加筋板破壞載荷計(jì)算中的蒙皮有效寬度計(jì)算方法適應(yīng)性驗(yàn)證

吳存利，聶小華

(中國飛機(jī)強(qiáng)度研究所 計(jì)算結(jié)構(gòu)技術(shù)與仿真中心， 西安 710065)

0 引 言

結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性是飛機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中最為關(guān)心的問題之一，飛機(jī)薄壁靜強(qiáng)度失效中很大一部分是因?yàn)閱适Х€(wěn)定性引起的，由于結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性約束的限制，飛機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)應(yīng)力遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于結(jié)構(gòu)材料的許用應(yīng)力。因此，保持穩(wěn)定性是不同薄壁結(jié)構(gòu)形式的選擇和設(shè)計(jì)的主要依據(jù)。

對于金屬結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析，已經(jīng)形成了一系列分析方法，并形成了各種手冊。如美國最早的Handbook of Structural Stability，Part I-VI[1-5]，該手冊全面討論了平板的屈曲，組合元件的屈曲，曲板和殼體的屈曲，板和組合元件的破壞，加筋平板的破壞。該手冊是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析的鼻祖，后來國內(nèi)外出版的書、手冊和指南提供的關(guān)于穩(wěn)定性分析方法都來自于該手冊。

我國1965年8月出版的《飛機(jī)設(shè)計(jì)員手冊(第四冊)》和1983年4月出版的《飛機(jī)設(shè)計(jì)手冊(下冊)》中均介紹了金屬飛機(jī)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性計(jì)算方法。在1996年6月出版的《結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性設(shè)計(jì)手冊》中，較全面地總結(jié)了我國飛機(jī)設(shè)計(jì)部門多年的設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)和大量試驗(yàn)研究數(shù)據(jù)，給出了金屬飛機(jī)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析的較完整的計(jì)算公式、設(shè)計(jì)曲線和實(shí)用分析軟件[6]。

金屬加筋板的受壓破壞形式，根據(jù)有效長度大小可分為三種。在長柱范圍內(nèi)，即長加筋板，其破壞形式呈彈性彎曲失穩(wěn)破壞(又稱柱失穩(wěn))，在這一區(qū)間,采用歐拉公式計(jì)算。在短柱范圍內(nèi)，屬于塑性壓縮破壞，即壓損破壞。在中長柱范圍，屬于塑性失穩(wěn)破壞，工程中一般采用兩種方法,第一種方法為拋物線近似法；第二種為Johnson-Euler方程。目前國內(nèi)外飛機(jī)設(shè)計(jì)公司如空客、龐巴迪、中國商飛多采用第二種方法[7-9]。

采用Johnson-Euler方程，必須計(jì)算蒙皮的有效寬度。目前關(guān)于有效寬度的計(jì)算存在著多種方法，但未見有公開的文獻(xiàn)對計(jì)算方法的來源和適應(yīng)性進(jìn)行說明。鑒于此，本文針對國內(nèi)外飛機(jī)設(shè)計(jì)人員常用的有效寬度計(jì)算方法進(jìn)行討論研究，探討其來源，并針對Z型加筋板，說明其適應(yīng)性。

1 Johnson-Euler方程

Johnson-Euler方程在拋物線近似法[10-13]基礎(chǔ)上簡化而來，拋物線近似法為

(1)

(2)

采用Johnson-Euler方程計(jì)算加筋與蒙皮有效寬度組成柱的破壞應(yīng)力，涉及柱的面積和慣性矩的計(jì)算，而其中的關(guān)鍵就是確定蒙皮的有效寬度，一旦蒙皮的有效寬度已知，則采用式(2)能較為容易的得到加筋板的許用應(yīng)力。

2 有效寬度概念和計(jì)算方法

有效寬度示意圖如圖1所示。假設(shè)加筋板受到如圖1(a)所示的軸壓載荷，隨著加載的繼續(xù)，加筋板截面上載荷分布變化情況如圖1(b)所示。

在達(dá)到板的初始失穩(wěn)應(yīng)力之前，整個(gè)截面應(yīng)力分布比較一致。當(dāng)應(yīng)力超過板的初始失穩(wěn)應(yīng)力后，加筋之間的薄板發(fā)生屈曲，不再承受大于臨界屈曲載荷的載荷，但是與加筋連接的這部分薄板，由于與加筋相連仍有繼續(xù)承載的能力，工程中把與加筋相連的薄板的寬度稱作有效寬度，如圖1(c)所示。在加筋之間的薄板屈曲后，加筋板截面應(yīng)力分布變得不再均勻，筋條根部應(yīng)力較大，離筋條越遠(yuǎn)應(yīng)力基本保持為常值(如圖1(b)所示)。工程上為了計(jì)算方便，用一致的應(yīng)力分布來代替不一致的應(yīng)力分布，取中間板的初始失穩(wěn)應(yīng)力和板邊最大應(yīng)力代替不一致應(yīng)力分布，如圖1(d)所示。由以上分析可知，當(dāng)載荷繼續(xù)增加，有效寬度會(huì)越來越窄，如圖1(b)所示。因此確定加筋薄板的有效寬度成為計(jì)算加筋板破壞載荷的關(guān)鍵因素。

