單向加勁矩形板面內(nèi)振動(dòng)特性分析

王 磊 安景峰 徐秀麗 周 叮 胡朝斌，*

（1.南京工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，南京211816；2.江蘇省交通工程建設(shè)局，南京210004）

0 引 言

在土木、航空航天等工程中，矩形板是常見的構(gòu)件。為提高板的承載力和穩(wěn)定性，加勁板構(gòu)件［1］被廣泛使用，板的振動(dòng)特性因加勁而發(fā)生變化。

在很多實(shí)際工程應(yīng)用中，例如，在土木工程中，由于施工與安裝不準(zhǔn)確所帶來的誤差可能會(huì)引起加勁板結(jié)構(gòu)產(chǎn)生面內(nèi)振動(dòng)，對(duì)結(jié)構(gòu)的可靠性和安全性造成一定的影響。因此，面內(nèi)振動(dòng)對(duì)于加勁板結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性有著重要的作用。對(duì)加勁矩形板面內(nèi)振動(dòng)特性的研究，大多采用有限元數(shù)值計(jì)算或試驗(yàn)測(cè)試方法進(jìn)行分析。裴然等［2］采用能量法研究了彈性約束邊界條件下矩形板的面內(nèi)振動(dòng)特性。Shi等［3］研究了一般邊界條件下環(huán)形板的面內(nèi)振動(dòng)特性，通過對(duì)邊界條件特殊化處理，利用Rayleigh-Ritz法得到改進(jìn)的面內(nèi)振動(dòng)傅里葉級(jí)數(shù)解。周叮［4］用傳遞矩陣法研究了折線形梁的面內(nèi)振動(dòng)特性。馬牛靜等［5］研究了四邊簡(jiǎn)支加勁矩形板的面內(nèi)振動(dòng)特性。劉文光等［6］采用有限元方法研究了加勁薄板的自由振動(dòng)特性。李守娟和徐偉［7］采用有限元法研究了附加集中質(zhì)量加勁板的自由振動(dòng)特性。Cho［7］用有限單元法及假定模態(tài)法研究了加勁板結(jié)構(gòu)的固有模態(tài)。Sahoo［8］采用變分法研究了加勁板的非線性振動(dòng)特性。Rao等［9］將加勁矩形板切分為加強(qiáng)筋和均厚度的矩形板，加強(qiáng)筋可以在板的任意位置，通過Lagrange方程求解加勁板的固有振動(dòng)頻率。Barrette等［10］采用重三角級(jí)數(shù)法研究了加勁板的自由振動(dòng)特性。Fernandes和Neto［11］采用邊界元法（BEM）法分析了由不同材料組成的加勁板的耦合拉伸-彎曲問題。Aksu［12］將有限差分法與變分原理相結(jié)合研究偏心加勁板的振動(dòng)特性，分析了板和加強(qiáng)筋面內(nèi)變形對(duì)加勁板橫向振動(dòng)特性的影響。杜菲等［13］采用Rayleigh-Ritz法求解四邊固支加勁板的固有頻率，計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值的對(duì)比顯示了很好的一致性。Gordo等［14］研究了單軸壓縮載荷下加勁板的極限強(qiáng)度，分析了U型加勁形式對(duì)加勁板性能的影響。石楚千等［15］研究了不同筋條剛度下復(fù)材加勁板剪切穩(wěn)定性。本文采用能量法在保證分析過程正確性的同時(shí)又簡(jiǎn)化了對(duì)加勁板面內(nèi)振動(dòng)的數(shù)值計(jì)算過程，為實(shí)際工程應(yīng)用提供理論計(jì)算依據(jù)，為實(shí)驗(yàn)分析提供參照。

一般情況下板的平面尺寸比厚度要大很多，因此可以使用平面應(yīng)力理論對(duì)其進(jìn)行面內(nèi)振動(dòng)分析；加強(qiáng)筋的長(zhǎng)度比其高度與寬度均大得多，因此可以用歐拉梁理論對(duì)其進(jìn)行面內(nèi)振動(dòng)分析。本文將典型邊界條件下的單向加勁矩形板切分為矩形板和加強(qiáng)筋兩個(gè)部分，利用第一類Chebyshev多項(xiàng)式構(gòu)造矩形板的位移試函數(shù)，由Chebyshev-Ritz［16］法得到加勁矩形板的面內(nèi)振動(dòng)特征方程。

