斜軸墨卡托投影在水利工程中的應(yīng)用探討

徐建忠

（四川省水利水電勘測設(shè)計研究院測繪分院，成都610500）

1 研究背景

在水利工程建設(shè)中，為滿足施工精度，控制網(wǎng)的投影是一大難題。由于水系發(fā)達(dá)區(qū)都在山區(qū)，缺水區(qū)域都在平原或丘陵，灌渠高差很大，控制網(wǎng)平面投影改算一般采用高程面投影和高斯-克呂格正形投影。根據(jù)GB 50026—2007《工程測量規(guī)范》要求【1】，平面控制網(wǎng)的坐標(biāo)系統(tǒng)應(yīng)滿足測區(qū)內(nèi)投影長度變形≤2.5cm/km（1/40 000），而高程面投影滿足投影變形規(guī)范的高差范圍為-159～159m，高斯-克呂格正形投影滿足投影變形距離中央子午線＜45km。高斯投影要滿足規(guī)范要求，就必須對東西走向的大型灌渠平面控制網(wǎng)坐標(biāo)系統(tǒng)進(jìn)行分帶投影計算，灌渠施工過程中要對不同帶的坐標(biāo)系統(tǒng)進(jìn)行頻繁轉(zhuǎn)換，不方便施工；而斜軸墨卡托投影具有中央子午線在圓柱面投影長度不變的特點，斜軸墨卡托投影在水利工程中使用就顯得極其重要。下面對CZQ 引水工程平面控制網(wǎng)坐標(biāo)系統(tǒng)投影過程進(jìn)行解析。

2 高程投影面的變形分析

CZQ 引水工程總長200km 左右，東西走向。此水利工程布設(shè)GPS 平面控制點58 點（CG01～CG58），CZQ 引水工程平均高程為380m，控制點最大高差105m，測區(qū)平均緯度為29.47°，測區(qū)曲率半徑為6 367 500m。

根據(jù)實測邊長水平距離歸化到測區(qū)參考橢球面上長度變形，見式（1）：

式中，ΔH為長度所在高程面對于參考橢球面的高差，m；RH為測區(qū)所在橢球曲率半徑，m。

取測區(qū)平均高程380m 為高程抵償投影面，則|δ|=1/60 642＜1/40 000，滿足規(guī)范要求。下文對斜軸墨卡托投影進(jìn)行分析計算。

3 斜軸墨卡托投影參考圓球的建立

3.1 建立區(qū)域性橢球

CZQ 引水工程是比較長的帶狀灌渠，為了讓參考橢球更接近原始地形，在WGS84 橢球基礎(chǔ)上建立一個區(qū)域性獨立橢球，此方法為橢球變形法——E3 橢球，只要將已知參考橢球的中心和區(qū)域性橢球中心重合，并保持軸向一致。

WGS84 橢球參數(shù)：長半徑a=6 378 137m；短半徑b=6 356 752.314 2m；扁率α=1/298.257 223 6；第一偏心率平方e2=0.006 694 379 990 13；第二偏心率平方

為了滿足上述要求，必須求出已知橢球元素（a，e2）的變化量Δa、Δe2，確定區(qū)域橢球元素a（1區(qū)域橢球長半徑）和區(qū)域橢球第一偏心率），則有式（2）、式（3）：

通過計算，得到區(qū)域橢球元素見表1。

表1 區(qū)域橢球元素

通過計算，由于測區(qū)緯度改正值ΔB很小，區(qū)域橢球和圓球面經(jīng)緯度上的大地坐標(biāo)Bi′和Li′與WGS84 橢球上的大地坐標(biāo)相同，只有高程改變，使區(qū)域橢球面更接近測區(qū)平均高程面。

3.2 圓球面經(jīng)緯度到斜軸圓球面的轉(zhuǎn)換

本測區(qū)球面坐標(biāo)系的建立：是以測區(qū)線路中的一個控制點CG58 作為極點，過極點CG58 至測區(qū)任一點方向為中央子午線，過極點CG58 且垂直中央子午線的圓為赤道，球面坐標(biāo)網(wǎng)由經(jīng)線和緯線組成，中間通過球面極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為斜軸球面上的經(jīng)緯度。

