模逆矩陣的求法及其應(yīng)用

翁世有

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215104)

在通信過程中，特別是在軍事、外交、商貿(mào)等領(lǐng)域，經(jīng)常要對(duì)語音、數(shù)據(jù)、圖像等信息進(jìn)行加密和解密，以保障信息的安全。矩陣及線性方程組理論作為應(yīng)用工具之一，在推廣到模算術(shù)的密碼系統(tǒng)，即由剩余系構(gòu)成的有限域中時(shí)，涉及到矩陣同余和求模逆矩陣的問題。對(duì)于該問題，文獻(xiàn)[1]研究了剩余類環(huán)上的二階可逆矩陣問題，文獻(xiàn)[2]給出了Zm上m階可逆矩陣的計(jì)數(shù)問題。本研究將給出模逆矩陣的存在條件和求法，并給出在密碼學(xué)中和求解多元未知數(shù)線性同余式組中的簡單應(yīng)用。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 模m同余

設(shè)A=(aij)m×n和B=(bij)m×n是整數(shù)矩陣，m是正整數(shù)，若

aij≡bij(modm)，1≤i≤m，1≤j≤n，

則稱A和B關(guān)于模m同余，記作A≡B(modm)。

1.2 同余性質(zhì)

命題1 設(shè)A和B都是m×n矩陣，滿足A≡B(modm)，C=(cij)n×r和D=(dij)s×m都是整數(shù)矩陣，則有AC≡BC(modm)，DA≡DB(modm) 。

該性質(zhì)可由數(shù)論同余的性質(zhì)極易證明，略去。

2 模逆矩陣

2.1 定義

設(shè)A和B都是n×n 矩陣，滿足AB≡BA≡E(modm)，其中E是單位矩陣，m是正整數(shù)，則稱B為A的模m的逆矩陣。

2.2 模逆矩陣的性質(zhì)

命題2 若B為A的模m的逆矩陣，且C≡B(mod m)，則C也是A的模m的逆矩陣。

事實(shí)上，因 C≡B(modm)，由命題1得，CA≡BA≡E(modm)，故C也是A的模m的逆矩陣；反之，若B與C都是A的模逆矩陣，由定義2，CA≡BA≡E(modm)，再由命題1可得CAC≡BAC(modm)，又AC≡E(modm)，所以C≡B(modm)。

3 模逆矩陣的求法

3.1 伴隨矩陣法

3.2 初等變換法

由此，設(shè)P1，P2，…，Ps是初等矩陣，使得P1，P2，…，PsA=E，那么P1，P2，…，PsE=A-1。

在求模逆矩陣時(shí)，應(yīng)注意倍法變換中所乘的數(shù)都是整數(shù)，逆矩陣中的元素取自模m的非負(fù)最小正剩余構(gòu)成的集合。

4 模逆矩陣的應(yīng)用

4.1 在密碼解密中的應(yīng)用

在模算術(shù)密碼系統(tǒng)中[5]，經(jīng)常由26個(gè)英文字母對(duì)應(yīng)0-25個(gè)非負(fù)整數(shù)。 設(shè)多字母密碼系統(tǒng)中，明文長度為n的數(shù)劇組為x1i，x2i，…，xni，密文中與它對(duì)應(yīng)的是長度為n 的數(shù)據(jù)組y1i，y2i，…，yni，(i=1，2 ，…，n)，則有

這n個(gè)同余式可以用同余矩陣表示為

其中X和Y都是n階方陣，其i行j列的元素分別是xij和yij，若，則得到加密矩陣為，滿足，

那么A-1(mod26)就是秘鑰。

4.2 在求解素?cái)?shù)模的多元未知數(shù)線性同余式組中的應(yīng)用

在數(shù)論中，求解多個(gè)模(兩兩互素)的線性同余式組的問題，可以用孫子定理。但是對(duì)于同一個(gè)模的同余式組，可以使用模逆矩陣或者線性方程組理論來解決。

例4求解下列三元同余式組

解：方法一(用模逆)

方法二(方程組理論)

解三個(gè)一次同余式

Dx1≡D1(mod13)，Dx2≡D2(mod13)，Dx3≡D3(mod13)，得x1≡0(mod13)，x2≡4(mod13)，x3≡11(mod13)。

5 結(jié)論

本研究介紹了模逆矩陣的定義及基本性質(zhì)，研究了模逆矩陣的存在條件，給出利用伴隨矩陣和初等變換求模逆矩陣的兩種求法，并通過例題展示了求模逆矩陣與傳統(tǒng)的求逆矩陣的差異，給出了在模算術(shù)密碼系統(tǒng)中模逆矩陣與加密鑰的關(guān)系和求解多元未知數(shù)線性同余式組中模逆矩陣的應(yīng)用。