“度”與“渡”：基于小初銜接的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

摘要：缺乏小初銜接的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)會導(dǎo)致學(xué)生升入初中后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)脫節(jié)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中把握“度”與“渡”的策略是：找到知識的生長點(diǎn)，看到知識邁向初中的發(fā)展點(diǎn)，在高年級階段適當(dāng)延伸教學(xué)內(nèi)容，有意識地用小初銜接的“中間地帶”教法，幫助學(xué)生“渡”向遠(yuǎn)方，接駁小學(xué)與中學(xué)。

關(guān)鍵詞：小初銜接;“度”與“渡”;小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類號：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1673-9094（2020）05B-0043 -04

在新課程背景下，如何立足小學(xué)，遠(yuǎn)眺初中，做好小初銜接呢？

在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，教師該把握好教學(xué)的“度”，找到當(dāng)下知識的生長點(diǎn)，看到知識的發(fā)展點(diǎn)，在高年級階段適當(dāng)延伸教學(xué)內(nèi)容，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，為初中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)搭橋鋪路。同時，教師還應(yīng)該把握好教學(xué)方法的“渡”，注重形象思維向抽象思維的過渡訓(xùn)練。高年級階段，教師應(yīng)在“算術(shù)與代數(shù)”“常量與變量”“算術(shù)解法與方程解法”幾個思維轉(zhuǎn)折點(diǎn)上多花些氣力，有意識地用小初銜接的“中間地帶”教法，幫助學(xué)生“渡”向遠(yuǎn)方，接駁小學(xué)與中學(xué)。

下面就以“數(shù)與代數(shù)”的內(nèi)容為例加以闡述。

一、用字母表示數(shù)：從“數(shù)量”的理解過渡到對“關(guān)系”的探討

筆者訪問初中數(shù)學(xué)教師得知，很多初一的學(xué)生對于含有字母的式子理解不夠到位，只要式子中有字母，做題的正確率就不高。從用字母表示數(shù)過渡到一般抽象的含有字母的代數(shù)式，是認(rèn)知上的一個大飛躍，很多剛升入初一的學(xué)生適應(yīng)不了這樣的思維轉(zhuǎn)化。

反觀小學(xué)課本，以蘇教版教材為例，五年級上冊“用字母表示數(shù)”單元安排了7道例題，分別列舉了用字母表示數(shù)和用字母表示式的問題模型。在整個單元學(xué)習(xí)內(nèi)容中，包括了含有字母的式子以及代入計算和化簡形如ax+bx的式子。從小初銜接的角度看，在小學(xué)教學(xué)“用字母表示數(shù)”可按這樣遞進(jìn)的脈絡(luò)進(jìn)行教學(xué)：

（一）把握教學(xué)的“度”：用字母可以表示數(shù)

1.用字母表示任意的數(shù)

教學(xué)時，教師可以列舉四則混合運(yùn)算中的運(yùn)算律，如加法交換律：a+b= b+a，乘法結(jié)合律：ax bx c=ax（bxc），通過舉例讓學(xué)生感知：這里的字母a、b、c不管表示什么數(shù)，仍然符合運(yùn)算律。用字母來表示運(yùn)算律顯得簡潔明了，體現(xiàn)了用字母表示數(shù)的價值[1]。兩個例子讓學(xué)生體會到：字母可以表示任意的數(shù)。

2.用字母表示不確定的數(shù)

用字母真的可以表示任意的數(shù)嗎？

教師借鑒俞正強(qiáng)教師的教學(xué)，用一個信封，若干支粉筆為教具，先讓學(xué)生看見教師在信封里放了多少支粉筆，所以可以用確定的數(shù)字來表示，比如1、2、3等，再讓學(xué)生看不見教師在信封里放了多少支粉筆，因為不確定信封里粉筆的數(shù)量，所以只能用字母來表示這個不確定的數(shù)，比如字母a、b、c等。因為信封的容量有限，里面所裝粉筆的數(shù)量也是有限的，它一定大于0，同時又會小于信封的最大容量。簡單的教具，不簡單的教學(xué)方法，幫助學(xué)生理解：可以用字母表示不確定的數(shù)，且這個數(shù)有一定的取值范圍。進(jìn)退有度，避免機(jī)械，為初中學(xué)習(xí)做鋪墊。

（二）指向銜接的“渡”：突出“關(guān)系”，強(qiáng)調(diào)“運(yùn)算”

