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    例談動點設(shè)立的技巧

    2020-11-26 00:42:04許小如指導(dǎo)教師
    關(guān)鍵詞:設(shè)點參數(shù)設(shè)置動點

    ■許小如(指導(dǎo)教師:徐 揚(yáng))

    作者單位:浙江省天臺中學(xué)2018級(14)班

    由圓錐曲線上一個主動點而產(chǎn)生的相關(guān)問題的解決,都回避不了主動點的假設(shè),如何設(shè)立這個主動點,這正是許多讀者感到困難的一點。

    例題已知直線x-2y+2=0經(jīng)過橢圓C:(a>b>0)的左頂點A和上頂點D,橢圓C的右頂點為B,S是橢圓C上位于x軸上方的動點,直線AS,BS與直線l:分別交于M,N兩點。

    (Ⅰ)求橢圓C的方程。

    (Ⅱ)求線段MN的長度的最小值。

    解:(Ⅰ)橢圓C的方程為。

    (Ⅱ)總體視角。若S點確定,則直線AS,BS,點M,N都也跟著確定。這需先找一個主動變量t,變化范圍是清楚的,使得(變量)表示為主變量t的函數(shù),然后求的最小值。

    視角1:參數(shù)設(shè)置法——換元法。由于圓錐曲線既有普通方程,又有參數(shù)方程,所以設(shè)定坐標(biāo)時可以只含有一個參數(shù),參數(shù)設(shè)置法應(yīng)該是首選的方法。

    解法1:設(shè)點S的坐標(biāo)為(2cosθ,sinθ)(θ∈(0,π)),則直線AS的方程為y=,得M,所以。設(shè)即3tsinθ+6cosθ=10,由題意得10,即。

    所以線段MN的長度的最小值為,對應(yīng)的點S為。

    視角2:一般坐標(biāo)(x,y)設(shè)置法——直接設(shè)置法。圓錐曲線的普通方程有其“普通性”,則其應(yīng)用一定有“廣泛性”。直接設(shè)置法的特點是設(shè)置(x,y)時簡單,應(yīng)要充分注意這個主動點所在曲線的性質(zhì)——x與y的制約關(guān)系。

    解法2:設(shè)點S(x0,y0),,,且yM>0,yN<0,則。故,所以有,即。

    視角3:在能決定點S的相近關(guān)系中設(shè)置方法——間接設(shè)置法。如果直線AS確定了,那么點S也就定了,這樣,有時也對產(chǎn)生點S的“源頭”進(jìn)行設(shè)定。間接設(shè)置法的特點是運算量大,但思路自然,操作簡單。不過,有時在“源頭”中有多個“頭”,這樣就要選擇一個適當(dāng)、合理、清晰的條件設(shè)置。但有時這些“頭”的地位是并列的,此時就要選其中的一個進(jìn)行設(shè)置。

    解法3:因為直線AS的斜率k顯然存在,且k>0,所以可設(shè)直線AS的方程為y=k(x+2),得。由得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0,它的一個根為-2。

    設(shè)S(x1,y1),則得。又B(2,0),得kBS=。

    總結(jié):這里我們共同探索了常用的三種方法,其中解法3的思路最優(yōu),解法2的思路最巧,解法1的思路最自然。

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