圓錐曲線中的三種斜率結(jié)構(gòu)及相關(guān)試題分析

唐正泉

摘 要：斜率是高中解析幾何模塊的重要概念，也是高考解析幾何問題的重要考點(diǎn).本文對(duì)圓錐曲線中斜率之和、斜率之積的結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究，總結(jié)了若干結(jié)論，并對(duì)相關(guān)試題進(jìn)行了分析.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線;斜率;試題分析

斜率是高中解析幾何模塊的重要概念，也是高考解析幾何問題的重要考點(diǎn).本文總結(jié)了圓錐曲線問題中的三種經(jīng)典的斜率結(jié)構(gòu)的性質(zhì)，并展示了基于這三種結(jié)構(gòu)的若干試題.限于篇幅，本文主要圍繞橢圓進(jìn)行探討，讀者不難將問題推廣到雙曲線、拋物線的背景中.

1 三種斜率結(jié)構(gòu)

1.1 關(guān)于坐標(biāo)軸方向?qū)ΨQ：斜率之和為零

結(jié)論1 給定橢圓x2 a2+y2 b2=1（a>b>0）和兩定點(diǎn)K（x0，0），P（a2 x0，0），其中0

結(jié)論2 給定橢圓x2 a2+y2 b2=1（a>b>0）和橢圓上的定點(diǎn)P（x0，y0）.在橢圓上取兩點(diǎn)A，B滿足直線PA與PB關(guān)于x=x0對(duì)稱，則直線AB的斜率為定值，且該定值為橢圓在點(diǎn)P處的切線斜率的相反數(shù).

這兩個(gè)結(jié)論的關(guān)鍵都是關(guān)于坐標(biāo)軸方向?qū)ΨQ，用解析幾何的語(yǔ)言刻畫就是kPA+kPB=0.

結(jié)論1在2018年的全國(guó)Ⅰ卷中出現(xiàn)：

題1 （2018年全國(guó)Ⅰ卷理科第19題）設(shè)橢圓C∶x2 2+y2=1的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0）.

（1）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程;

（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA=∠OMB.

結(jié)論2是2011年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽解析幾何問題的命制背景.

1.2 垂直結(jié)構(gòu)：斜率之積為-1

結(jié)論3 給定橢圓x2 a2+y2 b2=1（a>b>0）和橢圓上的定點(diǎn)P（x0，y0）.在橢圓上取兩點(diǎn)A，B滿足PA⊥PB，則直線AB過定點(diǎn)（（a2-b2）x0 a2+b2，-（a2-b2）y0 a2+b2）.

該結(jié)論的關(guān)鍵是PA⊥PB，用解析幾何的語(yǔ)言刻畫就是kPAkPB=-1.

該結(jié)論在2017年的高中聯(lián)賽福建省預(yù)賽中出現(xiàn)：

題2 （2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建省賽區(qū)預(yù)賽）已知橢圓C∶x2 a2+y2 b2=1（a>b>0）過點(diǎn)P（-2，1），且離心率為2 2.過點(diǎn)P作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A，B與點(diǎn)P不重合）.求證：直線AB過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).

1.3 “第三定義”：斜率之積為-b2 a2

結(jié)論4 給定定點(diǎn)A（-a，0），B（a，0）.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足kPAkPB=-b2 a2，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是x2 a2+y2 b2=1（y≠0）.

結(jié)論5 給定橢圓x2 a2+y2 b2=1（a>b>0）和橢圓上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩定點(diǎn)A，B.在橢圓上取點(diǎn)P使得直線PA，PB斜率存在，則直線PA，PB斜率之積為定值-b2 a2.

結(jié)論4來(lái)自一個(gè)教材的習(xí)題，將這一結(jié)果稱為橢圓的“第三定義”，是因?yàn)橛盟梢砸圆煌诘谝欢x、第二定義的方式定義橢圓.結(jié)論5是結(jié)論4逆命題的一個(gè)推廣，對(duì)點(diǎn)P和點(diǎn)A運(yùn)用“點(diǎn)差法”可以簡(jiǎn)捷地證明.

2019年的全國(guó)Ⅱ卷運(yùn)用“第三定義”的方式給出橢圓：

題3 （2019年全國(guó)Ⅱ卷理科第21題第（1）問）已知點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），動(dòng)點(diǎn)M（x，y）滿足直線AM與BM的斜率之積為-1 2，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C.求C的方程，并說(shuō)明C是什么曲線.

2 基于三種斜率結(jié)構(gòu)的試題分析

以上探討的三種斜率問題在處理上有很強(qiáng)的共性，即圍繞kPAkPB和kPA+kPB形式的結(jié)構(gòu)進(jìn)行一系列的對(duì)稱計(jì)算.相關(guān)問題涵蓋了軌跡方程、定點(diǎn)、定值等基本設(shè)問，也涉及了設(shè)而不解、韋達(dá)定理、點(diǎn)差法等常見手法，因此成為了設(shè)置考題的經(jīng)典背景.為了使試題更具有創(chuàng)新性，命題者還可以在這些斜率結(jié)構(gòu)的交匯處命題，下面給出若干例子.

2.1 結(jié)合“坐標(biāo)軸方向?qū)ΨQ”與“垂直”

題4 （2020年泉州市高二上學(xué)期期末）已知△PAB的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是A（0，3），B（0，-3），且直線PA，PB的斜率之積是-3 2.