1.用含有字母的式子表示數(shù)量關(guān)系

首先，我們可以跟學(xué)生一起梳理出常見的數(shù)量關(guān)系式，如S=vt表示路程、時間和速度之間的關(guān)系，C=4a表示正方形的周長，S=a2表示正方形的面積等;再結(jié)合具體的實際問題得到一些數(shù)量關(guān)系，如書本例題2：甲乙兩地之間的公路長280千米，已經(jīng)行駛了b千米，還剩下（ 280-b）千米。當(dāng)學(xué)生理解了含有字母的式子所表示的數(shù)量關(guān)系后，教師需要讓學(xué)生明白：字母每取一個值，含有字母的式子就有唯一確定的值。這樣的教學(xué)讓學(xué)生感悟到：含有字母的式子表示的數(shù)量關(guān)系可以表示事物間的普遍聯(lián)系，突出“關(guān)系”。

2.用字母表示數(shù)參與運(yùn)算

本單元教學(xué)要讓學(xué)生明白可以用字母來表示特定的未知數(shù)，雖然不知道x是多少，但是卻可以參與運(yùn)算，強(qiáng)調(diào)運(yùn)算。舉一個生活中的例子：已知一本練習(xí)本10元，但是一個文具盒的單價不知道，可以用字母x表示，買了這兩樣文具一共花了40元。那么就可以寫出式子：lO+x=40。算出x=30，文具盒是30元。

我們還可以在課堂中進(jìn)行適當(dāng)拓展：

（1）若a+b=6，求a+b+c=____

（2）若a+b=c.a+b+c=500 c=____

（3）-個等腰三角形如圖1所示。若等腰三角形周長為24，則a=

有了這樣的訓(xùn)練，學(xué)生就能明白把未知的數(shù)看成x，且可以看成已知的數(shù)參與運(yùn)算，強(qiáng)調(diào)“運(yùn)算”。

在進(jìn)行“用字母表示數(shù)”單元教學(xué)時，這樣四層遞進(jìn)脈絡(luò)的教學(xué)安排不顯突兀，為初中學(xué)習(xí)代數(shù)式做了知識和思想觀念上的鋪墊。

二、負(fù)數(shù)：從“了解負(fù)數(shù)”過渡到“理解負(fù)數(shù)”

人教版數(shù)學(xué)教材七年級上冊第一單元“有理數(shù)”單元的目標(biāo)是：理解有理數(shù)的意義，能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù);能借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對值的意義。小學(xué)里對負(fù)數(shù)的總體教學(xué)要求定位為“了解”，了解負(fù)數(shù)的意義，會用負(fù)數(shù)表示日常生活中的一些量。

對比兩個學(xué)段的教學(xué)目標(biāo)。小學(xué)階段，我們該如何把握好教材的“度”，如何設(shè)計好教學(xué)方法的“渡”，才能讓學(xué)生從“了解負(fù)數(shù)”順利過渡到“理解負(fù)數(shù)”呢？

（一）把握教學(xué)的“度”：夯實基礎(chǔ)，深度理解概念中的兩個關(guān)鍵點(diǎn)

1.負(fù)數(shù)和正數(shù)的根本屬性是表示意義相反的量

“意義相反—可分為兩類：一類是自然意義上的相反，比如收入與支出、盈利與虧損等;一類是人為規(guī)定的相反，比如零上溫度與零下溫度，海平面之上和海平面之下等[2]。很多版本的教材都是以溫度計來引入負(fù)數(shù)的，然后歸納總結(jié)：“正數(shù)和負(fù)數(shù)是一組意義相反的量。”

就學(xué)生而言，他們更容易理解基于生活經(jīng)驗的自然意義的相反量。他們能理解收入100元，又支出100元，一收一支相互抵消了。玩游戲中，贏了3局，又輸了3局，一贏一輸相互抵消了。在教學(xué)中，我們需要補(bǔ)充一些生活中的例子，讓學(xué)生真正理解正數(shù)和負(fù)數(shù)是一對意義相反的量。

2.正確認(rèn)識0所蘊(yùn)含的“基準(zhǔn)”意義

我們來看一道初一的數(shù)學(xué)題：

如圖2，A、B、C、D四個點(diǎn)在一條沒有標(biāo)明原點(diǎn)的數(shù)軸上。

（1）若點(diǎn)A和點(diǎn)C表示的數(shù)互為相反數(shù)，則原點(diǎn)為____;

（2）若點(diǎn)B和點(diǎn)D表示的數(shù)互為相反數(shù)，則原點(diǎn)為____;

（3）若點(diǎn)A和點(diǎn)D表示的數(shù)互為相反數(shù)，請在數(shù)軸上表示出原點(diǎn)0的位置。

這道題考測的是學(xué)生對于“0”的分界點(diǎn)是否能靈活變通。反觀小學(xué)教材，關(guān)于0的分界點(diǎn)，書中是這么告知的：“通常，我們規(guī)定海平面的平均高度為0米?！边@樣的告知學(xué)生真的能理解分界點(diǎn)的意義嗎？

