引發(fā)數(shù)學(xué)分類(lèi)討論的線索芻議

李超 景敏

[摘 要] 在已有分類(lèi)討論思想方法研究的基礎(chǔ)上，著重對(duì)分類(lèi)討論的題目進(jìn)行分析，從中歸納出引發(fā)分類(lèi)討論的線索是題目中存在的不完整或不全面的數(shù)學(xué)信息。

[關(guān)鍵詞]? 初中數(shù)學(xué);分類(lèi)討論;原因分析;思想方法

眾所周知，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂。在很大程度上說(shuō)，如果掌握數(shù)學(xué)思想方法，就能夠在解決綜合性問(wèn)題時(shí)以不變應(yīng)萬(wàn)變。在初中階段，分類(lèi)思想方法是常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法之一，不僅滲透在數(shù)學(xué)知識(shí)生成的過(guò)程中，也存在于數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程中。它能夠把難于理解的數(shù)學(xué)知識(shí)變得明朗，復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。由此可見(jiàn)，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，運(yùn)用分類(lèi)思想方法進(jìn)行分類(lèi)討論，既是一種重要的教學(xué)思想，也是一種重要的解題策略。

所謂分類(lèi)討論思想方法，是指從所研究的數(shù)學(xué)對(duì)象出發(fā)，按照其本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)進(jìn)行邏輯上的劃分，一般將數(shù)學(xué)對(duì)象劃分成若干個(gè)不同種類(lèi)，然后分別對(duì)劃分的這幾類(lèi)情況進(jìn)行討論研究，從而達(dá)到解決問(wèn)題的一種思維方法。

在運(yùn)用分類(lèi)討論思想方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)這樣的問(wèn)題：（1）對(duì)于某些應(yīng)該運(yùn)用分類(lèi)討論思想方法來(lái)解決的問(wèn)題，由于學(xué)生知識(shí)水平有限，思考問(wèn)題不全面，因此，想不到運(yùn)用分類(lèi)討論思想方法來(lái)解決問(wèn)題。（2）即便是想到運(yùn)用分類(lèi)討論的方法，由于不知道怎樣分類(lèi)，即分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)不清晰，從而導(dǎo)致解答不完整。究其原因，是學(xué)生在解讀已知條件時(shí)沒(méi)有注意到分類(lèi)討論的線索，即需要進(jìn)行分類(lèi)討論的信息。

筆者查閱了近10年來(lái)相關(guān)文獻(xiàn)，了解到多數(shù)學(xué)者針對(duì)分類(lèi)討論的概念、目的、分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)、分類(lèi)步驟等做了大量研究，但對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題中引發(fā)分類(lèi)討論線索的研究相對(duì)較少，且尚不夠系統(tǒng)。在此背景下，本文以分類(lèi)討論思想方法的概念界定為基礎(chǔ)，結(jié)合分類(lèi)討論思想方法的研究成果，著重對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題中引發(fā)分類(lèi)討論的線索做進(jìn)一步研究，并對(duì)在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透分類(lèi)討論思想方法提出建議，敬請(qǐng)同仁斧正。

一、代數(shù)問(wèn)題中分類(lèi)討論的線索

（一）由概念或性質(zhì)引發(fā)的分類(lèi)討論

例1 [x2+k-1x+9]是完全平方式，則k=__________。

分析：對(duì)“完全平方式”的概念掌握是解題關(guān)鍵。完全平方式應(yīng)包含“和的平方”與“差的平方”兩種情況，即一次項(xiàng)系數(shù)存在正、負(fù)兩種情況。因此，需要對(duì)（k-1）的符號(hào)進(jìn)行分類(lèi)討論。

例2 若[ab≠0]，求[aa+bb]的值。

分析：解決此問(wèn)題的關(guān)鍵是要去掉絕對(duì)值符號(hào)。若去掉絕對(duì)值符號(hào)，則需要依據(jù)絕對(duì)值性質(zhì)判斷[a，b]是負(fù)數(shù)還是正數(shù)。但由于已知條件只有[ab≠0]，且無(wú)法從中推演出[a，b]是正數(shù)還是負(fù)數(shù)。為了去掉絕對(duì)值符號(hào)，需要對(duì)[a，b]的符號(hào)分別進(jìn)行討論。

（二）由待定系數(shù)的不確定性引發(fā)的分類(lèi)討論

例3 已知方程[m2x2+（2m+1）x+1=0]有實(shí)數(shù)根，求[m]的取值范圍。

分析：根據(jù)所給方程可知，二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)均含有字母[m]，但題中并未說(shuō)明[m]是否為0，因此，無(wú)法確定該方程是一元一次方程還是二元一次方程，由此引發(fā)分類(lèi)討論。

例4 解關(guān)于[x]的一元一次不等式k（x-2）>2k-4。

分析：按照解不等式的步驟可得kx>4k-4。根據(jù)不等式運(yùn)算性質(zhì)可知，不等式兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變，反之，改變。然而，題目中并沒(méi)有明確說(shuō)明k是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，因此，需要對(duì)k的取值范圍進(jìn)行分類(lèi)討論。

二、幾何問(wèn)題中分類(lèi)討論的線索

（一）由幾何概念不明確引發(fā)的分類(lèi)討論

例5 若等腰三角形中有一個(gè)角等于50°，則這個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)為（? ）

