新冠肺炎非均勻感染力傳播模型與干預(yù)分析

汪劍眉，李 鋼

(北京郵電大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院 北京 海淀區(qū) 100083)

新型冠狀病毒肺炎(COVID-19，以下簡稱新冠肺炎)全球確診病例已超過百萬例，受疫情影響的國家和地區(qū)已達(dá)200 多個(gè)。疫情在中國得到有效控制，目前境內(nèi)確診病例僅有零星散發(fā)。在積極干預(yù)的背后，流行病傳播動(dòng)力學(xué)研究為趨勢判斷和防控決策提供了重要參考。早期研究受限于時(shí)間跨度短、干預(yù)成效未完全顯現(xiàn)以及對(duì)病毒特性的認(rèn)知局限。目前國內(nèi)疫情態(tài)勢漸趨明朗，具備了更完整的數(shù)據(jù)觀測周期和更豐富的臨床認(rèn)知佐證，使研究具有更多優(yōu)化和拓展空間。

本文以SIR 經(jīng)典倉室模型為邏輯架構(gòu)，設(shè)計(jì)了分群、分階段的非均勻感染力擴(kuò)展模型，對(duì)全國、湖北、武漢3 層次分形網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行建模訓(xùn)練，通過降階得到更有效的子過程迭代，在參數(shù)設(shè)置和精度優(yōu)化方面有所突破。在各干預(yù)杠桿強(qiáng)度上下浮動(dòng)20%的場景設(shè)定下模擬疫情發(fā)展進(jìn)程，評(píng)估中國防控模式的成效，并為我國和全球其他國家的后續(xù)防控工作提供有益參考。

1 前期研究與啟發(fā)

在建模和參數(shù)研究方面，文獻(xiàn)[1]應(yīng)用SEIR倉室模型以多重?cái)M合確定參數(shù)，結(jié)合LSTM 模型對(duì)疫情趨勢進(jìn)行綜合預(yù)測，在參數(shù)估計(jì)方面更貼近臨床實(shí)踐；文獻(xiàn)[2]對(duì)倉室模型進(jìn)行了擴(kuò)展，增加無癥狀感染者A、被隔離易感者Sq等，采用M-H算法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)建模；文獻(xiàn)[3]在這一研究的基礎(chǔ)上通過歐拉數(shù)值方法進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化；文獻(xiàn)[4]根據(jù)吉布斯采樣確定基本再生數(shù)，以國際確診病例反推武漢感染人數(shù)，并針對(duì)感染力進(jìn)行差異化分場景仿真；文獻(xiàn)[5]通過蒙特卡羅方法模擬聯(lián)合分布進(jìn)行參數(shù)推斷和預(yù)測，將研究限定在2020 年1 月23 日前武漢的無干預(yù)自由傳播期，這種階段劃分有效區(qū)隔了病毒傳播早期與中后期的顯著不同。

在控制措施效果評(píng)估方面，文獻(xiàn)[6]主要圍繞人口流動(dòng)性和確診感染病例數(shù)之間相關(guān)性的變化，評(píng)估交通管制、切斷本地傳播鏈等舉措成效；文獻(xiàn)[7]將有效再生數(shù)作為評(píng)價(jià)防控效果的核心指標(biāo)，基于蒙特卡洛方法以患者癥狀出現(xiàn)時(shí)間和世代間隔對(duì)有效再生數(shù)進(jìn)行估計(jì)；文獻(xiàn)[8]研究了個(gè)人防護(hù)、早期診斷收治和后期診斷收治3 種控制策略組合下病毒的擴(kuò)散速度，通過構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)并轉(zhuǎn)化為哈密爾頓函數(shù)極小化最優(yōu)控制問題，發(fā)現(xiàn)全面組合策略更有效。

