厘清原理本質(zhì) 凸顯思考過程

張敏

【摘? ?要】“抽屜原理”安排在小學(xué)教材中的意圖是讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)證明”的過程，學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維去分析問題和解決問題。這一內(nèi)容的教學(xué)不同于一般的解決問題的教學(xué)，因此教師需對“抽屜原理”進(jìn)行深度挖掘，并了解學(xué)生的基礎(chǔ)，最后提出相應(yīng)的教學(xué)對策。

【關(guān)鍵詞】鴿巢原理;教學(xué);對策

鴿巢問題（抽屜原理）是人教版六年級下冊“數(shù)學(xué)廣角”的內(nèi)容，其最基本的模型是：若n+1只鴿子要飛進(jìn)n個鴿巢里，則總有1個鴿巢至少飛進(jìn)2只鴿子。教學(xué)中教師往往將這一內(nèi)容等同于一般的解決問題，花大量的時間分析解題方法，滿足于學(xué)生會列式解答。從“四基”的角度看，這忽視和弱化了引導(dǎo)學(xué)生對過程的體驗(yàn)和思想的感悟。

一、原理深究

教師的教學(xué)源于對鴿巢問題本質(zhì)的充分了解。因此，筆者就以下問題進(jìn)行了深入的辨析和思考。

（一）生活常識與數(shù)學(xué)原理

“原理”是在大量觀察、實(shí)踐的基礎(chǔ)上，經(jīng)過歸納、概括而得出的，反過來又指導(dǎo)實(shí)踐。抽屜原理可以進(jìn)一步表述為：假如有多于n個元素按任一確定方式分成n個集合，那么一定有一個集合中至少含有2個元素。更一般地說：把多于kn（k是正整數(shù)）個元素按任何方式分成n個集合，那么一定有一個集合中至少含有（k+1）個元素。它被廣泛而深入地運(yùn)用于現(xiàn)實(shí)生活中的解決問題，成為人們的常識。

（二）構(gòu)造性與存在性

鴿巢問題的核心是解決存在性問題，即“一定沒有意外”地存在一個鴿巢滿足要求，但不能確定究竟是在哪個鴿巢里，也只知道某個鴿巢里至少有2只鴿子，卻不能確定究竟是多少只。只要能論證它的存在“一定沒有意外”即可。而一般的解決問題，往往可以通過一定的方法求出具體的解，也即“構(gòu)造”出確定的結(jié)果。比如“雞兔同籠問題”，最后總能求出雞和兔分別有幾只。像這樣要確定存在性的命題是首次出現(xiàn)，因此對學(xué)生來說具有較大的挑戰(zhàn)性。

（三）窮舉檢驗(yàn)與邏輯論證

張奠宙教授認(rèn)為“學(xué)習(xí)抽屜原理的意義在于丟開窮舉檢驗(yàn)，訴諸邏輯論證”。列舉法與其說是一種解題策略，不如說是一種數(shù)學(xué)活動更為合適，有時要做到“不重復(fù)不遺漏”列舉所有情況并非易事，此時邏輯推理反而比窮舉更容易理解。因此本節(jié)課要適當(dāng)?shù)F舉檢驗(yàn)，突出“邏輯推理”。

二、學(xué)情分析

為了探明學(xué)生學(xué)習(xí)時可能存在的問題，筆者就教材例1“把4支鉛筆放進(jìn)3個筆筒中，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有2支鉛筆。為什么？”的問題隨機(jī)調(diào)查了幾位六年級的學(xué)生。學(xué)生直覺上都認(rèn)為結(jié)論是正確的，但無法清楚地闡述原因。其中有一位學(xué)生舉例（1，1，2）的情況，筆者追問還有其他情況嗎？學(xué)生無法自圓其說。究其原因，主要有以下幾點(diǎn)。

（一）抽象的語言和理解的偏差

學(xué)生之所以能想到（1，1，2），是將題目中的“分”直接等同于“均分”。這主要是基于他們平時接觸的數(shù)學(xué)問題中，凡是涉及分物的，大多是“均分”?！翱傆幸粋€鴿巢中至少飛進(jìn)2只鴿子”這一表述，每個詞語都有豐富準(zhǔn)確的含義?！翱傆小苯沂镜氖谴嬖谛裕爸辽佟笨梢岳斫鉃椤白疃嘀械淖钌佟?。要讓學(xué)生真正理解這兩個詞語的含義，需要教師的智慧進(jìn)行引導(dǎo)。