A.50° B.80° C.65°或50° D.50°或80°

分析：雖然題目的已知條件指明了三角形是等腰三角形，且其一個(gè)角為50°，但并沒(méi)有說(shuō)明該已知角是頂角還是底角，因此，需要對(duì)已知角進(jìn)行分類(lèi)討論。

例6 如圖，在[△ABC]中，[AB=BC=8，AO=BO]，點(diǎn)[P]是射線[CO]上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，[∠AOC=60°]，則當(dāng)[△ABP]為直角三角形時(shí)，[AP]的長(zhǎng)為多少？

分析：從題目的已知條件來(lái)看，沒(méi)有說(shuō)明[Rt△ABP]的哪一個(gè)角為直角，因此，所給出的已知條件不明確，需要根據(jù)圖形運(yùn)動(dòng)的情況進(jìn)一步分析。因?yàn)辄c(diǎn)P為射線CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以[∠BAP?]不可能為直角。因此，分為兩種情況：（1）[∠APB=90°?]，該情況下又可以分為兩種可能，點(diǎn)[P]在[AB]的上方或點(diǎn)[P]在[AB]的下方;（2）[∠ABP=90?°]。

（二）由幾何圖形之間的相對(duì)位置不明確引發(fā)的分類(lèi)討論

例7 已知☉O的直徑是2cm，過(guò)點(diǎn)A有兩條弦AC=[2]cm，AD=[3]cm，則∠CAD的度數(shù)是________。

分析：已知條件中沒(méi)有明確指出前兩條弦的位置，即圓心在兩弦?jiàn)A角內(nèi)還是夾角外，因此，需要對(duì)兩條線的位置進(jìn)行分類(lèi)討論。

例8 已知[∠C]是弧[AB]所對(duì)的圓周角，[∠AOB]是弧[AB]所對(duì)的圓心角。求證：[∠C=12∠AOB]。

分析：本題是北師大版初中數(shù)學(xué)教材中圓周角定理證明題。教材中通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圓周角與圓心的位置關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)討論。為什么要進(jìn)行分類(lèi)，這是解決這道問(wèn)題的關(guān)鍵。可以引導(dǎo)學(xué)生思考：弧[AB]所對(duì)的圓周角是不是僅有一個(gè)？還可以畫(huà)出其他的嗎？教師通過(guò)問(wèn)題一步步引導(dǎo)學(xué)生，得出弧[AB]所對(duì)的圓周角有很多個(gè)。這樣我們就需要對(duì)不同的情況進(jìn)行分類(lèi)，從而來(lái)解決這道題。探究出的三種情況，如下圖：

因而，這道題也就迎刃而解了。

（三）由幾何圖形的形狀不確定引發(fā)的分類(lèi)討論

例9 在?[ABCD]中，[AD=BD]，[BE]是[AD]邊上的高，[∠EBD=20°]，則[∠A]的度數(shù)為_(kāi)___。

分析：該題目沒(méi)有給出圖形，需要學(xué)生自己畫(huà)出圖形。由于沒(méi)有明確?[ABCD]中哪一組邊長(zhǎng)，哪一組邊短，因此，就有兩種可能性。根據(jù)題意分析可知，點(diǎn)[E]的位置不確定，導(dǎo)致平行四邊形的形狀不確定，因此，可以得到兩種情況，如下圖：

結(jié)論

在代數(shù)或幾何問(wèn)題解題中，運(yùn)用分類(lèi)討論的主要線索如下。

（1）題目中關(guān)于某一概念的信息不全面或不完整時(shí)，需要分類(lèi)討論。比如，例6中沒(méi)有指明[Rt△ABP]中哪個(gè)角為直角。因此，每個(gè)角都可能是直角。

（2）題目中的某一概念還存在多個(gè)下位概念時(shí)，需要運(yùn)用分類(lèi)討論。比如，例1中完全平方公式包括兩個(gè)下位概念，一個(gè)是完全平方和公式，另一個(gè)是完全平方差公式。所以，需要分類(lèi)討論。

（3）題目中某一概念呈現(xiàn)形式不唯一時(shí)，需要分類(lèi)討論。比如，例9中沒(méi)有給出平行四邊形[ABCD]的具體形狀，即哪一組對(duì)邊較長(zhǎng)，哪一組對(duì)邊較短，所以，圖形基本形狀不唯一。

（4）題目中圖形之間的位置關(guān)系不唯一時(shí)，需要分類(lèi)討論。比如，例7、例8中圖形之間的位置關(guān)系有多種可能，所以需要分類(lèi)討論。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]郭秀群.例談分類(lèi)討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2017（3）.

[2]侯清樂(lè).初中分類(lèi)討論思想在解題中的應(yīng)用探討[J].中國(guó)校外教育，2016（16）.

[3]姬梁飛.論分類(lèi)討論思想方法[J].基礎(chǔ)教育，2017（373）.

[4]紐曼曼.初中數(shù)學(xué)分類(lèi)討論思想在解題中的應(yīng)用探討[J].教育現(xiàn)代化，2016（8）.

[5]陳羅九.淺談初中數(shù)學(xué)中的分類(lèi)討論思想[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2011（12）.

[6]楊其超.分類(lèi)討論思想方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透[J].科學(xué)素養(yǎng)教學(xué)設(shè)計(jì)，2017（27）.

（責(zé)任編輯：趙曉梅）