鋼筋混凝土剪力墻在豎向荷載作用下的穩(wěn)定性分析

宋林澗， 趙 軍

(鄭州大學(xué) 力學(xué)與安全工程學(xué)院，河南 鄭州 450001)

0 引言

鋼筋混凝土剪力墻在高層建筑結(jié)構(gòu)體系中是主要的抗側(cè)力構(gòu)件，因其具有較大的抗側(cè)移剛度，能夠有效地限制結(jié)構(gòu)的水平位移，往往在高層建筑設(shè)計(jì)中作為主要的抗震構(gòu)件。在實(shí)際結(jié)構(gòu)中，鋼筋混凝土剪力墻主要承受水平和豎向荷載的作用，即承受墻體平面內(nèi)的作用力，但是，垂直平面方向的剛度較小可能會(huì)引起墻體產(chǎn)生垂直于墻面的平面外變形，在長期豎向荷載作用下，該變形會(huì)逐漸增大[1]，剪力墻便可能發(fā)生失穩(wěn)破壞。

目前，對于剪力墻在結(jié)構(gòu)中的穩(wěn)定性問題，國內(nèi)外在這方面的研究還沒有形成比較完善的理論，文獻(xiàn)[2]給出了在不同樓板約束形式下高層剪力墻的臨界荷載并分析了相應(yīng)的失穩(wěn)破壞形態(tài)；文獻(xiàn)[3]采用特征值屈曲分析法通過ABAQUS軟件給出了當(dāng)墻體為四邊支撐時(shí)的屈曲模態(tài)；文獻(xiàn)[4]通過有限元軟件分析了在橫肋和豎肋互相作用時(shí)鋼板剪力墻的屈曲臨界系數(shù)的求解方法；文獻(xiàn)[5]給出了不同截面形式的空心剪力墻臨界應(yīng)力的求解公式，并分析了空心截面孔徑設(shè)計(jì)對穩(wěn)定性的影響；文獻(xiàn)[6]采用有限元方法研究了鋼板剪力墻在側(cè)邊具有不同形式配筋時(shí)的屈曲失穩(wěn)問題。由此可見，關(guān)于剪力墻穩(wěn)定性問題的研究大多基于有限元理論，沒有進(jìn)行完整的推導(dǎo)與計(jì)算，從而得到墻體發(fā)生失穩(wěn)時(shí)的承載力求解公式，并且所得結(jié)論存在一定的差別。

鑒于目前對于剪力墻穩(wěn)定性研究中存在的各種不同問題，防止剪力墻因穩(wěn)定性不足而破壞，根據(jù)工程結(jié)構(gòu)中剪力墻的內(nèi)力分布，將墻體視為正交各向異性薄板，對豎向荷載作用下墻體出現(xiàn)失穩(wěn)破壞時(shí)的臨界應(yīng)力進(jìn)行理論解析。胡拜爾[7]提出了基于正交各向異性材料的構(gòu)件主剛度的計(jì)算公式，以此為依據(jù)，進(jìn)一步推導(dǎo)得到適用于剪力墻的失穩(wěn)臨界應(yīng)力求解公式。進(jìn)而對鋼筋混凝土剪力墻進(jìn)行分析和計(jì)算，建議了提高豎向荷載下墻體穩(wěn)定性的措施。

1 剪力墻的理論分析模型

在實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中，通常剪力墻厚度t與墻中面最小尺寸b(墻寬)之比小于 1/5，因而能夠把墻體等效為薄板。對于鋼筋混凝土剪力墻，雖然混凝土可以視為均勻分布，但是墻內(nèi)配置的豎向和水平鋼筋不同，造成墻體的各向異性性質(zhì)，因而可以按照均質(zhì)正交各向異性板建立計(jì)算模型[8]，橫向箍筋和豎向縱筋的對稱分布在墻體內(nèi)產(chǎn)生3個(gè)相互垂直的彈性對稱面，將x、y、z軸置于彈性主向上。同時(shí)，考慮到剪力墻自身重力和其受到的頂部豎向荷載所產(chǎn)生的面力都與墻面平行，沿墻體厚度方向沒有外力作用，并且面力大小沿厚度方向保持不變，可以作為正交各向異性薄板在平面內(nèi)的穩(wěn)定性問題求解。

