多元表征，完善認(rèn)知

沈勤

【摘? ?要】乘法分配律是教學(xué)難點(diǎn)之一，為了突破這個教學(xué)難點(diǎn)，需了解學(xué)生在運(yùn)用乘法分配律中存在的“共性錯誤”，有針對性地對“乘法分配律”一課進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)改造。教師可借助圖文，通過經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、經(jīng)驗(yàn)喚醒、遷移引申、拓展應(yīng)用等多元表征，完善學(xué)生對乘法分配律的理解和運(yùn)用。

【關(guān)鍵詞】乘法分配律;對策;教學(xué)

學(xué)生在運(yùn)用乘法分配律的過程中總是錯誤百出，筆者對六年級某班46名學(xué)生在總復(fù)習(xí)時(shí)用乘法分配律計(jì)算中出現(xiàn)的問題進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)（排除純粹計(jì)算錯誤的情況），具體情況見表1。

表1? ?學(xué)生運(yùn)用乘法分配律錯誤情況統(tǒng)計(jì)

[典型題目 錯誤運(yùn)用及非合理方法 人數(shù) 占% ①2.5×（0.4×8） （2.5×0.4）×（2.5×8） 9 19.57 ②[（313+117]）[×13×17] [（51221+13221）×13×17] 6 13.04 [313×13+117×17] 24 52.17 ③ [724÷（712+78）] [724×127+724×87] 19 41.30 ④計(jì)算面積：

無從下手 3 6.52 面積周長混淆（9+19）×21 4 8.70 21×9+19×9=189+171=360（平方米） 30 65.22 ]

統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：六年級學(xué)生對于乘法分配律的理解與運(yùn)用能力總體水平不高。

表1中第1題的錯誤說明由于結(jié)合律與分配律在形式上相似，部分學(xué)生對兩者的結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識不到位，容易形成知覺上的錯誤，混淆了兩者的區(qū)別。

表1中的第4題，學(xué)生關(guān)注更多的是“怎樣求面積”，而缺少對算式中數(shù)據(jù)特征的觀察，很多學(xué)生按“先分別乘，再求和”的運(yùn)算順序進(jìn)行復(fù)雜計(jì)算。

表1中第2題、第3題的錯誤表明，學(xué)生對乘法運(yùn)算律的理解存在形與意的脫節(jié)，只停留在表面、形式上。

怎樣才能讓學(xué)生真正從模仿走向理解？筆者通過多元策略對人教版四年級下冊“乘法分配律”一課進(jìn)行教學(xué)，加強(qiáng)了學(xué)生對乘法分配律的理解和運(yùn)用。

一、圖文結(jié)合，使結(jié)構(gòu)特征可視

教材主題圖呈現(xiàn)了這樣的信息：“一共有25個小組，每組4人負(fù)責(zé)挖坑、種樹，2人負(fù)責(zé)抬水、澆樹。一共有多少名同學(xué)參加了這次植樹活動？”在用兩種方法解決的基礎(chǔ)上抽取出等式“（4+2）×25=4×25+2×25”。這樣的單一情境，單一形式，難以讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)乘法分配律的結(jié)構(gòu)特征。筆者設(shè)計(jì)了“圖文結(jié)合”的情境，有助于學(xué)生運(yùn)用多元可視化表征理解乘法分配律的結(jié)構(gòu)特征。

在一個長方形花圃里栽了郁金香和玫瑰花（如下圖）：

（1）這個花圃一共占地多少平方米？

（2）如果在這個長方形花圃外圍圍上柵欄，柵欄至少需要多少米？

（動態(tài)演示，標(biāo)出長方形的長60米，寬15米）

結(jié)合圖形，學(xué)生發(fā)現(xiàn)每一個問題都有兩種解題思路，分別是面積：[36×15+24×15或（36+24）×15];周長：[60×2+15×2或（60+15）×2]，一種方法是“先求和，再相乘”，另一種方法是“先分別乘，再求和”，將學(xué)生的視線引向?qū)Y(jié)構(gòu)的觀察。

學(xué)生對乘法分配律結(jié)構(gòu)特征的感悟需要更多的學(xué)習(xí)材料“造勢”。教師可引導(dǎo)學(xué)生舉例，用相同結(jié)構(gòu)算式解決實(shí)際問題，根據(jù)學(xué)生的舉例利用“式”與“圖”相結(jié)合的形式幫助學(xué)生理解，從而鞏固對兩種結(jié)構(gòu)的認(rèn)識。

學(xué)生對這兩種結(jié)構(gòu)充分認(rèn)識后，教師可讓學(xué)生用方框分別表示出兩種算式的結(jié)構(gòu)特征，得出：[□+□×○和□×○+□×○]，建立乘法分配律的結(jié)構(gòu)模型。

二、經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)，使數(shù)據(jù)特征凸顯

計(jì)算要根據(jù)算式和數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，靈活處理運(yùn)算順序，這一環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了探究化的“經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)”活動。