斜軸墨卡托投影按照球面三角形正弦和五元素求球面極坐標(biāo)（ai，zi），計算公式見式（4）、式（5）：

式中，φi為圓球面大地坐標(biāo)緯度；Δλi為測區(qū)控制點圓球面大地坐標(biāo)經(jīng)度與極點經(jīng)度差；φ0為圓球面大地坐標(biāo)極點緯度；ai為極角；zi為極距。

測區(qū)球面極坐標(biāo)見表2。

表2 圓球面極坐標(biāo)成果

3.3 測區(qū)球面極坐標(biāo)到斜軸墨卡托投影經(jīng)緯度的轉(zhuǎn)換

下面采用斜軸圓柱投影轉(zhuǎn)換為正軸圓柱投影，測區(qū)線路中CG58 控制點作為極點，線路中央子午線方位角a0通過優(yōu)化計算求得，斜軸圓球上的各個控制點以CG58 控制點為極點的極坐標(biāo)為：ai′=ai-a0+π/2，zi′=zi。

求出各個控制點的斜軸圓球極坐標(biāo)（ai′，zi′）后，依據(jù)球面大地主題正算，計算出斜軸球面各控制點新的大地坐標(biāo)（Φi′，λ′），公式如式（6）、式（7）：

式中，Φ0′、λ0′為極點CG58 新大地坐標(biāo)。

極點CG58 新大地坐標(biāo)取值：Φ0′=0，λ0′=0。

線路CG58 為極點中央子午線的確定：

測區(qū)寬度為83km，中央子午線在測區(qū)中間的投影變形為2.1cm/km，滿足規(guī)范要求的2.5cm/km，通過測區(qū)寬度和長度確定斜軸墨卡托投影中央子午線方位角范圍。通過優(yōu)化計算，選擇起算方位角a0=117.031 90。

測區(qū)斜軸墨卡托投影的平面直角坐標(biāo)成果見表3。

表3 平面直角坐標(biāo)成果

從表3 計算成果可以看出，中央子午線的選擇是合理的，測區(qū)斜軸墨卡托投影的邊長變形完全滿足2.5cm/km 的規(guī)范要求。

3.4 測區(qū)綜合投影分析

斜軸墨卡托投影和高程投影綜合變形，采用式（8）進(jìn)行計算，對測區(qū)綜合投影是否滿足規(guī)范要求進(jìn)行評價：

式中，δ綜為綜合變形；δ 為歸化邊長高程投影變形系數(shù)；μ1為斜軸墨卡托投影變形系數(shù)。

測區(qū)綜合投影計算成果見表4。

表4 測區(qū)綜合投影長度變形計算成果

綜合投影變形最大控制點CG47 為2.498cm/km，滿足規(guī)范要求（2.5cm/km）。

3.5 斜軸墨卡托投影邊長與WGS84 平差橢球平距比較分析

斜軸墨卡托投影邊長與WGS84 平差橢球平距對比見表5。

表5 斜軸墨卡托投影邊長與WGS84 平差橢球平距對比表

通過斜軸墨卡托投影邊長與WGS84 平差橢球平距的對比，邊長的相對誤差均＜1/40 000，說明本測區(qū)斜軸墨卡托投影的中央子午線方位角選擇合理，斜軸墨卡托投影的平面控制坐標(biāo)成果可靠。

4 結(jié)語

大型水利工程建設(shè)中，本工程測區(qū)具有東西走向、高差和橫向跨度適中的特點，適合采用抵償高程面投影和斜軸墨卡托投影相結(jié)合的方法來解決測區(qū)投影的綜合變形，雖然計算比較復(fù)雜，但斜軸墨卡托投影能解決東西走向測區(qū)不分帶投影的變形問題，減少了施工中坐標(biāo)頻繁轉(zhuǎn)換計算。在水利工程建設(shè)中，根據(jù)工程的特點，采用斜軸墨卡托投影解決測區(qū)投影變形是可行的，能使整個測區(qū)綜合變形得到控制，并統(tǒng)一測區(qū)平面控制系統(tǒng)。