上述研究為模型的優(yōu)化和突破提供啟發(fā)：1)在檢疫隔離和集中收治等政策下各群體感染力不均勻，應(yīng)考慮分群。2) 干預(yù)政策出臺(tái)時(shí)間點(diǎn)附近疫情曲線呈現(xiàn)明顯彎折，參數(shù)具有顯著分段特征，各時(shí)段感染力不均勻，應(yīng)考慮分階段。3) 建模主體選擇方面，根據(jù)國家衛(wèi)健委疫情通報(bào)數(shù)據(jù)計(jì)算，2020 年3 月25 日之前湖北確診病例中70%以上來自武漢，全國確診病例中70%以上來自湖北，局部與整體具有分形網(wǎng)絡(luò)自相似量化統(tǒng)計(jì)特征，如結(jié)合分形架構(gòu)，可在參數(shù)估計(jì)時(shí)充分利用全國、省、市3 層次數(shù)據(jù)。4) 根據(jù)國家和湖北衛(wèi)健委疫情通報(bào)數(shù)據(jù)計(jì)算，未感染者始終在國內(nèi)人口中占據(jù)主體，武漢約99.56%、湖北約99.89%、全國約99.94%，如能將感染者和未感染者的迭代過程分離，可有效提高模型精度和效率。5) 可將接觸、隔離、收治和治愈視為干預(yù)杠桿，模擬并觀測其在加強(qiáng)和減弱兩個(gè)方向上調(diào)節(jié)時(shí)疫情態(tài)勢變化，從而描繪可干預(yù)空間、評(píng)估干預(yù)成效并實(shí)現(xiàn)橫向可比。

2 方法與數(shù)據(jù)

2.1 模型邏輯架構(gòu)

基于經(jīng)典SIR 倉室模型[9]進(jìn)行擴(kuò)展，如圖1 所示。為體現(xiàn)感染力異質(zhì)性，根據(jù)人群流動(dòng)自由度分群：

圖1 SIR 非均勻感染力擴(kuò)展模型的邏輯架構(gòu)

S 為易感者(susceptible)，包括自由易感者Sf和隔離易感者Sq，對(duì)新冠肺炎人群普遍易感。

I 為感染者(infectious)，包括自由感染者If、隔離感染者Iq和收治感染者Ih，按其是否被隔離分別包含于If和Iq中，其中If主要包含潛伏期感染者及始終無癥狀感染者[10-11]。

R 為移除者(removed)，包括治愈者和病亡者。

感染路徑僅有一條，即自由感染者If傳染自由易感者Sf。人群轉(zhuǎn)化路徑包括以隔離效率系數(shù)q 監(jiān)測并隔離有密切接觸史或疑似癥狀的自由易感者Sf，如其未感染則成為隔離易感者Sq，并在隔離結(jié)束后再次成為自由易感者Sf(隔離解除率λ 為隔離期的倒數(shù))；如其已感染則成為隔離感染者Iq。自由易感者Sf以接觸效率系數(shù)c 和日感染率β 被感染，轉(zhuǎn)化為自由感染者If。If和Iq繼而以收治效率系數(shù)δ 轉(zhuǎn)化為收治感染者Ih。三類感染者分別以治愈效率系數(shù)γ 及日病亡率α 成為移除者R。考慮分形架構(gòu)，令i={1,2,3}分別表示武漢、湖北、全國3 個(gè)層次。模型微分方程如下：

感染力為每位感染者的日均感染人數(shù)，即FOI=βcSf/N=R/DI(在干預(yù)初期為Ro/DI)。

病毒特性參數(shù)包括基礎(chǔ)再生數(shù)Ro、世代間隔DI、日感染率β、日病亡率α，為不變參數(shù)，由病毒本身特性決定[12-13]，不隨階段改變而改變，其中前3 項(xiàng)參數(shù)在武漢、湖北、全國3 個(gè)層次保持一致，日病亡率α 考慮供給保障能力有所不同而保留差異。干預(yù)杠桿參數(shù)包括接觸效率系數(shù)c、隔離效率系數(shù)q、收治效率系數(shù)δ、治愈效率系數(shù)γ，為可變參數(shù)，在不同階段、不同層次具有不同的參數(shù)值，從而模擬空間分布上感染力的非均勻性。

一個(gè)完整的疫情周期需要經(jīng)歷自由感染者高峰、隔離和收治感染者高峰、移除者新增高峰，根據(jù)峰值點(diǎn)數(shù)據(jù)觀測，將觀察期劃分干預(yù)初期(2020年1 月20 日?2 月4 日)、探索期(2020 年2 月5 日?2 月17 日)、 掌 控 期(2020 年2 月18 日?2 月27 日)、平 穩(wěn) 期(2020 年2 月28 日 之 后) 4 個(gè) 階段，從而模擬時(shí)間分布上感染力的非均勻性。