（二）獨(dú)特的方法和思維的局限

學(xué)生的慣性思維是將問題與答案一一對應(yīng)，用到的是算術(shù)知識、幾何知識和簡單的代數(shù)知識。而鴿巢原理闡述了“不確定中的確定”，無論是原理的敘述還是證明，都無須明確找出這個鴿巢，也無須深究這個鴿巢里到底有多少只鴿子。只須確認(rèn)結(jié)果“一定存在”即可。面對這樣一個“開放”度很大的問題，勢必需要尋求異于常規(guī)的方法。思考的過程既離不開一般的思維方法，還需要敏銳的數(shù)學(xué)直覺、全局的洞察力和獨(dú)特的構(gòu)思。

（三）應(yīng)用的復(fù)雜和對應(yīng)的障礙

鴿巢原理有諸多變式，最難的是找到相對應(yīng)的要素——鴿與巢。教材練習(xí)十三中的第6題，絕大多數(shù)學(xué)生感到無從下手，因?yàn)樗麄儫o法找到這一實(shí)際問題與鴿巢原理模型之間的聯(lián)系。要解決這個問題先要明確什么相當(dāng)于鴿子，什么相當(dāng)于鴿巢。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生深刻領(lǐng)悟其中的模型對應(yīng)，方能做到靈活運(yùn)用。

三、教學(xué)對策

（一）游戲情境，初探本質(zhì)

教師出示游戲規(guī)則，組織全班學(xué)生進(jìn)行游戲。

游戲規(guī)則：

1.五人一組，每組一副撲克牌（已經(jīng)抽掉了大、小王），組員輪流抽取，看是否至少有2張牌是同一種花色的。

2.每人每次抽1張，組長做好記錄。

3.五分鐘時間，能玩幾輪就玩幾輪。

教師展示其中一組的數(shù)據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生對照自己組的結(jié)果進(jìn)行深入思考。在這個過程中學(xué)生感知到了事件出現(xiàn)的隨機(jī)性和結(jié)果發(fā)生的必然性，對“總有”和“至少”有了初步的理解。

（二）動手操作，理解模型

1.出示問題：5只鴿子飛進(jìn)4個鴿巢，一定存在某一個鴿巢至少飛進(jìn)2只鴿子的情況。這是為什么呢？引導(dǎo)學(xué)生用學(xué)具動手操作。

2.反饋交流：學(xué)生想到的基本都是（2，1，1，1）的情況。此時教師追問：“每個鴿巢一定要有鴿子嗎？”“最后一只鴿子可能會飛到哪個鴿巢？”“面對那么多種可能，你打算怎么記錄？”“這些方法有什么共同點(diǎn)？”并結(jié)合多次移動最后一只鴿子這一動作，幫助學(xué)生經(jīng)歷探索過程。

3.枚舉檢驗(yàn)：引導(dǎo)學(xué)生思考除了（2，2，1，0），還有可能出現(xiàn)哪些情況？從而枚舉出所有可能，發(fā)現(xiàn)不管怎么飛，總有一個巢里至少飛進(jìn)2只鴿子。

4.溝通聯(lián)系：鴿巢問題中，什么是確定的？什么是不確定的？和撲克牌游戲有什么相同之處？

5.變式練習(xí)：如果撤掉一個鴿巢，有5只鴿子飛進(jìn)3個鴿巢，總有一個巢里至少飛進(jìn)幾只鴿子？同桌合作繼續(xù)用學(xué)具進(jìn)行探索。

（三）逐步變化，練習(xí)鞏固

1.出示問題：把11本作業(yè)本放進(jìn)5個抽屜，不管怎么放，一定存在某一個抽屜里至少有3本的情況。這是為什么呢？請用算式表達(dá)你的推理過程，并畫示意圖進(jìn)行解釋。

2.總結(jié)規(guī)律：如果有14本作業(yè)本會怎樣呢？15本、16本作業(yè)本呢？引導(dǎo)學(xué)生觀察上述算式和結(jié)論，從而總結(jié)規(guī)律。

（四）鏈接生活，運(yùn)用模型

1.自主舉例：生活中有哪些問題可以用鴿巢原理去解釋？從而感受鴿巢原理的普適性。

2.運(yùn)用模型：我們班一共有45名同學(xué)，你能得出什么結(jié)論？學(xué)生展開聯(lián)想：將全班45名學(xué)生看作“鴿”，將學(xué)生的性別、屬相、出生月份等看作“巢”，從而得出相應(yīng)的結(jié)論。

“教學(xué)對于學(xué)生的學(xué)習(xí)與發(fā)展價值不在于結(jié)果之中，而在于過程之中。”以上教學(xué)通過四次操作，多種方法結(jié)合，有效解決了教學(xué)難點(diǎn)，培養(yǎng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]黃敏晃.從鴿巢原理談起[J].小學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)版，2010（09）.

[2]楊建斌.走進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的“抽屜原理”[J].小學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)版，2014（10）.

[3]鄭毓信.從“一一列舉”到“抽屜原理”[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2015（03）.

（浙江省溫嶺市澤國小學(xué)? ? 317523）