1 面內(nèi)振動(dòng)方程

圖1為一單向加勁矩形板，矩形板下表面支承有P根等距分布的加強(qiáng)筋。其中矩形板的長(zhǎng)寬分別為a、b，厚度為h；加強(qiáng)筋的長(zhǎng)度為a，高度和寬度分別為h0和b0。建立如圖所示的坐標(biāo)系，加勁板中任一點(diǎn)沿x、y方向的位移分別為u、v?，F(xiàn)將加勁板沿交界面切分為矩形板和加強(qiáng)筋，分別進(jìn)行分析。

圖1 加勁矩形板模型Fig.1 Analytical model of stiffened rectangular plate

1.1 矩形板的面內(nèi)振動(dòng)方程

與橫向彎曲不同，矩形板的面內(nèi)變形涉及x和y兩個(gè)方向上的位移，因此矩形板面內(nèi)振動(dòng)的形變勢(shì)能與動(dòng)能為

式中：εx、εy分別表示沿x和y軸方向的正應(yīng)變；γxy為切應(yīng)變；σx、σy分別表示沿x和y軸方向的正應(yīng)力；τxy為切應(yīng)力；ρ為矩形板的密度。

根據(jù)平面應(yīng)力理論，矩形板面內(nèi)應(yīng)變和面內(nèi)應(yīng)力可分別用位移表示為

式中：E為矩形板的楊氏模量；μ為矩形板的泊松比。

矩形板在x、y方向面內(nèi)振動(dòng)的位移函數(shù)分量可表示為

為了數(shù)學(xué)表述的方便，引入如下的無量綱坐標(biāo)：

將式（3）-式（8）代入式（1）和式（2），可分別得矩形板的形變勢(shì)能與動(dòng)能為

其中，λ=a∕b為板的長(zhǎng)寬比。

用第一類切比雪夫多項(xiàng)式分別構(gòu)造矩形板在x和y方向上的位移試函數(shù)為

式中，φu（ξ）、φv（ξ）和fu（η）、fv（η）分別為x和y方向的邊界函數(shù)分量，以保證式（11）滿足一定的幾何邊界條件，如表1所示，PS（x）是一維s階第一類切比雪夫多項(xiàng)式，用余弦形式表示為

Ps(x)=cos[(s-1)arccos(x)]，(s=1，2，3，…)（12）

表1 不同邊界條件下的邊界函數(shù)分量Table 1 Boundary characteristic function components for different boundary conditions

1.2 加強(qiáng)筋的面內(nèi)振動(dòng)方程

由于加強(qiáng)筋的長(zhǎng)度比其截面尺寸大得多，因此可用歐拉梁理論對(duì)其進(jìn)行面內(nèi)振動(dòng)分析。不失一般性，考慮第k條加強(qiáng)筋，設(shè)其在板上的位置為y=yk。由于加強(qiáng)筋與矩形板交界面上滿足位移連續(xù)，因此，加強(qiáng)筋分別考慮加強(qiáng)筋沿x方向上的軸向變形以及沿y方向的彎曲變形，則其形變勢(shì)能與動(dòng)能為

式中：uk和vk為第k條加強(qiáng)筋在x和y方向上的位移；A為加強(qiáng)筋的截面面積；EI為加強(qiáng)筋對(duì)其中性面的彎曲剛度。

考慮到板和加強(qiáng)筋在連接處的位移連續(xù)條件，有

式中，Uk和Vk分別為第k條加強(qiáng)筋在x和y方向上的位移試函數(shù)；ηk=2yk∕b為第k條加強(qiáng)筋在板上的無量綱位置。

將式（11）代入式（10）得加強(qiáng)筋的形變勢(shì)能與動(dòng)能為

1.3 加勁板的面內(nèi)振動(dòng)方程

根據(jù)以上分析，單向加勁矩形板面內(nèi)振動(dòng)的勢(shì)能與動(dòng)能分別為

定義能量泛函為

由Rayleigh-Ritz法得：

將式（9）-式（17）代入式（18），可得加勁板面內(nèi)自由振動(dòng)的頻率方程為

｛A｝、｛B｝為未知系數(shù)的列向量，其表達(dá)式為

式中，

這里，

通過求解特征方程式（20），可以得到加勁矩形板面內(nèi)振動(dòng)任意階次無量綱特征頻率和相應(yīng)的特征模態(tài)系數(shù)。若不考慮式（16）和式（17）中加強(qiáng)筋的作用，則可以得到矩形板面內(nèi)振動(dòng)任意階次無量綱特征頻率和相應(yīng)的特征模態(tài)系數(shù)。