以圖1所示鋼筋混凝土框架—剪力墻結(jié)構(gòu)為例[9]，每層剪力墻高2.8 m，墻寬1.2 m，墻厚0.2 m，墻底部與鋼筋混凝土基礎(chǔ)固定連接。因而，建立的剪力墻模型如圖2所示。

圖1 某框架剪力墻結(jié)構(gòu)平面圖Figure 1 Plane plan of a frame shear wall structure

圖2 剪力墻計(jì)算模型Figure 2 Calculation model of the shear wall

在剪力墻結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，剪力墻兩側(cè)大多設(shè)置輕質(zhì)墻體，不考慮其承擔(dān)的作用力，在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中不參與內(nèi)力計(jì)算，因而可以忽略剪力墻兩側(cè)的約束，將墻體兩側(cè)視為自由邊，在兩側(cè)邊界上不存在支反力和分布彎矩。剪力墻在豎向荷載的作用下，位于底部的梁會(huì)對墻體下邊界產(chǎn)生平行于墻面、豎直向上的均布荷載作用。因此，剪力墻在頂部豎向荷載作用下的穩(wěn)定性問題就可以近似為其在上述邊界約束條件下兩對邊受均布荷載的穩(wěn)定性問題。當(dāng)墻體上下邊界截面只承受豎向荷載作用時(shí)，這兩個(gè)邊界截面上都不出現(xiàn)彎矩，可以進(jìn)一步認(rèn)為是簡支約束。

由此可見，在豎向荷載下對鋼筋混凝土剪力墻進(jìn)行穩(wěn)定性計(jì)算時(shí)，可以建立邊界條件為兩對邊自由、兩對邊簡支的正交各向異性板計(jì)算模型。

2 臨界應(yīng)力的理論解

如前所述，建立對邊簡支、對邊自由的正交各向異性矩形薄板的剪力墻理論計(jì)算模型見圖3。墻高為a，墻寬為b，單位寬度上的豎向荷載應(yīng)力集度用px表示，圖中虛線表示墻體上、下邊界簡化后的簡支約束。

圖3 剪力墻理論計(jì)算模型Figure 3 Theoretical calculation model of shear wall

(1)

(2)

接下來采用位能駐值原理，通過推導(dǎo)板總位能的極值，得到圖3中剪力墻簡化計(jì)算模型的失穩(wěn)臨界應(yīng)力。

將正交各向異性板整體視作三維彈性體Ω，式(3)給出其應(yīng)變能V的計(jì)算式。將式(1)和式(2)代入式(3)，便能夠?qū)⒄桓飨虍愋园宓膽?yīng)變能V用位移表示。

(3)

圖3所示的均布力對板做的功為[14]：

(4)

進(jìn)而力函數(shù)U可以表示為

(5)

應(yīng)變能V與力函數(shù)U作差，得到板的總位能Π：

Π=V-U。

(6)

根據(jù)位能駐值原理，總位能Π取極值時(shí)板處于穩(wěn)定的平衡態(tài)，那么有：

δΠ=0。

(7)

通過將圖3約束條件下正交各向異性板的邊界條件用板的內(nèi)力表示出來，便可以采用瑞利-李茲法[15]分析式(7)。

依據(jù)彈性理論，從板內(nèi)取出一個(gè)體積為dx×dy×t的微元體，分別計(jì)算微元體各面上的應(yīng)力，然后進(jìn)行積分可得板的內(nèi)力為：

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

根據(jù)前文墻體頂部和底部邊界約束簡化后的結(jié)果，圖3中正交各向異性板在x=0和x=a兩個(gè)邊界上視為簡支約束，這兩條邊上的邊界條件為：

(13)