(a) 結(jié)構(gòu)示意圖

(b) 有效寬度的取法

(c) 理論有效寬度

(d) 應(yīng)力的近似處理

目前國內(nèi)外對有效寬度計(jì)算有下列8方法。

2.1 Von Karman有效寬度

在剛開始加載到筋條間板發(fā)生局部屈曲之前，應(yīng)力分布是均勻的，當(dāng)筋條間板失穩(wěn)后，應(yīng)力開始變得不再均勻，隨著壓縮載荷的增加，失穩(wěn)的區(qū)域越來越多，內(nèi)力越來越向筋條附近轉(zhuǎn)移，使其有效寬度變窄(如圖1(b)所示)。由板局部屈曲理論分析可知，加筋板的初始屈曲應(yīng)力即為兩筋間板的局部失穩(wěn)應(yīng)力，即

(3)

式中：b為兩筋條之間蒙皮寬度；t為蒙皮厚度；E為蒙皮彈性模量；ν為材料泊松比；kc為壓縮臨界應(yīng)力系數(shù)，與板的邊界支持條件及長寬比(a/b)有關(guān)。

Von Karman認(rèn)為，加筋板結(jié)構(gòu)的最終失穩(wěn)應(yīng)力可用筋條附近的一塊有效寬板的臨界失穩(wěn)應(yīng)力來表征[14]，于是，當(dāng)b為有效寬度be時(shí)，σcr應(yīng)為筋條的最終失穩(wěn)應(yīng)力σst即，如式(4)所示。

(4)

由式(3)和式(4)得出：

(5)

2.2 Winter有效寬度

Winter對式(5)作了修正，給出的有效寬度表達(dá)式[15]：

(6)

式中：ξ為修正項(xiàng)，其表達(dá)式為

(7)

2.3 牛春勻書中的有效寬度

牛春勻在《實(shí)用飛機(jī)結(jié)構(gòu)應(yīng)力分析及尺寸設(shè)計(jì)》中推薦采用如下的有效寬度計(jì)算公式[16]：

(8)

式中：Kceff為蒙皮屈曲系數(shù)，與邊界條件和蒙皮幾何尺寸相關(guān)，其表達(dá)式為

(9)

2.4 Bruhn書中的有效寬度

針對不同類型的加筋板，Bruhn在《Analysis and Design of Flight Vehicle Structures》中采用如下有效寬度計(jì)算方法[11]。

(a) Z和J形剖面鉚接加筋板

有效寬度計(jì)算方法為

(10)

式中：t為蒙皮厚度；E為彈性模量；σst為筋條應(yīng)力(對于短板，σst=σcc)。

(b) L、Ⅰ形剖面鉚接連接

對每個(gè)凸緣用雙排鉚接線與蒙皮連接在一起的L、Ⅰ形剖面鉚接加筋板如圖2所示。在工程計(jì)算中，一般仍按一排鉚接線計(jì)算，即be仍用式(10)計(jì)算，如圖3(a)所示。但在計(jì)算筋條壓損應(yīng)力時(shí)，與蒙皮相連的緣條厚度取緣條厚度與蒙皮板厚度之和的3/4，如圖3(b)所示。

(a) L形剖面 (b) Ⅰ形剖面

圖2 L和Ⅰ形剖面

Fig.2 Sections of L and Ⅰ

(a) 情況1

(b) 情況2

對于情況1，筋條的壓損應(yīng)力按T形截面計(jì)算，T形截面的垂直部分視為兩頭簡支，即be仍用式(10)計(jì)算，但蒙皮厚度取為t=(ts+tf)/2。

對于情況2，筋條壓損應(yīng)力按Ⅰ形來計(jì)算，有效寬度be仍用式(10)計(jì)算。

(c) 蒙皮一端自由

圖4 蒙皮一端自由

如果蒙皮與筋條的材料不同，be可用式(11)計(jì)算。

(11)