小組討論：是不是只要具備了（□+□）×[○]，□×[○]+□×[○]結(jié)構(gòu)特征的兩個算式就一定相等？舉例驗(yàn)證。

學(xué)生在清晰結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上進(jìn)行探究、驗(yàn)證，教師巧妙地引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)據(jù)特征展開探究（見下圖），有利于學(xué)生對乘法分配律的理解與掌握。

學(xué)生通過研究發(fā)現(xiàn)只有具備這樣的結(jié)構(gòu)特征，同時(shí)又具備這樣的數(shù)據(jù)特征，兩個算式才是相等的。讓學(xué)生根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，用算式或字母表示出來（見右圖），引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷不完全歸納法概括運(yùn)算定律的過程。

在學(xué)習(xí)乘法分配律時(shí)還要重視簡便計(jì)算意識的滲透。教學(xué)中，教師要對兩種解題思路進(jìn)行比較，如36×15+24×15與（36+24）×15，讓學(xué)生去辨別哪一個算式計(jì)算比較簡便，滲透湊整可使計(jì)算簡便的思想。

三、經(jīng)驗(yàn)喚醒，使定律意義明晰

如果我們的教學(xué)就到抽象出運(yùn)算定律這一步，學(xué)生往往會將形式與意義割裂。因此，在學(xué)生探索規(guī)律后，教師可追問：這樣的現(xiàn)象是巧合還是客觀存在的？

（一）從“單一”走向“豐富”

讓學(xué)生從筆算乘法的算理中，理解定律的運(yùn)用。

你能在下圖中找到乘法分配律嗎？

人教版三上《兩位數(shù)乘一位數(shù)口算》? ? 人教版三下《兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算》

教師通過讓學(xué)生在“口算12×3”“筆算14×12”中尋找應(yīng)用乘法分配律的過程，引導(dǎo)學(xué)生解釋這樣計(jì)算的合理性。

再引導(dǎo)學(xué)生借助幾何直觀，進(jìn)一步體會到發(fā)現(xiàn)的定律是客觀現(xiàn)實(shí)規(guī)律。

人教版三上《長方形的周長》

學(xué)生根據(jù)原有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過辨析對比，豐富對乘法分配律的理解。

（二）從“形”走向“意”

學(xué)生只建立乘法分配律結(jié)構(gòu)的圖式（□+□）×○=□×○+□×○是不夠的，還需要真正理解這個結(jié)構(gòu)的意義。因此可以設(shè)計(jì)這樣一個問題：你能解釋為什么“7×5+3×5=（7+3）×5”嗎？引導(dǎo)學(xué)生從乘法意義的角度解釋乘法分配律的結(jié)構(gòu)，使學(xué)生在交流互動的過程中完善對乘法分配律的認(rèn)知，從“形”走向“意”，達(dá)到形意合一。

（三）從“淺顯”走向“深層”

通過辨別讓學(xué)生進(jìn)一步明晰乘法分配律的意義。教學(xué)中，可設(shè)計(jì)這樣一個判斷練習(xí)：

下面的算式哪些運(yùn)用了乘法分配律？

對學(xué)生出現(xiàn)的典型錯誤，教師要引導(dǎo)其進(jìn)行深入討論，使其對乘法分配律含義的理解從淺顯走向深層。

四、遷移引申，使定律應(yīng)用拓展

乘法分配律有許多的變式應(yīng)用，教師要幫助學(xué)生找到這些應(yīng)用與基本結(jié)構(gòu)的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生由此及彼的推理能力。

從兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘遷移引申到兩個數(shù)的差與一個數(shù)相乘。

種郁金香的面積比種玫瑰花的面積大多少平方米？請?jiān)趫D上表示出大的面積部分，并列式計(jì)算。思考：你想到了什么？

鑒定有沒有乘法對乘法的分配。

這三組對比練習(xí)，你認(rèn)為哪兩個算式的結(jié)果是相等的，為什么？

25×（4×3）? ?25×4+25×3

25×（4×3）? （25×4）×（25×3）

25×（4×3）? （25×4）×3

為了更好地理解乘法分配律，有必要讓學(xué)生對原有的運(yùn)算定律進(jìn)行溝通與比較。乘法結(jié)合律和乘法分配律非常相似，學(xué)生容易混淆，是學(xué)生學(xué)習(xí)中的易錯點(diǎn)，通過對比鑒定，幫助學(xué)生感知兩者結(jié)構(gòu)的不同。

從兩數(shù)之和（差）與一個數(shù)相乘拓展到三個數(shù)、四個數(shù)……之和（差）與一個數(shù)相乘。

如果這塊地在原來種郁金香和玫瑰花的基礎(chǔ)上又開發(fā)了一塊長40米，寬15米的地種向日葵。請?jiān)趫D上表示出拓寬的面積。列式計(jì)算。思考：你想到了什么？

讓學(xué)生通過對實(shí)例的觀察分析，歸納概括出乘法分配律的一般運(yùn)算規(guī)律，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

參考文獻(xiàn)：

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（浙江省平湖市乍浦天妃小學(xué)? ?314201）