基于問(wèn)題串教學(xué)的數(shù)學(xué)抽象思維的培養(yǎng)

黃涵 王圣榮

摘 要：直觀和抽象是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的兩個(gè)重要內(nèi)容，在直觀中不斷抽象形成高度概括的概念與方法，在抽象中找到直觀的解決方法是培養(yǎng)學(xué)生形成兩種核心素養(yǎng)的主要途徑，銜接這兩種核心素養(yǎng)的關(guān)鍵在于問(wèn)題的設(shè)置，而問(wèn)題串是提升學(xué)生認(rèn)識(shí)的重要方法。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)栴}教學(xué);直觀想象;數(shù)學(xué)抽象

【中圖分類號(hào)】G【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B【文章編號(hào)】1008-1216（2020）02B-0084-02

新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施的不斷深入，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)提出了更高的要求。為了能夠讓學(xué)生更好地參與到課堂的教學(xué)中，涌現(xiàn)出了形形色色的教學(xué)方法，針對(duì)各種知識(shí)點(diǎn)的課堂引入，也會(huì)采取不同的其方法。在教學(xué)實(shí)踐中，教師如果能夠利用問(wèn)題串引導(dǎo)的方法對(duì)知識(shí)進(jìn)行引入和建構(gòu)，可以讓學(xué)生很快地養(yǎng)成課內(nèi)動(dòng)筆的良好習(xí)慣，從而更順利地進(jìn)入課堂的主題。

利用例題進(jìn)行課堂引入，是在對(duì)學(xué)情分析的基礎(chǔ)上，以本節(jié)課所要涉及的舊知識(shí)點(diǎn)為最初要求，通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生，讓學(xué)生通過(guò)回顧已經(jīng)學(xué)過(guò)的內(nèi)容及問(wèn)題中所給出的提示，逐步過(guò)渡到本次課堂的教學(xué)目標(biāo)，這是銜接新舊知識(shí)的有益方法。

“問(wèn)題串引入”中的問(wèn)題設(shè)置應(yīng)遵循“就低不就高”的原則，由于是在課堂的引入部分，所以要盡量讓班級(jí)的全體同學(xué)都盡可能地參與其中。如果課堂一開始不能吸引全班同學(xué)的注意力，將會(huì)直接影響到整堂課的效率，因此，課堂引入問(wèn)題設(shè)置的成功與否，將會(huì)影響后續(xù)內(nèi)容的安排與實(shí)施是否順利。

一、直觀呈現(xiàn)，抽象概念

“問(wèn)題串引入”是按照學(xué)生的實(shí)際情況，分為“先概念后應(yīng)用”和“先應(yīng)用后概念”兩種引入方式，由于想種方式對(duì)學(xué)生之前所學(xué)內(nèi)容的依賴度不同，所產(chǎn)生的效果也不一樣。例如，在“函數(shù)單調(diào)性”的教學(xué)過(guò)程中，“函數(shù)的概念”是基礎(chǔ)，但單調(diào)性的定義卻相對(duì)比較抽象，所以教師可以采用“先應(yīng)用后概念”的方式，利用學(xué)生熟悉的二次函數(shù)為例題進(jìn)行過(guò)渡。

例如：已知二次函數(shù)f（x）=x2-2x-3，求解下列問(wèn)題。

（1）試作出該函數(shù)的圖象;

（2）試觀察圖像判斷：f（-1）、f（1）、f（4）之間的大小，并思考自變量的大小是否能決定函數(shù)值大小;

（3）試判斷f（a2+2a+3）與f（2）之間的大小關(guān)系。

本題中，教師在例題中給出一些思路性的提示，第（1）小題是學(xué)生在初中常見的函數(shù)圖像的繪制，主要目的是要學(xué)生回顧二次函數(shù)的做法，重拾這一重要知識(shí)點(diǎn)。第（2）小題著重要求學(xué)生觀察圖像，培養(yǎng)學(xué)生的看圖能力。由于二次函數(shù)圖像既有增區(qū)間也有減區(qū)間，所以教師在學(xué)生解題的過(guò)程中還可以給出適當(dāng)?shù)目陬^提示，將“線”化為“點(diǎn)”進(jìn)行微觀分析。如果能夠利用幻燈片多展示幾組函數(shù)值對(duì)比，讓學(xué)生逐步觀察出單調(diào)性的圖像特征，會(huì)使學(xué)生對(duì)單調(diào)性中自變量與函數(shù)值的關(guān)系有初步的認(rèn)識(shí)，為后續(xù)單調(diào)性概念的引入做了很好的鋪墊，并為解答第（3）小題提供依據(jù)。