由于剪力墻存在自由邊界y=0和y=b，而在自由邊界上的內(nèi)力彎矩My、剪力FSy和扭矩Mxy都將為0，此時(shí)利用文獻(xiàn)[16]建議的廣義剪力的計(jì)算方法，可將邊界上3個(gè)內(nèi)力為0的條件轉(zhuǎn)化為2個(gè)自由邊上的邊界條件：

(14)

將式(8)代入式(13)中的Mx項(xiàng)，則x=0和x=a處的邊界條件便能夠由位移給出：

(15)

將式(9)、(10)、(11)、(12)代入式(14)中的對應(yīng)項(xiàng)，則y=0和y=b處的邊界條件亦可由位移給出，如式(16)。

圖3中，正交各向異性板受力失穩(wěn)時(shí)，在邊界x=0和x=a上的位移為零，而在邊界y=0和y=b上會(huì)產(chǎn)生垂直于板面的位移?？紤]到板的對稱性，兩條自由邊上的失穩(wěn)位移必須完全同步，并且失穩(wěn)波形應(yīng)具有周期性正弦曲面的失穩(wěn)形狀?？梢?，與自由邊平行的截面在失穩(wěn)發(fā)生時(shí)垂直于板面的位移始終相同，即失穩(wěn)位移與y的取值無關(guān)。

(16)

因而可以用式(17)所示的單三角級數(shù)來表達(dá)失穩(wěn)撓曲面：

(17)

其中，Am是待定系數(shù)，當(dāng)m取1時(shí)，板達(dá)到臨界應(yīng)力，此時(shí)的失穩(wěn)撓曲面為：

(18)

式(18)完全滿足式(15)所表示的簡支約束條件。將式(18)代入式(16)可以看到，廣義剪力為零的條件可以滿足，但彎矩為零的條件卻無法滿足，也即式(18)能夠使得所有位移邊界條件得到滿足，卻不能使得自由邊界上力的邊界條件完全符合假設(shè)，但文獻(xiàn)[14]和[17]舉例說明了利用類似的基函數(shù)仍可以得到與真實(shí)結(jié)果較吻合的近似解。因?yàn)樵趯?shí)際結(jié)構(gòu)中，剪力墻頂部梁和底部基座梁通常一體澆筑，當(dāng)墻體出現(xiàn)墻面外的位移時(shí)，兩側(cè)邊端點(diǎn)處會(huì)受到來自上、下邊界的作用力，一定范圍內(nèi)會(huì)存在較小的分布彎矩，不屬于完全意義上的自由邊，所以可以將式(18)認(rèn)為是剪力墻壓曲失穩(wěn)撓曲面的近似表達(dá)式。

最后，聯(lián)立式(6)、式(7)和式(18)，并考慮到Π對A的一階偏導(dǎo)數(shù)為零，求得系數(shù)A，從而得到圖3中計(jì)算模型單位寬度上的臨界應(yīng)力為

(19)

式(19)為剪力墻發(fā)生失穩(wěn)時(shí)對應(yīng)的臨界應(yīng)力計(jì)算公式。

3 分析與討論

3.1 彈性模量和泊松比的轉(zhuǎn)換關(guān)系

正交各向異性材料沿x、y方向的彈性模量E1、E2、泊松比μ1、μ2與其主剛度之間存在一定的關(guān)系，將其與胡拜爾對正交各向異性板的主剛度的近似推導(dǎo)相比較[18]，可以得到剪力墻沿x、y方向的彈性模量E1、E2、剪切模量G和泊松比μ1、μ2與鋼筋混凝土構(gòu)件的混凝土彈性模量Ec、鋼筋彈性模量Es和泊松比μ之間存在轉(zhuǎn)換關(guān)系式(20)：

(20)

(21)

3.2 提高剪力墻穩(wěn)定性的有效措施

采用式(21)可以計(jì)算出鋼筋等間距分布的剪力墻截面的臨界應(yīng)力表達(dá)式(22)，該剪力墻截面配筋圖如圖4所示。

圖4 鋼筋等間距分布的剪力墻截面配筋圖Figure 4 Distribution reinforcement layout of shear wall

(22)

