巧用幾何直觀，化難為易

黃曉瑜 江蘇省昆山市千燈中心小學校

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準2011 版》指出：“幾何直觀主要是利用圖形描述分析問題，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果?！睅缀沃庇^是一種意識，是一種思維方式，也是一種教學手段，它的主旨是加深學生對數(shù)學的理解。尤其是在小學階段，幾何直觀的巧用更能有效地把小學生難于理解、復(fù)雜的數(shù)學問題轉(zhuǎn)化成簡單、清晰、形象的數(shù)學問題。

一、巧埋伏筆，讓問題迎刃而解

在學習3 倍數(shù)的特征前先學習2、5 倍數(shù)的特征，教材的安排是讓學生通過列舉2 和5 的倍數(shù)，然后觀察這些倍數(shù)的特征，學生很容易觀察出這些倍數(shù)的特征，教學目標也很容易達成。但是等到學習3 倍數(shù)特征的時候，學生就會發(fā)現(xiàn)之前列舉、觀察的方法不好用了，教師也覺得無從去引導(dǎo)學生從其他角度去觀察，教學顯得很被動，到最后勉強得出3 倍數(shù)特征，這樣的教學顯然是索然無味的。

我們不妨在教學2、5 倍數(shù)特征的時候，就巧用幾何圖形為后面教學埋下伏筆。嘗試引導(dǎo)學生思考：2、5 倍數(shù)的特征為什么只要看個位就可以了？比如任意一個三位數(shù)都是由整百整十和個位數(shù)組成，整百整十確定是2、5 的倍數(shù)，所以只要看個位上的數(shù)是否是2、5 的倍數(shù)。以214 為例，它是由2 個百，1 個十和4 個十組成的，即200+10+4。

200 是2、5 的倍數(shù)，10 是2、5 的倍數(shù)，4 是2 的倍數(shù)，所以214是2 的倍數(shù)，而4 不是5 的倍數(shù)，所以214 不是5 的倍數(shù)。其實計算214÷2，就是在計算（200+10+4）÷2=200÷2+10÷2+4÷2，214÷5=（200+10+4）÷5=200÷5+10÷5+4÷5。如果前期教學中作了這樣的伏筆，那么在教學3 倍數(shù)的特征時，學生會自然而然想到從數(shù)的組成方面去思考。214÷3=（200+10+4）÷3，我們知道，1 個百除以3 會余1，2 個百除以3 會余2,3 個百除以3 沒有余數(shù)，依次循環(huán)……1 個十除以3 會余1，2個十除以3 會余2，3 個十除以3沒有余數(shù)，依次循環(huán)……200 除以3 余2，2 和10 合起來得12 除以3 沒有余數(shù)4 除以3 有余數(shù)，所以214 不是3 的倍數(shù)。

有心的老師會發(fā)現(xiàn)，在教學判斷一個非整百的年份是平年還是閏年時，除了簡單的用非整百年份除以4，還可以只看非整百年份的后兩位是否是4 的倍數(shù)，那這是為什么呢？假如一個四位數(shù)的年份，千位上的整千數(shù)除以4 沒有余數(shù)，百位上的整百數(shù)除以4 也沒有余數(shù)，所以前兩位數(shù)可以不看，只要看后兩位數(shù)是否是4 的倍數(shù)，這樣道理也就顯而易見了。

二、巧畫幾何直觀，揭開易錯題神秘的面紗

四年級下學期學完“運算律”后，學生遇到這樣兩道題時，容易混淆并產(chǎn)生錯誤解法。題1：（240+330）÷30，題2：360÷（40+20）。

因為在學習分配律時，學生都知道乘法有分配律，也知道除法沒有分配律，但是，對于為什么（a+b）÷c可以等于a÷c+b÷c,而a÷（b+c）為什么不等于a÷b+a÷c 的算理上還是知之甚少。我們不妨用長方形長、寬及面積的關(guān)系來幫助學生理解。

題1 圖：

題2 圖：

方法1：（240+330）÷30 =570÷30 =19（米）

方法2：（240+330）÷30 =240÷30+330÷30=8+11=19（米）

題1圖由左右兩個長方形組成，左邊長方形的面積是240 平方米，右邊長方形的面積是330 平方米，這兩個長方形的寬都是30 米，如圖求大長方形的長是多少米？可以先算出總面積再除以寬，或者用兩個長方形的面積除以寬，分別求出兩個長方形的長，再把兩個長加起來，通過驗證，兩種答案相同。

題2 圖，求兩個長方形的長一共有多少米？只能用長方形的面積除以各自的寬，得出各自的長，然后再把各自的長相加，即360÷40+360÷20，想一想，如果這時用360÷（40+20） ，計算的就不是兩個長方形的長一共是多少米了。顯然，360÷40+360÷20 不等于360÷（40+20）。

三、巧擺算理，讓計算不再澀而無味

從中年級起，我們會發(fā)現(xiàn)這種輔助于算理的幾何直觀圖形漸漸淡出學生的視野，更加注重算理的文字表達。但我們教師可以利用幾何直觀圖形巧擺算理，讓計算不再澀而無味。比如，三年級下學期學習兩位數(shù)乘兩位數(shù)，這對學生來說是一個階梯式的遞進，如果教師只是簡單照本宣科，學生往往不理解豎式的結(jié)構(gòu)及其原理。以14×12 的豎式為例，如果教學時結(jié)合矩陣圖給學生解釋，那么其算理就清晰明了。

五年級下冊教材中有一課是關(guān)于探討和的奇偶性，如果單純的從數(shù)的角度列舉、猜想、驗證，雖然通過驗證學生也能掌握奇偶性，但大部分學生也只是浮于表面，知其然而不知其所以然。這時，如果教師能巧擺幾何直觀，能達到“一針見血”的效果。

用小正方形代表奇數(shù)和偶數(shù)，奇數(shù)是兩個兩個配對不成功、有落單的情況，偶數(shù)則是配對成功的，用1 個正方形代表奇數(shù)，用2 個疊起來的正方形代表偶數(shù)。

(1）表示奇數(shù)+偶數(shù)，結(jié)果有落單的，所以是奇數(shù)。（2）奇數(shù)+奇數(shù)，配對成功，所以是偶數(shù)。（3）偶數(shù)+偶數(shù)，配對成功，所以也是偶數(shù)。探討多個數(shù)時，學生自然而然會想到，無論偶數(shù)的個數(shù)是幾個，結(jié)果都能配對，所以只要看奇數(shù)的個數(shù)，如果奇數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)，落單和落單的能配對，如果奇數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)，那么不管怎么配，總有一個落單。

顯然，幾何直觀的運用遠不止這些，自覺運用幾何直觀是一種意識，更是我們教師日常教學的一種思維方式，經(jīng)常性地站在兒童形象思維的角度構(gòu)造幾何直觀，巧用幾何直觀，能使很多復(fù)雜難懂的數(shù)學問題轉(zhuǎn)化成簡單易懂的數(shù)學問題，讓學生真正愛上數(shù)學。