對(duì)一次失敗比賽的反思
——在教學(xué)中如何詮釋數(shù)學(xué)的本質(zhì)

■福建省漳州市第七中學(xué) 鄭喜紅

這次比賽我講課的內(nèi)容是北師版九年級(jí)上冊(cè)第二章的一元二次方程，這節(jié)課教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生學(xué)會(huì)自如地運(yùn)用各種方法解方程。在課堂上，我向?qū)W生呈現(xiàn)了3種方程的解法——公式法、配方法和因式分解法，并以從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的教學(xué)過程來教授一元二次方程的解法：先講解只含有二次項(xiàng)ax2的一元二次方程的解法，再講解含有一次項(xiàng)和二次項(xiàng)ax2+bx 的一元二次方程的解法，最后講解一元二次方程的一般方程ax2+bx+c=0的解法。下面是我的課堂實(shí)錄。

一、課堂實(shí)錄1：配方法

例1.某牧場(chǎng)試驗(yàn)基地要建一個(gè)長方形羊圈，羊圈的一邊靠墻，墻長50m，另三邊用木欄圍成，木欄總長80m。

（1）羊圈的面積能達(dá)到200m2嗎？（精確到1m）

（2）羊圈的面積能達(dá)到400m2嗎？（精確到1m）

（3）羊圈的面積能達(dá)到450m2嗎？（精確到1m）解：設(shè)與墻垂直的一邊長x m，則與墻平行的一邊長（80-2x）m。

∵墻長50m，即0≤80-2x≤50，解得15≤x≤40

∴x1= 37，x2= 3（不合題意舍去）

答：羊圈的面積能達(dá)到200m2。

根據(jù)課標(biāo)要求，講解上述例題的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生了解和掌握用配方法解一元二次方程的過程，而課堂上的反饋也說明學(xué)生接受這種解法并不難，于是我讓學(xué)生利用配方法解剩下的兩小題，并準(zhǔn)備在學(xué)生掌握配方法后將課堂知識(shí)拓展到一元二次方程幾種解法的對(duì)比上。

在講解完例1 后，我認(rèn)為學(xué)生對(duì)配方法的認(rèn)識(shí)不應(yīng)只停留在解一元二次方程這樣粗淺認(rèn)知上。于是我大膽嘗試，在此時(shí)引入二次函數(shù)知識(shí)（九年級(jí)下冊(cè)的知識(shí)）。

二、課堂實(shí)錄2：二次函數(shù)

這部分我通過以下5個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生思考。

1.上面的3 個(gè)小題中的200，400，450 可以換成其他數(shù)據(jù)嗎？

2.把等式中的200，400，450換成y。我們?cè)撊绾握J(rèn)識(shí)y=x(80-2x)呢？它確切說是二次函數(shù)，為什么？

3. 只是把數(shù)字換成y，你會(huì)用配方法解y=x(80 - 2x)嗎？

4.這么配方的依據(jù)是什么？配方的方法與一元二次方程異同點(diǎn)是什么？觀察配方結(jié)果的式子你可有什么發(fā)現(xiàn)，得到什么結(jié)論？這結(jié)論與一元二次方程的關(guān)系是什么？

5.一元二次方程通過配方法你可以得到什么樣的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)？二次函數(shù)呢？

三、反思學(xué)生的學(xué)習(xí)過程

雖然學(xué)生沒學(xué)過二次函數(shù)，但有學(xué)習(xí)一次函數(shù)的知識(shí)基礎(chǔ)，他們很快認(rèn)識(shí)到隨著x的變化y也變化，且自變量的最高次數(shù)為2，這樣的函數(shù)可以定義為二次函數(shù)。當(dāng)y= 0 時(shí)，經(jīng)過提醒和類比一次函數(shù)，學(xué)生可以理解被求解方程的根的幾何意義就是二次函數(shù)與x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。但在對(duì)二次函數(shù)y=x(80 - 2x)進(jìn)行配方時(shí)，相比較第1 問的解答，幾乎所有學(xué)生都無從下筆，這是最難的點(diǎn)，我認(rèn)為學(xué)生主要是對(duì)配方原理摸不著頭緒，在運(yùn)算時(shí)更多的是死記步驟，生搬硬套，換句話說在學(xué)習(xí)完全平方的公式時(shí)會(huì)算會(huì)化簡(jiǎn)，在配方時(shí)會(huì)依葫蘆畫瓢，但他們對(duì)公式本質(zhì)的認(rèn)識(shí)是割裂的。