2.2 迭代矩陣降階與子過程分解

時(shí)間步t 表示從起始日(1 月20 日)開始計(jì)算的第t 天，每日樣本矩陣X=(Sf, Sq, If, Iq, Ih, R)。第t+1 步狀態(tài)變量僅由第t 步狀態(tài)變量決定，視為有限狀態(tài)空間內(nèi)的馬爾可夫過程，x(t+1)=x(t)A，x(t)為n 維狀態(tài)向量，A 為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。因自由易感者人口占比超過99.5%，Sf/N≈1，則有：

分塊降階，則：

由此分離為兩個(gè)子過程，即易感者迭代(Sf, Sq)A1、感染與移除者迭代(If, Iq, Ih, R) A4，對(duì)于疫情的模擬主要基于后者。兩個(gè)子過程數(shù)據(jù)量級(jí)相差百倍以上(易感者與感染和移除者的數(shù)量比值武漢超過200 倍，湖北超過800 倍，全國超過17 000倍)，分離迭代有利于提高模型精度和計(jì)算效率。但子過程轉(zhuǎn)移矩陣首行元素和不為1，不再是完整的馬爾可夫過程。

2.3 數(shù)據(jù)來源與統(tǒng)計(jì)口徑

數(shù)據(jù)來源為國家衛(wèi)健委、湖北衛(wèi)健委、武漢衛(wèi)健委發(fā)布數(shù)據(jù)，并進(jìn)行了兩次修正。一是2020 年2 月12 日湖北確診方式增加“臨床診斷”，導(dǎo)致數(shù)據(jù)躍升，按確診和臨床病例比例對(duì)前序數(shù)據(jù)進(jìn)行修正；二是2020 年1 月24 日9 家持有資質(zhì)的醫(yī)院和武漢市疾控中心獲得檢測授權(quán)，短期內(nèi)大量積壓待檢病例得到確診導(dǎo)致數(shù)據(jù)躍升，按平均增速對(duì)前序數(shù)據(jù)進(jìn)行修正。

3 參數(shù)估計(jì)

3.1 病毒特性參數(shù)估計(jì)

3.2 干預(yù)杠桿參數(shù)估計(jì)

在獲得病毒特性參數(shù)估計(jì)值的基礎(chǔ)上，干預(yù)杠桿參數(shù)估計(jì)轉(zhuǎn)化為求各階段線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的方程解析解。

通過分形理論的支持，如拓?fù)鋵W(xué)和動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域時(shí)變曲線的無標(biāo)度屬性，可以綜合利用武漢、湖北、中國3 個(gè)層次的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。結(jié)合擬合特征，應(yīng)用監(jiān)督式機(jī)器學(xué)習(xí)GPR 高斯過程回歸方法，將各時(shí)間步解向量作為樣本對(duì)回歸模型進(jìn)行訓(xùn)練，得到4 個(gè)階段的參數(shù)估計(jì)如表1 所示。

接觸效率系數(shù)在干預(yù)初期受春節(jié)影響明顯上浮，在交通管制、社區(qū)封閉等最大限度控制人口流動(dòng)和聚集的應(yīng)急干預(yù)下出現(xiàn)幾何級(jí)數(shù)下降。隔離效率系數(shù)總體平穩(wěn)略增，武漢以外區(qū)域優(yōu)于武漢，湖北以外區(qū)域優(yōu)于湖北。擬合周期主體處于醫(yī)療資源非擠兌期，全國實(shí)行統(tǒng)一診療方案、防控方案，收治效率系數(shù)在探索期出現(xiàn)短期提升，源于增加“臨床診斷”和全面排查應(yīng)收盡收。治愈效率系數(shù)隨診療方案不斷成熟而顯著改善，通過提高醫(yī)療資源周轉(zhuǎn)率，避免收治和隔離環(huán)節(jié)擁塞。

表1 干預(yù)杠桿參數(shù)估計(jì)均值

3.3 模型擬合

基于參數(shù)估計(jì)計(jì)算模型在各時(shí)期3 個(gè)區(qū)域?qū)哟蔚母腥玖等绫? 所示。

表2 各階段非均勻感染力FOI

模型對(duì)疫情發(fā)展實(shí)際趨勢擬合良好，以此作為基礎(chǔ)場景，如圖2 所示。

圖2 基礎(chǔ)場景模型預(yù)測與實(shí)際值比較

4 敏感度分析

分析疫情態(tài)勢對(duì)干預(yù)杠桿參數(shù)變化的敏感度SAF[15]。態(tài)勢變量包括感染者峰值規(guī)模NP、峰值周期TP、終值規(guī)模NF、終值周期TF。設(shè)杠桿參數(shù)為x，有：

