)習(xí)階段，教師要重點(diǎn)關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難群體，幫助他們解決學(xué)習(xí)中存在的疑惑和困難，梳理本部分知識，內(nèi)化為自身數(shù)學(xué)知識體系，掌握數(shù)學(xué)教材重要內(nèi)容，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，提升自身數(shù)學(xué)成績。

方程作為初中階段的重要知識，一元一次方程作為方程入門的知識，對初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著重要意義，數(shù)學(xué)教師不能僅僅以為方程是一種解題方法和技能，更要認(rèn)識到方程背后隱藏的數(shù)學(xué)思想。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要及時理解和掌握學(xué)生在學(xué)習(xí)中的實(shí)際學(xué)情和心理變化，注重方程思想滲透過程，結(jié)合字母表示數(shù)、化歸、數(shù)學(xué)模型、類比等多種方法來展開初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動，發(fā)展個體數(shù)學(xué)觀念，促使其形成數(shù)學(xué)綜合能力，發(fā)展自身數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。在一元一次方程教學(xué)中，教師要結(jié)合不同部分知識來有所側(cè)重地開展方程教學(xué)，使每個人都能從中有所收獲，夯實(shí)數(shù)學(xué)方程基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳太隆，朱良燕.在探討問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識：以“一元一次方程的應(yīng)用”教學(xué)片段為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（9）.

[2]程為德.初中數(shù)學(xué)一元一次方程教學(xué)透析[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2019（10）.

[3]張可鋒.基于制屏互動游戲的初中數(shù)學(xué)教學(xué)策略探討：以《解一元一次方程：去分母》為例[J].數(shù)學(xué)之友，2019（12）.

[4]董磊.初中數(shù)學(xué)主要思想方法的內(nèi)涵及層次結(jié)構(gòu)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（9）.

作者簡介：

袁建華，福建省寧德市，福建省柘榮縣第三中學(xué)。