強(qiáng)化思維訓(xùn)練 提升推理素養(yǎng)
——以數(shù)列教學(xué)為例

龐良緒

(上海市市西中學(xué),200040)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017年版)指出:“邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā),依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng).主要包括兩類:一類是從特殊到一般的推理,推理形式主要有歸納、類比;一類是從一般到特殊的推理,推理形式主要有演繹.”它可以劃分為三個(gè)水平:水平一能夠在熟悉的數(shù)學(xué)內(nèi)容中,識(shí)別歸納推理、類比推理、演繹推理;水平二能夠在關(guān)聯(lián)的情境中,發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問(wèn)題,用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表達(dá);水平三能夠在綜合的情境中,用數(shù)學(xué)的眼光找到合適的研究對(duì)象.

數(shù)學(xué)教學(xué)承載著培養(yǎng)學(xué)生思維能力的任務(wù),“數(shù)學(xué)教學(xué)是思維的教學(xué),數(shù)學(xué)活動(dòng)是思維的活動(dòng)”已成為廣大一線教師的共識(shí).因此,教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)圍繞培養(yǎng)學(xué)生的思維能力,設(shè)計(jì)有思維價(jià)值的問(wèn)題,讓問(wèn)題來(lái)撬動(dòng)學(xué)生深度思考、探究,使課堂教學(xué)高效,在悄無(wú)聲息中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).下面,筆者結(jié)合課堂教學(xué)實(shí)踐,以數(shù)列為例,談?wù)勅绾闻囵B(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

一、尋找規(guī)律，實(shí)施歸納推理

歸納推理是根據(jù)一類事物的部分對(duì)象具有某種性質(zhì),推出這類事物的全部對(duì)象都具有這種性質(zhì)的推理,其特點(diǎn)由部分到整體、由個(gè)別到一般.

(A) 2 (B) 5 (C) 7 (D) 8

解計(jì)算可知b1=a1=2,b2=8,b3=5,b4=7,b5=1,b6=4,b7=2,…每6個(gè)一循環(huán).又2 020=336×6+4,故b2 018=b4=7,選C.

評(píng)注通過(guò)計(jì)算初始項(xiàng)找規(guī)律,此情境學(xué)生較熟悉,屬于水平一層次的歸納推理.

例2函數(shù)f(x)=sinωx(ω>0)的圖象與其對(duì)稱軸在y軸右側(cè)的交點(diǎn)從左到右依次記為A1,A2,A3,…,An,…，在點(diǎn)列{An}中存在三個(gè)不同的點(diǎn)Ak、Al、Ap,使得?AkAlAp是等腰直角三角形.將滿足上述條件的ω值從小到大組成的數(shù)列記為{ωn},則ω2 019=______.

評(píng)注從特殊情況開始,求出ω1、ω2等,再到一般通項(xiàng),此問(wèn)題與三角函數(shù)關(guān)聯(lián),屬于水平二層次的歸納推理.

例3已知定義在N*上的單調(diào)遞增函數(shù)y=f(x),對(duì)任意n∈N*,都有f(n)∈N*,且f(f(n))=3n恒成立,則f(2 017)-f(1 999)=______.

解由題意f(f(1))=3,且f(n)∈N*.

若f(1)=1,則f(f(1))=f(1)=1,與已知矛盾;若f(1)=2,則f(f(1))=f(2)=3,符合題意;若f(1)≥3,則f(f(1))≥f(3),由單調(diào)性可知f(3)≥5,故f(f(1))≥5,與已知矛盾.所以,f(1)=2.

因此f(2)=f(f(1))=3,f(3)=f(f(2))=6,f(6)=f(f(3))=9,f(9)=f(f(6))=18.

再由單調(diào)性可知f(4)=7,f(5)=8,f(7)=f(f(4))=12,f(8)=f(f(5))=15.猜想:f(2·3k-1)=3k,f(3k)=2·3k(k∈N*).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.

當(dāng)k=1時(shí),結(jié)論顯然成立.當(dāng)k≥2時(shí),假設(shè)f(2·3k-1)=3k,f(3k)=2·3k成立,則f(2·3k)=f(f(3k))=3k+1,f(3k+1)=f(f(2·3k))=2·3k+1.由歸納原理,猜想成立.