式中：σst為筋條應(yīng)力；σsh與筋條有同樣應(yīng)變時(shí)蒙皮的應(yīng)力；Est筋條的彈性模量。

2.5 “民機(jī)指南”中有效寬度

由航空工業(yè)出版社出版，孫俠生主編的《民用飛機(jī)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度剛度設(shè)計(jì)與驗(yàn)證指南》，有效寬度計(jì)算方法[12]為

(12)

式中:ts為蒙皮的寬度；br為鉚釘間距，單位：mm。

2.6 工程有效寬度簡便計(jì)算方法

工程中采用如下簡便的計(jì)算方法(簡稱30t)[12]，對于2024系列材料，蒙皮有效寬度為

be=br+30ts

(13)

對于7075系列材料，蒙皮有效寬度為

be=br+25ts

(14)

式中:ts為蒙皮的厚度；br為鉚釘間距。

2.7 《飛機(jī)設(shè)計(jì)手冊》中有效寬度

航空工業(yè)在1998年組織相關(guān)專業(yè)技術(shù)專家編寫了《飛機(jī)設(shè)計(jì)手冊》。在手冊中蒙皮有效寬度選取方法[10]如下。

對于長桁和蒙皮材料相同的情況下，相鄰蒙皮的有效寬度為

(15)

如果蒙皮和筋條材料不同，則有

(16)

式中：σs為筋條有同樣應(yīng)變時(shí)蒙皮的應(yīng)力；Est為筋條的彈性模量。

2.8 國外民機(jī)設(shè)計(jì)公司蒙皮有效寬度

空客公司在對中長加筋板強(qiáng)度設(shè)計(jì)時(shí)，也采用Johnson-Euler方程計(jì)算。需要值得注意的是，空客手冊中有效寬度計(jì)算方法，是建立在對Johnson-Euler方程修正的基礎(chǔ)上，因此不具有通用性。

加拿大龐巴迪公司在中長加筋板極限強(qiáng)度計(jì)算中，蒙皮的有效寬度計(jì)算方法與牛春勻介紹的一致，因此這里不再介紹。

3 有效寬度計(jì)算方法評述

上面介紹了蒙皮有效寬度各種計(jì)算方法。下面將對這些計(jì)算方法進(jìn)行簡述。

Von Karman的有效寬度計(jì)算方法是從板的臨界屈曲應(yīng)力公式推導(dǎo)而來的，是最基礎(chǔ)的，后面其他計(jì)算方法都是從該方法演變而來的。

Winter在Von Karman有效寬度計(jì)算方法的基礎(chǔ)上增加修正項(xiàng)，由于修正系數(shù)小于1，用Winter方法計(jì)算得到有效寬度小于Von Karman的。

牛春勻采用的有效寬度計(jì)算方法與Von Karman的一致。如果將平板臨界屈曲應(yīng)力計(jì)算公式σcr=KceffE(t/b)2代入Von Karman計(jì)算公式，即得到牛春勻的計(jì)算方法。

Bruhn介紹的有效寬度計(jì)算方法，是牛春勻方法Kceff=3.62一種特殊情況，即認(rèn)為筋條對蒙皮的支持為簡支，是牛春勻方法一種特例。

“民機(jī)指南”中有效寬度在Von Karman公式的基礎(chǔ)上按蒙皮的厚度進(jìn)行了分類：當(dāng)蒙皮厚大于3.15 mm，屈曲系數(shù)取簡支；當(dāng)蒙皮厚小于2.54 mm，屈曲系數(shù)取固支；當(dāng)蒙皮厚在2.54 mm到3.15 mm，取簡支和固支的平均值。

《飛機(jī)設(shè)計(jì)手冊》第9分冊給出的有效寬度計(jì)算方法與Bruhn給出的公式一致。

龐巴迪公司在《應(yīng)力和疲勞手冊》中的蒙皮有效寬度計(jì)算方法與牛春勻介紹的一致。

從上述分析可知，無論是國外民機(jī)設(shè)計(jì)手冊，還是教材或科技書籍，所采用的有效寬度根源都來自Von Karman，不同之處是他們在Von Karman有效寬度的基礎(chǔ)上增加了修正項(xiàng)，或是Von Karman的方法一種特例。

4 有效寬度計(jì)算方法適應(yīng)性驗(yàn)證

鑒于上述的分析結(jié)果，本文利用機(jī)身加筋板試驗(yàn)數(shù)據(jù)，對有效寬度的Von Karman、Winter、Bruhn、“民機(jī)指南”、工程簡便計(jì)算方法適應(yīng)性進(jìn)行驗(yàn)證，說明其計(jì)算效果。

4.1 試驗(yàn)件

機(jī)身壁板的軸壓試驗(yàn)件共有12種構(gòu)型，蒙皮曲率半徑為1 560.9 mm。采用的材料為2524-T3和2524-T4，框和筋條所用的材料為7075-T62和7075-T6。