對(duì)比教學(xué)：

以上的對(duì)比學(xué)習(xí)充分說明了配方與完全平方的關(guān)系，它們同根同源，只是呈現(xiàn)方式不同而已。課上到這里，時(shí)間也到了。當(dāng)時(shí)從學(xué)生表現(xiàn)上看，他們覺得這節(jié)課的知識(shí)并不是很難?？珊竺娴漠嬶L(fēng)轉(zhuǎn)變，調(diào)動(dòng)了他們學(xué)習(xí)的積極性。一節(jié)課就此節(jié)節(jié)盤旋上升，在一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的后面還有一個(gè)個(gè)小高峰等著他們?nèi)ヌ魬?zhàn)，師生們都一同感覺到解決問題的酣暢淋漓和一節(jié)課應(yīng)該有的充實(shí)感。更重要的是從配方法過渡到二次函數(shù)，讓學(xué)生興奮極了，感覺到配方法有了更深入的應(yīng)用。

四、結(jié)語

我的課題名稱是對(duì)一次失敗比賽的反思，比賽過程不在此累述。我對(duì)這節(jié)課這樣上進(jìn)行了反思：我本節(jié)的教學(xué)目標(biāo)是什么？有否天馬行空，是否有踩香蕉皮滑到哪算到哪？我的教學(xué)過程符合教學(xué)邏輯嗎？處理教材方式有哪些值得保留。學(xué)生的思維有得到培養(yǎng)嗎？他們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中思維障礙很大嗎？這樣教適用于什么程度的學(xué)生呢？在介紹配方法解方程中跨越到二次函數(shù)求頂點(diǎn)，若學(xué)生順利學(xué)會(huì)，之前我該怎么教，這節(jié)課之后我又該怎么教？這節(jié)課的教法顛覆教材、顛覆舊教法。傳統(tǒng)上在教學(xué)二次函數(shù)是從y=ax2開始，畫圖，說性質(zhì)，形數(shù)結(jié)合，漸進(jìn)到y(tǒng)=ax2+bx，再學(xué)習(xí)y=ax2+bx+c。深入淺出，步步逼近難點(diǎn)，這樣上，老師心里踏實(shí)，一定也是符合學(xué)生認(rèn)知水平。

在這節(jié)課后，我通過學(xué)生的反饋，發(fā)現(xiàn)同學(xué)們學(xué)得會(huì)，問題想得到，思路理得清。應(yīng)該是在學(xué)習(xí)函數(shù)概念時(shí)可以提一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)都是y隨x變化而變化，在學(xué)習(xí)一次函數(shù)時(shí)就要突破圖像與性質(zhì)間的互相說明印證，所以當(dāng)提出y=x(80 - 2x)是什么函數(shù)，學(xué)生會(huì)答。當(dāng)y= 0 時(shí)學(xué)生可以知道它代表函數(shù)與x軸交點(diǎn)，但是我們尚未學(xué)習(xí)任何一種二次函數(shù)的圖像，所以，如何說明當(dāng)y取不同數(shù)值時(shí)求出的x值是什么意義。同時(shí)我還在思考配方法在二次函數(shù)中對(duì)求二次最值在這可以讓學(xué)生自己觀察配方后去思索二次式而生成對(duì)二次式子的性質(zhì)。

但是從配方的結(jié)果中我們可以分析不論x取何值形如(x- 20)2是非負(fù)數(shù)，那么-2(x- 20)2最大值為0，而y=-2(x- 20)2+800的最值是800。那么當(dāng)y取值400，450 時(shí)為什么有的是兩解，有的是無解，在這不做解釋，我們只是通過這樣一節(jié)課讓同學(xué)們體會(huì)配方知識(shí)的多姿多彩。