當(dāng)n∈[3k-1,2·3k-1]時(shí),f(3k-1)≤f(n)≤f(2·3k-1),即2·3k-1≤f(n)≤3k,而3k-2·3k-1=3k-1,所以f(n)=n+3k-1;當(dāng)n∈[2·3k-1,3k]時(shí),n-3k-1∈[3k-1,2·3k-1],則f(n-3k-1)=n-3k-1+3k-1=n,所以f(n)=f(f(n-3k-1))=3(n-3k-1)=3n-3k.

綜上,可得

再由2·36<1 999<2 017<37,可得f(2017)-f(1 999)=3(2 017-1 999)=54.

評(píng)注此題的解決對(duì)思維水平要求較高,屬于水平三層次的歸納推理.

二、運(yùn)用遷移，實(shí)施類比推理

類比推理是根據(jù)兩類事物之間具有某些類似性,推測(cè)一類事物具有另一類事物類似(或相同)的性質(zhì)的推理,其特點(diǎn)是兩類事物的相似性.

例4若{an}是等差數(shù)列,m、n、p是互不相等的正整數(shù),有正確的結(jié)論:(m-n)ap+(n-p)am+(p-m)an=0.類比上述性質(zhì),相應(yīng)地,若等比數(shù)列{bn},m、n、p是互不相等的正整數(shù),有______.

例5設(shè){an}和{bn}均為無(wú)窮數(shù)列.

(1)若{an}和{bn}均為等比數(shù)列,試研究{an+bn}是否為等比數(shù)列?并請(qǐng)證明你的結(jié)論;若是等比數(shù)列,請(qǐng)寫出其前n項(xiàng)和公式.

(2)請(qǐng)類比(1),針對(duì)等差數(shù)列提出相應(yīng)的真命題(不必證明),并寫出相應(yīng)的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(用首項(xiàng)與公差表示).

三、選擇方法，實(shí)施演繹推理

演繹推理是從一般性的原理出發(fā),推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論,我們把這種推理稱為演繹推理.簡(jiǎn)言之,演繹推理是由一般到特殊的推理,“三段論”是演繹推理的一般模式.

由此易得an=n(n∈N*).

在上式中,令m→+∞,可得|bn+1-bn-b1|=0,即bn+1-bn=b1,所以{bn}是等差數(shù)列.得證.

例7給定無(wú)窮整數(shù)數(shù)列{xn}、{yn},若對(duì)任意n∈N*,都有|yn-xn|≤1,則稱{yn}與{xn}“接近”.

(1)設(shè)整數(shù)數(shù)列{an}的前四項(xiàng)為1,2,4,8；{bn}是一個(gè)與{an}“接近”的整數(shù)數(shù)列.記集合M={x|x=bi,i=1,2,3,4},求M中元素的個(gè)數(shù)m.

(2)已知整數(shù)數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列.若存在與{an}“接近”的整數(shù)數(shù)列{bn},滿足b2-b1,b3-b2,…,b201-b200中至少有100個(gè)為正數(shù),求d的取值范圍.

解(1)由題設(shè)條件,可得|b1-1|≤1,|b2-2|≤1,|b3-4|≤1,|b4-8|≤1,即0≤b1≤2,1≤b2≤3,3≤b3≤5,7≤b1≤9.

故bi(i=1,2,3,4)的取值存在b1=b2≠b3≠b4，或b1≠b2=b3≠b4，或b1≠b2≠b3≠b4三種情況, 從而集合M中元素的個(gè)數(shù)m=3或4.

(2)由{bn}與{an}“接近”,得|bn-an|≤1,即-1≤bn-an≤1，所以-1≤bn+1-an+1≤1,-1≤an-bn≤1.兩式相加得-2≤bn+1-bn-d≤2,即d-2≤bn+1-bn≤d+2.

由于b2-b1,b3-b2,…,b201-b200中有正數(shù),即必存在bn+1-bn>0,則必有d+2>0,得d>-2.

綜上,所求d的取值范圍是(-2,+∞).