式中：d1表示端部鋼筋直徑；d2表示分布鋼筋直徑；l表示鋼筋間距；c表示混凝土保護(hù)層厚度。記式(22)中后面一項(xiàng)為B：

(23)

可以發(fā)現(xiàn)，式(23)反映出鋼筋對剪力墻穩(wěn)定性的貢獻(xiàn)。

對于剪力墻不同鋼筋間距的配筋截面計(jì)算表明，當(dāng)豎向鋼筋間距為100～200 mm，鋼筋直徑從10 mm增大到20 mm時(shí)，豎向鋼筋配筋率增加了4倍，而鋼筋對臨界應(yīng)力的影響占臨界應(yīng)力的比值從2.9%提高到19.3%，鋼筋對穩(wěn)定性的影響增大了近7倍；當(dāng)豎向鋼筋直徑為10～20 mm，豎向鋼筋間距從100 mm提高到200 mm時(shí)，豎向鋼筋配筋率降低了50%，鋼筋對臨界應(yīng)力的影響所占的比例最大從19.3%減小為10.7%，鋼筋對穩(wěn)定性的影響降低了50%。由此可以認(rèn)為，提高豎向鋼筋配筋率可以明顯提高墻體的穩(wěn)定性[19]。

采用式(21)可以計(jì)算出設(shè)置邊緣約束構(gòu)件的剪力墻截面的臨界應(yīng)力表達(dá)式(24)，其配筋圖如圖5所示。

(24)

對設(shè)置邊緣構(gòu)件的不同配筋形式的截面計(jì)算表明，縱向鋼筋間距不變，而鋼筋直徑在10～20 mm變化時(shí)，鋼筋對剪力墻臨界應(yīng)力的影響占臨界應(yīng)力的比例從4.4%提高為11.6%；若只是在10～20 mm變化鋼筋直徑，發(fā)現(xiàn)鋼筋對臨界應(yīng)力的影響比例為2%以內(nèi)。所以，邊緣構(gòu)件中縱向鋼筋配筋率對剪力墻的穩(wěn)定性影響較大，而分布鋼筋配筋率的影響較小。所以，對于設(shè)置邊緣構(gòu)件的剪力墻可以通過增加縱筋配筋率來改善其穩(wěn)定性[19]。

圖5 設(shè)置邊緣構(gòu)件的剪力墻截面配筋圖Figure 5 Reinforcement layout of shear wall with boundary columns

由式(22)和式(24)進(jìn)一步地計(jì)算表明，對于特定配筋形式的剪力墻橫截面，當(dāng)墻體厚度由120 mm變化至370 mm時(shí)，鋼筋對穩(wěn)定性的影響占整個(gè)臨界應(yīng)力的比例可由12.3%降至3.9%，可見，隨著墻體厚度的增大，雖然剪力墻的臨界應(yīng)力顯著增加，但鋼筋對臨界應(yīng)力的貢獻(xiàn)卻減小。因此，對于厚度較薄的剪力墻增大鋼筋配筋率能改善其穩(wěn)定性，而對于墻體厚度較大的剪力墻，增大鋼筋配筋率對其穩(wěn)定性影響較小[19]。

4 結(jié)論

(1)在進(jìn)行鋼筋混凝土剪力墻的穩(wěn)定性分析時(shí)，可以建立對邊簡支、對邊自由的正交各向異性矩形薄板理論模型來分析計(jì)算。

(2)分析時(shí)采用位能駐值原理，能夠得出鋼筋混凝土剪力墻合理的臨界應(yīng)力計(jì)算公式。

(3)降低剪力墻的高厚比、增加縱向鋼筋配筋率都能改善墻體的穩(wěn)定性。當(dāng)墻體較薄時(shí)，可采用提高縱向鋼筋配筋率的方法保證剪力墻的穩(wěn)定性。