讓策略中蘊含的數(shù)學(xué)思想“凸”出來

徐宏臻 陸兆芬

【摘? ?要】將策略中蘊含的數(shù)學(xué)思想充分地“凸”出來，并讓學(xué)生真切地感悟到的關(guān)鍵是做實、做足和做好過程。教師首先要認(rèn)識到數(shù)學(xué)思想的價值。其次，要找到策略中隱含的最主要的數(shù)學(xué)思想。再次，要設(shè)計精當(dāng)?shù)慕虒W(xué)活動，讓學(xué)生充分經(jīng)歷策略“誕生”的過程，并通過回顧、反思和交流等，讓數(shù)學(xué)思想“凸”出來。最后，要在不斷地運用中強化體驗，深化認(rèn)識，從而以數(shù)學(xué)思想的教學(xué)帶動數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)。

【關(guān)鍵詞】尋找思想;經(jīng)歷過程;感悟思想

“解決問題的策略”的設(shè)置是蘇教版教材編寫的一大特色，教材從三年級開始，一直到六年級，每冊都單獨編排一個單元，專門教學(xué)“解決問題的策略”。一般說來，策略是指計策和謀略，“解決問題的策略”介于數(shù)學(xué)思想和具體方法之間，它比具體方法上位些，是數(shù)學(xué)思想在解決問題時的具體運用。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》重視數(shù)學(xué)思想的滲透，指出數(shù)學(xué)思想“蘊含在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象與概括”。相比而言，策略和方法比較顯見，而策略中蘊含的數(shù)學(xué)思想?yún)s是隱蔽的，不易被學(xué)生察覺，為此，需要教師透過現(xiàn)象看本質(zhì)，揭開數(shù)學(xué)思想的面紗，設(shè)計適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)設(shè)計和必要的數(shù)學(xué)活動，讓數(shù)學(xué)思想“凸”出來，并被學(xué)生感悟到。

如何讓策略中蘊含的數(shù)學(xué)思想充分地“凸”出來，并讓學(xué)生真切地感悟到呢？筆者認(rèn)為，關(guān)鍵是要做實、做足和做好過程，讓學(xué)生在過程中逐步體驗數(shù)學(xué)思想。教師首先要認(rèn)識到：教學(xué)不僅是教策略，而且是教數(shù)學(xué)思想。其次，要找到策略中隱含的最主要的數(shù)學(xué)思想。再次，要設(shè)計精當(dāng)?shù)慕虒W(xué)活動，讓學(xué)生充分經(jīng)歷策略形成的過程，并通過必要的回顧、反思和交流等，讓數(shù)學(xué)思想“凸”出來。最后，還要在不斷地運用中強化體驗，深化認(rèn)識，讓學(xué)生形成運用的意識和能力?，F(xiàn)以蘇教版四年級上冊“列表的策略”教學(xué)為例，談?wù)劰P者在這方面的一些想法和做法。

列表的策略中蘊含的最主要的數(shù)學(xué)思想是分類和對應(yīng)的思想，即分門別類地整理信息，以便快速地解決問題。教材中的例1如下圖所示。

例題已把三種樹按樹名、每種樹栽的行數(shù)和每行栽的棵數(shù)分別進行了有序的整理，并按同樣的順序一一出示，整齊且簡潔，還配圖示意。筆者認(rèn)為，教材這樣處理，明顯有較多的人為加工的痕跡，這不利于學(xué)生產(chǎn)生強烈的整理信息的需要，也不利于學(xué)生親自經(jīng)歷列表整理信息的過程，學(xué)生難以學(xué)到列表整理信息的方法，難以感受到列表的價值，更難以體悟到其中蘊含的數(shù)學(xué)思想，使例題的教育價值打了折扣。為此，筆者改進如下。

一、充分經(jīng)歷形成的過程

筆者先把三種果樹的樹名、每種樹栽的行數(shù)和每行栽的棵數(shù)隨意地排列，并用七個活動板塊呈現(xiàn)在黑板上，如小芳家栽了4行梨樹，8行杏樹，3行桃樹，梨樹每行5棵，桃樹每行7棵，杏樹每行6棵。桃樹和梨樹一共有多少棵？筆者讓學(xué)生看題后直接解答，并一一展示列式和結(jié)果。學(xué)生驚訝地發(fā)現(xiàn)，列式和結(jié)果互不相同，不禁迷惑起來。這時，筆者讓學(xué)生說說做題后的體會。學(xué)生普遍感到：信息太多，太亂，沒有條理，叫人眼花繚亂，需要整理一下。筆者順勢引導(dǎo)學(xué)生：那怎樣整理才算有條理呢？學(xué)生認(rèn)為，應(yīng)該把桃樹歸桃樹放在一起，杏樹歸杏樹放在一起，梨樹歸梨樹放在一起。于是，筆者讓學(xué)生上臺自主移動板塊進行整理，學(xué)生歸類整理為：小芳家栽了3行桃樹，桃樹每行7棵，杏樹每行6棵，8行杏樹，4行梨樹，梨樹每行5棵。桃樹和梨樹一共有多少棵？筆者問學(xué)生：現(xiàn)在歸類了，你覺得怎樣？學(xué)生說：比過去清楚多了，但還是有點亂，因為桃樹是先出現(xiàn)行數(shù)，再出現(xiàn)每行的棵數(shù)，而杏樹是先出現(xiàn)每行的棵數(shù)，再出現(xiàn)行數(shù)，梨樹又是先出現(xiàn)行數(shù)，再出現(xiàn)每行的棵數(shù)，順序不一致。筆者順勢問學(xué)生：那怎么調(diào)整才更有條理、更清楚呢？學(xué)生認(rèn)為，要統(tǒng)一。要么先出現(xiàn)每種樹的行數(shù)，再出現(xiàn)這種樹每行的棵數(shù);要么先出現(xiàn)每種樹每行的棵數(shù)，再出現(xiàn)這種樹的行數(shù)。在分類的基礎(chǔ)上，學(xué)生已經(jīng)萌發(fā)了有序和對應(yīng)的思想。于是，筆者讓學(xué)生繼續(xù)移動板塊，學(xué)生整理為：小芳家栽了3行桃樹，桃樹每行7棵，8行杏樹，杏樹每行6棵，4行梨樹，梨樹每行5棵。桃樹和梨樹一共有多少棵？但也有學(xué)生反對說：問題是求桃樹和梨樹一共有多少棵，與杏樹無關(guān)，應(yīng)該把有關(guān)杏樹的信息去掉。學(xué)生最終整理為：小芳家栽了3行桃樹，桃樹每行7棵，4行梨樹，梨樹每行5棵。桃樹和梨樹一共有多少棵？這時，筆者再問學(xué)生有何感受，學(xué)生說：有條理多了，簡潔多了，清楚多了。但仍有學(xué)生反對說：文字還是多了，不能讓人一目了然，還可以進一步簡化。于是，筆者放手讓學(xué)生進一步整理，結(jié)果如下。