軸壓壁板結(jié)構(gòu)總長有542 mm和610 mm兩種，總寬有580 mm和540 mm兩種，試驗(yàn)段分別為492 mm和560 mm，夾持高度均取25 mm，長桁間距為190 mm和180 mm，蒙皮壁板為整體化洗，最厚處為1.6 mm，最薄處為1.0 mm。筋條為Z型剖面，按厚度以及形狀分為5種類型。試驗(yàn)件詳細(xì)構(gòu)型和邊界條件詳見參考文獻(xiàn)[17]。軸壓試驗(yàn)件示意圖如圖5所示。

圖5 機(jī)身壁板軸壓試驗(yàn)件尺寸

4.2 加筋板破壞載荷分析

采用Johnson-Euler方程計(jì)算加筋板破壞載荷，需要先計(jì)算加筋條的壓損應(yīng)力，然后通過迭代獲得加筋板的有效寬度，最后計(jì)算加筋板破壞載荷。

4.2.1 筋條壓損應(yīng)力

筋條的壓損應(yīng)力計(jì)算采用板元法[10-13]，依次計(jì)算各個(gè)板元的壓損應(yīng)力，然后計(jì)算筋條的壓損應(yīng)力。試驗(yàn)件5類筋條的壓損應(yīng)力計(jì)算值如表1所示。

表1 筋條的壓損應(yīng)力

4.2.2 蒙皮有效寬度

對12種試驗(yàn)件構(gòu)型，采用5種方法(Von Karman，Winter，Bruhn，“民機(jī)指南”，工程30t蒙皮厚度)計(jì)算了蒙皮的有效寬度，計(jì)算結(jié)果如圖6所示。

圖6 蒙皮有效寬度

從圖6可以看出：采用Winter方法得到的有效寬度值最小，其次是Von Karman方法，而采用民機(jī)指南得到的有效寬度最大；除了民機(jī)指南方法外，無論是Von Karman還是Winter或Bruhn方法，計(jì)算得到的有效寬度差異性不大，其值大小基本等同于30t的蒙皮厚度。

4.2.3 壁板破壞載荷

在得到蒙皮的有效寬度后，利用Johnson-Euler方程計(jì)算加筋板的破壞載荷。在計(jì)算中，端部支持系數(shù)取1.6(由試驗(yàn)確定)。

加筋壁板的破壞載荷如圖7所示。

(a) 蒙皮厚度t=1.0 mm

(b) 蒙皮厚度t=1.3 mm

從圖7可以看出：除了民機(jī)指南外，采用其他方法計(jì)算蒙皮有效寬度，然后利用Johnson-Euler方程得到的破壞載荷基本相同。如果采用民機(jī)指南，計(jì)算得到破壞載荷比其他方法大約大10%。也可以看出，在蒙皮厚度一定的情況下，加筋板的破壞載荷隨筋條面積的增加而增大。

計(jì)算值相對于試驗(yàn)值的誤差曲線如圖8所示，試驗(yàn)值取自文獻(xiàn)[17]。

(a) 蒙皮厚度t=1.0 mm

(a) 蒙皮厚度t=1.3 mm

從圖8可以看出：無論采用何種有效寬度計(jì)算方法，除了少數(shù)幾個(gè)值外，其他值都在±10%之內(nèi)，這說明采用Johnson-Euler方程計(jì)算得到的破壞載荷誤差大約在10%之間；對于Z字型加筋板，在蒙皮厚度一定的情況下，計(jì)算誤差隨筋條的面積增大由正變?yōu)樨?fù)，這說明筋條面積越大，計(jì)算值越保守。

5 結(jié) 論

(1) 對于薄蒙皮鉚接Z型機(jī)身加筋板，基于目前的有效寬度計(jì)算方法，采用Johnson-Euler方程計(jì)算得到的破壞載荷與試驗(yàn)值基本吻合，誤差大約在10%之內(nèi)。

(2) 與試驗(yàn)值對比表明，采用Johnson-Euler方程計(jì)算破壞載荷，為了方便，蒙皮有效寬度也可取30ts(材料2024類)。

(3) 幾種有效寬度計(jì)算方法中，“民機(jī)指南”給出的有效寬度最大，計(jì)算得到的破壞載荷也最大。這是因?yàn)閷τ诒∶善ぃ駲C(jī)指南中蒙皮有效寬度推導(dǎo)是基于筋條對蒙皮支持為固支，從而導(dǎo)致有效寬度計(jì)算公式中的系數(shù)從1.9上升為2.4。