以現(xiàn)有干預(yù)強(qiáng)度為基礎(chǔ)場景，增強(qiáng)或減弱單項(xiàng)杠桿的強(qiáng)度，使其變化幅度達(dá)到20%，發(fā)現(xiàn)敏感度在趨強(qiáng)和趨弱兩個(gè)方向上存在不對(duì)稱的邊際效應(yīng)，弱干預(yù)場景下邊際損失遞增，強(qiáng)干預(yù)場景下邊際收益遞減，詳見圖3， If1/ If2/If3分別為武漢/湖北/全國自由感染者， Iq1/Iq2/Iq3為分別為武漢/湖北/全國隔離感染者， Ih1/Ih2/Ih3分別為武漢/湖北/全國收治感染者， R1/R2/R3為分別為武漢/湖北/全國移除者。

圖3 干預(yù)杠桿參數(shù)的強(qiáng)干預(yù)場景與弱干預(yù)場景模擬分布

弱干預(yù)場景中，如人口流動(dòng)性干預(yù)降低20%，全國可達(dá)21 萬累計(jì)確診規(guī)模；如對(duì)密切接觸者和疑似者的隔離效率降低20%，全國可達(dá)15 萬累計(jì)確診規(guī)模；如集中收治效率降低20%，全國可達(dá)10 萬累計(jì)確診規(guī)模。強(qiáng)干預(yù)場景下，除降低接觸和提高收治會(huì)使峰終值降至基礎(chǔ)場景的37%和80%以外，加強(qiáng)其他兩個(gè)杠桿對(duì)峰終值影響不大。表3 為干預(yù)杠桿參數(shù)的多場景調(diào)控幅度模擬值。

表3 干預(yù)杠桿參數(shù)的多場景調(diào)控幅度模擬值

表4 干預(yù)杠桿參數(shù)的敏感度

4 類干預(yù)杠桿中，降低接觸是有效抑制疫情的核心杠桿，敏感度是其他干預(yù)杠桿的3.5 倍以上。隔離、收治、治愈屬于防御型杠桿，可維持疫情態(tài)勢平穩(wěn)發(fā)展。

表4 為干預(yù)杠桿參數(shù)的敏感度值。弱干預(yù)敏感度提示了防控的重要風(fēng)險(xiǎn)點(diǎn)，降低接觸是防止疫情失控的最基礎(chǔ)手段；其次是隔離和收治，可避免峰終值過載；治愈可避免峰值周期不斷拖延。強(qiáng)干預(yù)敏感度表明了主動(dòng)防控的提升空間，降低接觸是控制疫情規(guī)模和周期收效最為顯著的手段，及時(shí)收治可以在一定程度上抑制終值規(guī)模。

5 結(jié) 束 語

根據(jù)模型的子過程解構(gòu)，最大限度控制人口流動(dòng)和聚集，對(duì)有效遏制疫情發(fā)揮了關(guān)鍵作用；通過增加“臨床診斷”、全面排查、加大床位供給實(shí)現(xiàn)應(yīng)收盡收，在短期內(nèi)有力扭轉(zhuǎn)了增長勢頭。

根據(jù)敏感度分析，強(qiáng)弱場景邊際效應(yīng)不對(duì)稱，全程減弱干預(yù)會(huì)引發(fā)較大疫情風(fēng)險(xiǎn)，但加強(qiáng)干預(yù)只會(huì)帶來較小疫情改善，證明中國方案比較接近準(zhǔn)帕累托最優(yōu)。雖然在降低接觸和集中收治方面理論上存在優(yōu)化空間，但實(shí)際受限于干預(yù)初期對(duì)病毒特性的發(fā)現(xiàn)與認(rèn)知、探索期對(duì)醫(yī)療需求的剛性兌付、掌控期對(duì)社會(huì)管理的托底投入以及平穩(wěn)期防疫與經(jīng)濟(jì)發(fā)展的再平衡。整體而言，中國模式干預(yù)杠桿組合有力有效。