我們是否可以進(jìn)行這樣的拓展：

（1）想一想，小花的身高是130厘米，可以表示為一1厘米嗎？

（2）如果把“基準(zhǔn)”定為135厘米，小花的身高可以表示為多少厘米？

（3）如果把小花的身高表示為+4厘米，你能想到什么？

（4）同樣是小花的身高，為什么有多種不同的表示方式？

圍繞小花身高這一問題情境，教師通過拓展，旨在讓學(xué)生明白：正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)不一定都是0。有些時候，“基準(zhǔn)”是人為規(guī)定的，“基準(zhǔn)”不同，同一個對象所表示的方式也不同。這樣的教學(xué)雖有些拔高，但還是可以實現(xiàn)的，其目標(biāo)是指向初中的學(xué)習(xí)，實現(xiàn)小初無縫對接。

（二）指向銜接的“渡”：拓展外延，為學(xué)習(xí)有理數(shù)運(yùn)算積累經(jīng)驗

筆者和初中教師交流得知，有些初一的學(xué)生不知道負(fù)分?jǐn)?shù)、負(fù)小數(shù)等基本概念，有些學(xué)生對于負(fù)數(shù)的絕對值理解較為困難。由此反推小學(xué)教學(xué)，在“負(fù)數(shù)”單元的學(xué)習(xí)中，教師應(yīng)該充分利用數(shù)軸，把生活中的負(fù)數(shù)上升為純數(shù)學(xué)的理性表征，既幫助學(xué)生在小學(xué)階段的軌道里沖刺跑，又適當(dāng)銜接初中的學(xué)習(xí)。

在“負(fù)數(shù)”單元中，例題4第一次出現(xiàn)數(shù)軸。

例題4

教師可以讓學(xué)生先在數(shù)軸上找到2和一2，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：2和-2到0點(diǎn)的距離一樣長，一2和2是一對相反意義的數(shù)，然后，在數(shù)軸上找出更多表示意義相反的數(shù)，按照整數(shù)一小數(shù)一分?jǐn)?shù)這樣的思路拓展延伸，讓學(xué)生知曉負(fù)分?jǐn)?shù)、負(fù)小數(shù)這樣的數(shù)學(xué)概念。最后教師讓學(xué)生思考：-a 一定是負(fù)數(shù)嗎？借助數(shù)軸，數(shù)形結(jié)合，打破思維定式。

在單元練習(xí)中第二次出現(xiàn)數(shù)軸時，教學(xué)應(yīng)該往 縱深處推進(jìn)。 教師可以讓學(xué)生先想一想：4和-4哪個數(shù)更接近0？再觀察小青蛙在數(shù)軸上的運(yùn)動軌跡：一只小青蛙從0開始，先跳到一2，再跳到-4，一共跳了幾格？有什么發(fā)現(xiàn)？教師啟發(fā)學(xué)生思考：在數(shù)軸上找到一個點(diǎn)，它到0點(diǎn)的距離是3，可能是哪個數(shù)？借助數(shù)軸，不斷拓展負(fù)數(shù)的外延，初步滲透絕對值相等概念和分類討論的方法，為初中學(xué)習(xí)有理數(shù)運(yùn)算積累經(jīng)驗[3]。

三、方程：從“算術(shù)思維”過渡到“代數(shù)思維”

教過大循環(huán)的教師都知道，小學(xué)生在學(xué)習(xí)方程時會出現(xiàn)的普遍問題：①不喜歡用方程來解決問題;②不知道設(shè)誰為未知數(shù);③列出80+40=x這樣的方程。這些問題教師不能通過簡單的口頭糾錯來解決，必須深入分析，弄清楚學(xué)生為什么出現(xiàn)這些問題，再設(shè)計合理的教學(xué)過程讓學(xué)生體驗。學(xué)生在體驗中獲得理解，為升入初中后繼續(xù)學(xué)習(xí)方程做好鋪墊與銜接。

（一）把握教學(xué)的“度”：深度辨析易混淆的知識點(diǎn)

1.等式與算式

等號賦有多重意義，可以表示為經(jīng)過具體運(yùn)算后依次得到的結(jié)果，如：8x （4+2）=8×6=48，“=”表示結(jié)果是48;也可以表示為左右雙方的等價性[4]，如書本例題1中根據(jù)天平得到的x+50=150，2x=200這兩個等式，“=”表示天平的左右兩邊質(zhì)量相等。因此，算式表示的是一個結(jié)果，而等式表示的是兩個量之間的相等關(guān)系，須有一個等量，也用“=”連接。