2 收斂性分析和比較研究

考察一對(duì)邊固定另兩對(duì)邊自由、含一根加強(qiáng)筋的加勁方板。方板和加強(qiáng)筋由同種材料組成，其彈性模量 E=40 GPa，密度 ρ=2 000 kg∕m3，泊松比μ=0.3。方板的邊長(zhǎng)分別為a=b=5 m，板厚h=0.1 m。加強(qiáng)筋位于y=0處，其截面尺寸分別取b0×h0=0.1 m×0.2 m、0.1 m×0.4 m、0.2 m×0.4 m。表2給出了加勁方板面內(nèi)自由振動(dòng)前六階無量綱頻率。表2可以看出本文方法具有快速收斂的特性，在截?cái)嗉?jí)數(shù)項(xiàng)取到20×20時(shí)，可保證前三位有效數(shù)字相同，故在隨后的計(jì)算中級(jí)數(shù)項(xiàng)全部取為20×20。

一般而言，一些數(shù)值方法如有限單元法可以用來計(jì)算本文問題。但是有限元方法作為一種數(shù)值方法，其精度還有待驗(yàn)證。表3給出本文解與有限元解的比較。有限元模擬使用ANSYS軟件，方板采用殼單元SHEEL181，加強(qiáng)筋采用梁?jiǎn)卧狟EAM188。從表3可以看出，前六階無量綱頻率的有限元解與本文理論解吻合很好，其最大誤差只有1.517%，驗(yàn)證了有限元方法的精度。

在本文方法中，獲得振動(dòng)頻率后，將方程式（20）求解得到的特征模態(tài)系數(shù)代入到位移方程式（11）中，得到加勁板各點(diǎn)的位移量，進(jìn)而可以獲得各階次振動(dòng)頻率下的模態(tài)圖。圖2是邊界條件為兩對(duì)邊固定另兩對(duì)邊自由（CFCF）的單向加勁方板面內(nèi)振動(dòng)的前四階模態(tài)圖。

圖2 兩對(duì)邊固定另兩對(duì)邊自由（CFCF）單向加勁方板的前四階模態(tài)圖Fig.2 The first four modes of square plate with CFCF boundary conditions and a stiffener

表2 對(duì)邊固定另兩邊自由加勁板面內(nèi)自由振動(dòng)前六階頻率參數(shù)的收斂性Table 2 Convergence of first six frequency parameters for stiffened plate with CFCFboundary conditions

表3 本文解與有限元結(jié)果的比較Table 3 Comparisons of present solutions and FE results

3 參數(shù)分析

現(xiàn)研究加強(qiáng)筋寬度與板寬比值（b0/b）和加強(qiáng)筋位置對(duì)頻率的影響。設(shè)加強(qiáng)筋的寬高比b0∕h0=1。圖 3為加強(qiáng)筋在不同位置下（η=0、0.2、0.4、0.6、0.8），b0/b的變化對(duì)前四階無量綱固有頻率的影響。

從圖3中看到，隨著加強(qiáng)筋寬度與板寬比值的增大，無量綱固有頻率逐漸減小。加強(qiáng)筋越靠近邊緣，固有頻率越低，且加強(qiáng)筋位置的影響隨頻率階數(shù)的增加而顯著增大。

4 結(jié) 論

本文研究了典型邊界條件下單向加勁矩形板的面內(nèi)振動(dòng)特性。將加勁板沿交界面切分為矩形板、加強(qiáng)筋兩部分，分別建立其面內(nèi)振動(dòng)能量方程，根據(jù)二者在交界面上的位移連續(xù)性條件，得到整個(gè)加勁板面內(nèi)振動(dòng)的任意階固有頻率。最后以對(duì)邊固定另兩邊自由的加勁方板為例進(jìn)行參數(shù)分析。本文的主要結(jié)論為：

（1）使用第一類Chebyshev多項(xiàng)式構(gòu)造任意邊界條件下加勁板的位移試函數(shù)優(yōu)勢(shì)明顯，數(shù)值結(jié)果證明了本方法的收斂性，與有限元軟件的對(duì)比證明了本方法的精確性。

（2）將加勁板分為矩形薄板與加強(qiáng)筋，采用平面應(yīng)力理論和歐拉梁理論分別對(duì)其進(jìn)行面內(nèi)振動(dòng)分析，模型科學(xué)合理，減小了因建模不準(zhǔn)確帶來的誤差。

圖3 不同位置下加強(qiáng)筋的寬度與板寬之比對(duì)前四階無量綱頻率的影響Fig.3 Effects of stiffener-width-to-plate-width ratio on the first four non-dimensional frequencies of plate stiffened at different positions

（3）加強(qiáng)筋在板下的位置和加強(qiáng)筋寬度與板寬的比值對(duì)加勁板的面內(nèi)振動(dòng)特性有明顯影響，為后續(xù)實(shí)際工程中加強(qiáng)筋尺寸和位置優(yōu)化設(shè)計(jì)的研究奠定良好基礎(chǔ)。