深挖細(xì)究 避免再錯(cuò)

■李建波 馮躍輝

作者單位：北京師范大學(xué)(珠海)附屬高級(jí)中學(xué)

在一類待定系數(shù)法求取值范圍的題目中，運(yùn)用不等式“同向可加性”很容易產(chǎn)生一種錯(cuò)誤的解法，而錯(cuò)解中的邏輯錯(cuò)誤隱藏得很深，難以被發(fā)現(xiàn)。下面用例題來分析深含其中的邏輯錯(cuò)誤。

例題如果1≤a+b≤5，-1≤a-b≤3，求a+2b的取值范圍。

錯(cuò)解：因?yàn)樗?≤2a≤8，所以0 ≤a≤4 ①。又因?yàn)樗?2≤2b≤6 ②。綜上，因?yàn)樗?2≤a+2b≤10 ③。這是同學(xué)們經(jīng)常犯的錯(cuò)誤分析過程。過程①是利用不等式“同向可加性”和“可乘性”，過程②同理使用“同向可加性”“可乘性”，過程③是利用“同向可加性”。每一步推理都運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)作依據(jù)，也就是說推理過程沒有問題，并且計(jì)算過程也沒有問題，那為什么這是一種錯(cuò)誤解法呢?我們先看看正確解答。

正解：設(shè)a+2b=u(a+b)+v(a-b)，則解得故a+2b=。因?yàn)樗寓堋Ｋ? ≤，即0≤a+2b≤8 ⑤。正解過程④利用不等式“可乘性”，過程⑤利用“同向可加性”。

錯(cuò)解、正解兩種計(jì)算結(jié)果無非都是利用“同向可加性”和“可乘性”，那為什么會(huì)有不同的結(jié)果呢?若令集合P正解={x|0≤x≤8}，P錯(cuò)解={x|-2≤x≤10}，用同一數(shù)軸表示這兩個(gè)集合，如圖1所示。由圖1 可知，錯(cuò)誤解法求得的范圍擴(kuò)大了，用邏輯與集合的關(guān)系可以表示為P正解?P錯(cuò)解，即P正解?P錯(cuò)解。對(duì)此，仔細(xì)思考可以發(fā)現(xiàn)錯(cuò)解中存在一種很隱蔽的邏輯錯(cuò)誤——不等式“同向可加性”是一種“單向”推理過程，即a＞b且c＞d?a+c＞b+d，反過來推導(dǎo)是錯(cuò)誤的。不妨舉例說明，當(dāng)a=10，c=1，b=3，d=2時(shí)，滿足a+c＞b+d，但不滿足a＞b且c＞d。

圖1

把正解、錯(cuò)解過程中的一些技術(shù)性工作忽略掉，利用不等式“可乘性”的“雙向”推理與“同向可加性”的“單向”推理的邏輯思想，重新梳理下兩種解答過程中的邏輯核心部分，如下：

正解：因?yàn)棰?②?0≤a+2b≤8 ③。

錯(cuò)解：因?yàn)棰埽?⑤?0≤a+2b≤8 ⑥。

正解中，不等式組①利用“可乘性”得到不等組②，屬于“雙向推導(dǎo)”，即兩個(gè)不等式組①和②是等價(jià)關(guān)系。因此不等式組②利用“同向可加性”等價(jià)于不等式組①利用“同向可加性”得到不等式③。而錯(cuò)解中，不等式組④利用“同向可加性性”得到不等式組⑤，屬于單向推導(dǎo)，也就是說不等式組④與不等式組⑤是不等價(jià)的；而不等式組⑤再次利用“同向可加性”得到不等式組⑥，犯了邏輯上的錯(cuò)誤。