（1）是否存在定點(diǎn)F1，F(xiàn)2，使得|PF1|+|PF2|為定值？

（2）設(shè)點(diǎn)P的軌跡為Γ，點(diǎn)C，D，E是Γ上互異的三點(diǎn)，且滿足AC，AD關(guān)于y軸對(duì)稱，AC⊥AE.求證：直線DE過定點(diǎn).

解析 （1）軌跡方程為y2 3+x2 2=1（x≠0），定點(diǎn)為F1（0，-1），F(xiàn)2（0，1）.

（2）由于點(diǎn)C，D，E在Γ上，所以AC，AD，AE斜率存在.

由條件kAD+kAC=0，kAE·kAC=-1可得kAD·kAE=1.

設(shè)lDE∶y=kx+m，D（x1，kx1+m），E（x2，kx2+m），

則kAD·kAE=1（kx1+m-3）（kx2+m-3）=x1x2.

聯(lián)立直線和橢圓方程并消元，用韋達(dá)定理將上式化為m2-6 3m+15=0.

解得m=3（舍去）或m=5 3.

所以直線DE過定點(diǎn)（0，5 3）.

分析 本題第（2）問將斜率之和為0與斜率之積為-1兩個(gè)關(guān)系巧妙結(jié)合，構(gòu)造了斜率之積為1的結(jié)構(gòu)，使圖形更加新穎，也更有“幾何味”.

筆者經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，此題的結(jié)論可以進(jìn)一步一般化為：

結(jié)論6 給定橢圓x2 a2+y2 b2=1（a>b>0）和橢圓上的定點(diǎn)P（x0，y0），在橢圓上取兩點(diǎn)A，B滿足kPAkPB=t，則直線AB過定點(diǎn)（-（ta2+b2）x0 a2+b2，（ta2+b2）y0 a2+b2）.

證明需要繁瑣的計(jì)算，這里略去.

2.2 結(jié)合“第三定義”與“垂直”

題5 （2019年全國(guó)Ⅰ卷理科第21題第（2）問）給定曲線C：x2 4+y2 2=1（y≠0），過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E，連結(jié)QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G.證明：△PQG是直角三角形.

證明 由結(jié)論5，kPGkQG=-1 2.（證明可采用點(diǎn)差法，此處略）

由兩點(diǎn)間的斜率公式可以看出，kQG=1 2kPQ.

綜合以上兩式得到kPGkPQ=-1，這表明PG⊥PQ，即△PQG是直角三角形.

分析 不難看出，此題正是從結(jié)論5的斜率乘積結(jié)構(gòu)出發(fā)，以kQG=1 2kPQ為橋梁，構(gòu)造了一個(gè)垂直結(jié)構(gòu).有了對(duì)以上幾種斜率結(jié)構(gòu)的探討和對(duì)本題命題思路的分析，我們得到了上面的簡(jiǎn)捷解法.

題6 給定橢圓C：x2 3+y2=1和圓O∶x2+y2=1，設(shè)點(diǎn)A，B為橢圓C的上、下頂點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線l，l與橢圓C和圓O的另一個(gè)交點(diǎn)分別是點(diǎn)P，Q，則∠PBQ的最大值是.

解析 由結(jié)論5，klkPB=-1 3;又由l⊥QB，klkQB=-1，所以kQB=3kPB.

由圖形關(guān)于y軸的對(duì)稱性，不妨設(shè)kl<0.設(shè)kPB=t，則kQB=3t，其中t>0.

所以tan∠PBQ=3t-t 1+3t2=2 1 t+3t≤3 3，其中，當(dāng)且僅當(dāng)t=3 3時(shí)等號(hào)成立.

所以tan∠PBQ的最大值是3 3，即∠PBQ的最大值是π 6.

分析 此題巧妙設(shè)計(jì)圖形，綜合“第三定義”與“垂直”兩個(gè)結(jié)構(gòu)，得到了kQB=3kPB的有趣性質(zhì).在這一性質(zhì)上，該題結(jié)合三角函數(shù)、基本不等式等考點(diǎn)設(shè)置了一個(gè)最值問題，形式新穎，具有很高的區(qū)分度.

2.3 結(jié)合“坐標(biāo)軸方向?qū)ΨQ”與“第三定義”

當(dāng)我們同時(shí)有k1+k2=0和k2k3=-b2 a2時(shí)，我們會(huì)得到k1k3=b2 a2，這恰好是雙曲線的“第三定義”的結(jié)構(gòu).因此，結(jié)合“坐標(biāo)軸方向?qū)ΨQ”與“第三定義”能夠使我們?cè)趫D形中溝通橢圓和雙曲線，得到一系列有趣的問題.限于篇幅，我們不加證明地展示一個(gè)簡(jiǎn)單的例子.

題7 給定橢圓C1：x2 4+y2=1和雙曲線C2∶x2 4-y2=1，設(shè)點(diǎn)A，B為C1和C2的兩公共點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l與C1和C2的另一個(gè)交點(diǎn)分別是點(diǎn)P，Q，求證：∠PBA+∠QBA=π.

本文以橢圓為例，介紹了圓錐曲線問題中三個(gè)經(jīng)典的斜率結(jié)構(gòu)，并展示了基于這三種結(jié)構(gòu)的創(chuàng)新式、綜合式的命題實(shí)踐.將綜合問題拆解為幾個(gè)簡(jiǎn)單的背景，有利于解題者理解試題的內(nèi)涵;而將簡(jiǎn)單的背景組合成綜合問題，有利于命題者設(shè)置有區(qū)分度的試題.

（收稿日期：2020-02-27）