2.等量關(guān)系與數(shù)量關(guān)系

教學(xué)中教師可以枚舉學(xué)生熟悉的“行程問題”題型來幫助學(xué)生辨析“數(shù)量關(guān)系”和“等量關(guān)系”的區(qū)別。題目1：“從甲地到乙地，貨車每小時行60千米，4小時行完。甲乙兩地相距多少千米？”解決這類問題時，我們可以根據(jù)“速度×?xí)r間=路程”這個數(shù)量關(guān)系式來解答。同時，由于數(shù)量關(guān)系中的三個量是互逆的，還可以得到“路程÷速度=時間”和“路程÷時間=速度”另兩道數(shù)量關(guān)系式。題目2：“從甲地到乙地，貨車每小時行60千米，4小時行完。客車每小時行80千米，3小時行完。甲乙兩地相距多少千米？我們分析題意可知，兩輛車的速度和行駛時間都不同，但走的都是同一段路，“路程”一定，它是客車和貨車之間的一個等量，可以得到“貨車速度×貨車時間=客車速度×客車時間”這個等量關(guān)系式，由此讓學(xué)生感悟：數(shù)量關(guān)系是可以互逆的，而等量關(guān)系表示兩個量相等[5]。

（二）指向銜接的“渡”：根據(jù)等量關(guān)系列方程解決實際問題

1.找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出正確的方程

只有正確厘清了“等量關(guān)系”和“數(shù)量關(guān)系”，才能在解決實際問題時列出正確的方程。在教學(xué)中，教師需要讓學(xué)生經(jīng)歷尋找實際問題中數(shù)量之間的相等關(guān)系一列出方程—解答方程這樣一個學(xué)習(xí)過程[6]。其中，尋找“等量關(guān)系”應(yīng)該是課堂中的重點(diǎn)環(huán)節(jié)。“簡易方程”單元只列舉了四類不同的問題情境，教師還需要補(bǔ)充其他的問題模型，比如“行程問題”“工程問題”“銷售問題”等。每一種題型都要求學(xué)生“先找到等量關(guān)系，再列出方程解答”。 在小學(xué)階段，多花些氣力在尋找“等量關(guān)系”上，將來升入初中后，遇到復(fù)雜的實際問題，學(xué)生才能讀懂題目中的關(guān)鍵字詞，找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出正確的方程。

2.擇優(yōu)比較，體會方程核心價值

在小學(xué)教科書中，題目之間的數(shù)量關(guān)系比較簡單，用算術(shù)方法都能求解，所以學(xué)生都不會主動選擇方程。在教學(xué)時教師可以用變式題組的方式來進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生體會到單有“算術(shù)”方法不夠，唯有“算術(shù)+方程”組合才能行天下，為升入初中后學(xué)生主動用方程求解做好學(xué)習(xí)方法上的鋪墊。

教師先出示題目1：“小明今年14歲，媽媽的年齡比小明年齡的3倍還少2歲，媽媽多少歲？”學(xué)生會不約而同地選擇算術(shù)解法。教師再出示題目2：“小明今年14歲，比妹妹年齡的2倍還少2歲，妹妹多少歲？”此時，學(xué)生可能會出現(xiàn)三種不同的解法。（14-2）÷2=6（歲），14÷2-2=5（歲），（14+2）÷2=8（歲）。通過討論分析，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)這道題目需要畫出線段圖進(jìn)行逆向思考，用算術(shù)方法解答很容易錯，如果用方程解會方便很多。教師繼續(xù)出示題目3：“小明爸爸現(xiàn)在的年齡是他30年前年齡的3倍，爸爸多少歲？”學(xué)生會不約而同地選擇用方程解。學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，只要把題目中爸爸現(xiàn)在的年齡設(shè)為x，然后順著題意思考，就能找到題目中的等量關(guān)系，用方程解很方便。最后教師指出：算術(shù)方法是逆向思維，適合解答一部分題目;而方程方法是順向思維，適合解答更多復(fù)雜的題目，就像初中教材所說：“從算術(shù)到方程是數(shù)學(xué)的進(jìn)步?！?/p>

小學(xué)數(shù)學(xué)從做題意義上講很簡單，但從奠基意義上講卻很不簡單。小學(xué)數(shù)學(xué)教師需要“胸懷九年”，擁有教小學(xué)、想初中的意識，了解學(xué)生學(xué)習(xí)的知識基礎(chǔ)，準(zhǔn)確定位當(dāng)下教學(xué)的“度”;同時，還需要“登高眺遠(yuǎn)”，知曉學(xué)生學(xué)習(xí)的下一站，做好知識和方法的鋪墊，將學(xué)生“渡”向遠(yuǎn)方，實現(xiàn)小初無縫對接。

參考文獻(xiàn)：

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[4]鄭毓信.算術(shù)與代數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系[J].小學(xué)教學(xué)研究，2011（19）：13.

[5]俞正強(qiáng).種子課2.0-如何教對數(shù)學(xué)課[M].北京：教育科學(xué)出版社，2020：3.

[6]賁友林，基于模型思想的教材編寫與教學(xué)實施[J].教育視界，2016（2）：12.

責(zé)任編輯：石萍

作者簡介：葛善勤，南通市城中小學(xué)（江蘇南通，226001）教師。