通過(guò)本題的“先應(yīng)用后概念”式的問(wèn)題串引入設(shè)計(jì)，能夠在課堂的一開始就為學(xué)生打開一個(gè)研究單調(diào)性的途徑——圖像，讓學(xué)生能夠通過(guò)圖像對(duì)單調(diào)性的內(nèi)容進(jìn)行研究。同時(shí)，由于在題目中給出了相應(yīng)的方法，學(xué)生完全可以通過(guò)自己動(dòng)筆，結(jié)合教師口頭的提示來(lái)完成對(duì)問(wèn)題的探究，從而對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí)能夠有更好的體驗(yàn)。在后續(xù)的教學(xué)中，教師再通過(guò)圖像的講解和抽象函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用，使學(xué)生把握單調(diào)性的性質(zhì)，最終引導(dǎo)學(xué)生得出單調(diào)性的定義，如此，就能很自然地幫助學(xué)生建構(gòu)起“函數(shù)單調(diào)性”的知識(shí)框架。

二、抽象指導(dǎo)，直觀表達(dá)

另一種題組引入的方式是“先概念后應(yīng)用”。這種方式對(duì)學(xué)生之前所學(xué)內(nèi)容的依賴度較小，對(duì)學(xué)生的邏輯推理能力要求更高。比如，“任意角三角函數(shù)”概念的引入，曾經(jīng)看到一位教師為了體現(xiàn)新課程理念，試圖利用口頭提示讓學(xué)生在角的基礎(chǔ)上引入平面直角坐標(biāo)系以完成概念的過(guò)渡，結(jié)果沒(méi)有成功。試想高一學(xué)生接受的訓(xùn)練有限，有幾人能夠形成解析幾何的思想呢？即使學(xué)生說(shuō)得出來(lái)，多數(shù)也是因?yàn)閷W(xué)生之前通過(guò)預(yù)習(xí)得出的結(jié)論，根本不符合大部分學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知規(guī)律。所以，在引入該概念時(shí)，完全不需要在坐標(biāo)系的引入上糾纏，而應(yīng)該直接將坐標(biāo)系明確化，讓學(xué)生能夠通過(guò)已有的初中三角函數(shù)定義的坐標(biāo)化，得出“任意角三角函數(shù)”的定義。

例如：如圖（1），已知?ABC是直角三角形，且∠C=90°，AC=y，BC=x，求：

（1）試寫出∠B的正弦、余弦和正切值;

（2）若在圖（1）的基礎(chǔ)上，以點(diǎn)B為原點(diǎn)，BC為x軸建立直角坐標(biāo)系，試用坐標(biāo)寫出∠ABC的正弦、余弦和正切值，并觀察所得結(jié)果與A點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系;

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，若在AB上任取一點(diǎn)P，確定坐標(biāo)后所得的正弦、余弦和正切值是否發(fā)生變化，為什么？

（4）根據(jù)（3）的結(jié)論，如果Q（-3，2）的終邊上有一點(diǎn) ，你能否寫出∠B相應(yīng)的正弦、余弦、正切值;在坐標(biāo)系中畫出終邊后，你能得出任意角三角函數(shù)的概念嗎？

本題第（1）小題是在初中直角三角形中引入三角函數(shù)的方法，學(xué)生通過(guò)回顧直角三角形中的三角函數(shù)概念的構(gòu)建，為后續(xù)三角函數(shù)的另一種形式的構(gòu)建提供參照對(duì)象。第（2）小題提示語(yǔ)句較前一小題要多，因?yàn)閺闹苯侨切蜗蛑苯亲鴺?biāo)系過(guò)渡對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，屬于平面幾何與代數(shù)的整合，所以筆者認(rèn)為應(yīng)該在題目中直接給出提示，讓學(xué)生將精力集中在對(duì)后續(xù)概念的建立上，而不是讓學(xué)生花太多的時(shí)間糾纏在建立坐標(biāo)系上。第（3）小題是對(duì)三角函數(shù)結(jié)論的進(jìn)一步構(gòu)建，讓學(xué)生通過(guò)在終邊上取點(diǎn)直接得到一個(gè)角的三角函數(shù)值。這三小題的結(jié)論中既有初中的結(jié)論，又有高中的結(jié)論。后題在包容前題的同時(shí)，又與前者有一定的繼承關(guān)系，可以讓學(xué)生在推理中擺脫初中概念的局限，又能夠在直角三角形中正確地使用初中的知識(shí)，而這樣的效果必須通過(guò)學(xué)生自己動(dòng)筆體驗(yàn)才能取得。最后的第（4）小題是第一象限角向第二象限角的過(guò)渡，先用定義后作圖能夠讓學(xué)生不被圖形迷惑，直接利用定義得出結(jié)果，得出結(jié)果后再作圖，逐步讓學(xué)生形成概念拓展的方法。