圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理的應(yīng)用

◇ 山東 王從強(qiáng)

圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理是高考中常見的考點(diǎn),試題中常利用該定理,結(jié)合平面幾何知識(shí),通過計(jì)算、證明等方式來達(dá)到考查的目的,有助于學(xué)生體會(huì)幾何直觀能力在解決問題中的作用,有助于提高學(xué)生綜合運(yùn)用幾何知識(shí)解決問題的能力.

1 角度的求解問題

利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理,可以構(gòu)建角與角之間的相等、和式等關(guān)系,結(jié)合相關(guān)條件求解對應(yīng)的角度問題.

圖1

A. 150° B. 80°

C. 100° D. 130°

2 線段的證明問題

圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理可以用來證明角相等的問題,而結(jié)合三角形的全等等其他幾何性質(zhì),又為證明線段相等提供了一種方法.

圖2

圖3

3 共圓的證明問題

根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理、相應(yīng)平面幾何中的定理與性質(zhì),通過邊、角的對應(yīng)關(guān)系結(jié)合等量代換等數(shù)學(xué)思維來證明相應(yīng)的線段或角度關(guān)系,從而證明四點(diǎn)共圓等問題.

圖4

(1)證明:B,D,H,E四點(diǎn)共圓;

(2)證明:CE平分∠DEF.

證明(1)在△ABC中,因?yàn)椤螧=60°,所以∠BAC+∠BCA=120°,因?yàn)锳D,CE是角平分線,所以∠HAC+∠HCA=60°,故∠AHC=120°,于是∠EHD=∠AHC=120°,因?yàn)椤螮BD+∠EHD=180°,所以B,D,H,E四點(diǎn)共圓.

(2)連接BH,則BH為∠ABC的平分線,得∠HBD=30°,由(1)知B,D,H,E四點(diǎn)共圓,所以∠CED=∠HBD=30°,又∠AHE=∠EBD=60°,由已知可得EF⊥AD,可得∠CEF=30°,所以CE平分∠DEF.