用奔馳定理與極化公式巧解向量題

龔 勤

(湖南省岳陽市第一中學(xué) ，414000)

“奔馳定理”與“極化公式”是平面向量中兩個最優(yōu)美的結(jié)論.“奔馳定理”是有關(guān)三角形四心向量式的完美統(tǒng)一表示，尤其在解決與三角形的四心相關(guān)的問題時有著決定性的基石作用;涉及數(shù)量積的取值范圍或最值時，利用“極化公式”可將多變量問題，轉(zhuǎn)變?yōu)閱巫兞繂栴}，再用數(shù)形結(jié)合等方法求解.本文略舉數(shù)例說明兩者的應(yīng)用.

一、奔馳定理及其應(yīng)用

結(jié)論1(奔馳定理) 已知O是?ABC所在平面內(nèi)的一點,?BOC、?AOC、?AOB的面積分別為SA、SB、SC,則

該結(jié)果中結(jié)論的形式非常優(yōu)美, 且其基本圖形和奔馳的Logo很相似，因此我們把它稱為奔馳定理.由奔馳定理及平面向量基本定理,不難得到如下推論

思路5綜合法

綜上，|2lnx-ln 7|>2|2lnf(x)-ln 7|.由an>0,得|2lna1-ln 7|>2|2lna2-ln 7|>4|2lna3-ln 7|>…>2n-1|2lnan-ln 7|.

因為a1=1,ln 7<2,所以2n-2|2lnan-ln 7|<1成立.

證明這里僅對(4)給出證明過程

同理可得S?COA∶S?AOB=tanB∶tanC,S?BOC∶S?AOB=tanA∶tanC,所以S?BOC∶S?COA∶S?AOB=tanA∶tanB∶tanC.

(A)2 (B)3 (C)4 (D) 5

二、極化公式及其應(yīng)用

在初中平面幾何中,有一個重要性質(zhì):“平行四邊形的對角線的平方和等于相鄰兩邊平方和的兩倍.”該性質(zhì)用向量法很容易證明,具體過程如下.

(a+b)2=a2+2a·b+b2,

①

(a-b)2=a2-2a·b+b2,

②

①+② 可得AC2+BD2=2(AB2+AD2)，得證.

從向量的角度來研究平行四邊形,由上述① 、② 兩式相減,可得平行四邊形的如下另一個重要性質(zhì).

③

③ 式通常稱為極化公式的平行四邊形模式.如圖3,設(shè)點M為ABCD對角線的交點,則由AC=2AM,可得極化公式的如下變式——三角形模式.

推論如圖4,設(shè)點M為?ABD的邊BD的中點,則有

④

(A)2 (B)3 (C)6 (D)8

數(shù)學(xué)之美就美在它的千變?nèi)f化,一道好題,一種巧解，一絲聯(lián)系，一點變化都可能給你的解答帶來簡便,帶來美的享受.