有的學(xué)生認(rèn)為，上表還可以繼續(xù)簡化，可以把“桃樹”“梨樹”這一列單獨合并為一列，叫“樹名”;把“3行”“4行”單獨合并為一列，叫“行數(shù)”;把“每行7棵”“每行5棵”單獨合并為一列，叫“每行棵樹”，于是整理成右表。

這時，筆者再讓學(xué)生談感受。學(xué)生認(rèn)為，用表格收集和整理信息更簡潔、更有條理，也更清楚，便于解決問題，可以直接看表分別求出桃樹和梨樹的總棵數(shù)，且不容易混淆和出錯。當(dāng)然，也有少數(shù)學(xué)生用畫圖的策略整理信息，同樣也體現(xiàn)了分類和對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想（略）。

筆者先呈現(xiàn)雜亂的信息板塊和各種列式，以引發(fā)學(xué)生的思維沖突，激發(fā)其產(chǎn)生強烈的整理信息的需要，再引導(dǎo)學(xué)生自主地整理信息，充分經(jīng)歷列表整理信息的過程，逐步從無序到有序，從不對應(yīng)到對應(yīng)，從文字到列表，由繁到簡，從而讓分類和對應(yīng)等數(shù)學(xué)思想一步步地“凸”出來，并愈加清晰，被學(xué)生鮮明地感悟到。這樣，學(xué)生就容易學(xué)到整理信息的具體方法，他們對表格的結(jié)構(gòu)和含義了然于胸，也容易感悟到其中蘊含的數(shù)學(xué)思想。

二、不斷感悟其中的思想

（一）在對比中感悟

為了進一步凸顯列表的價值，筆者引導(dǎo)學(xué)生看表說含義，并與原來的文字進行比較。學(xué)生認(rèn)為表格更簡單、更清楚，一目了然。筆者追問：你認(rèn)為，列表時要注意什么？學(xué)生認(rèn)為，要把同類的放在一起，且要注意放的順序，統(tǒng)一起來，這樣才更清楚。通過回顧、反思、比較和交流，策略中蘊含的數(shù)學(xué)思想“凸”出來了，并被學(xué)生初步體驗到。學(xué)生在以后整理信息時，也會自覺地進行分類，并注意對應(yīng)，講究順序，從而提升整理信息和解決問題的能力。

（二）在解題中感悟

在此基礎(chǔ)上，筆者讓學(xué)生自主解決所求的問題，學(xué)生很快就解答出來了。有的學(xué)生分步列式計算，并說明了理由：先分別算出桃樹和梨樹各有多少棵，再相加。還有學(xué)生列出了綜合算式：7×3+5×4。雖然他們還未學(xué)過四個數(shù)的混合運算，但根據(jù)事理和題中的數(shù)量關(guān)系，他們認(rèn)為應(yīng)分別先算兩個乘法，再把兩個積相加。學(xué)生或運用綜合法，或運用分析法順利地解決了問題。筆者問：在解決這個問題時，你們是選擇看文字，還是選擇看表格？學(xué)生一致認(rèn)為是看表格，這樣更簡單、方便和快捷。他們在解決問題的過程中，切實體會到分類和對應(yīng)給解決問題帶來的好處，開始喜歡此策略。筆者再讓學(xué)生看課始板書的各種列式和結(jié)果，學(xué)生不禁笑了，說：不列表整理信息，真容易張冠李戴，錯誤百出。這樣就進一步增強了學(xué)生對這一策略的體驗，促使其更自覺地用此策略去整理信息，從而快捷地解決問題。

（三）在檢驗中感悟

檢驗是解決問題的一個重要步驟，也是必不可少的一個教學(xué)環(huán)節(jié)。它可以培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣和學(xué)習(xí)品質(zhì)。為此，教師必須切實重視檢驗習(xí)慣的培養(yǎng)，讓學(xué)生對解題結(jié)果負(fù)責(zé)。筆者引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)表格進行檢驗，即把表中的某個條件和原來所求的問題互換，看能否由此及彼。如果能夠相互推算出來，就證明原來的結(jié)果是正確的，否則就錯了。學(xué)生依據(jù)表格探索出多種不同的檢驗方法，并感到借助表格進行檢驗簡單、快捷，從而更加喜歡列表策略。

（四）在運用中感悟

運用能增強學(xué)生對策略的體驗，能深化其對策略的理解，形成策略意識和運用能力。為此，必須高度重視策略的運用。筆者從基本應(yīng)用開始，如讓學(xué)生列表整理課始呈現(xiàn)的信息，從而求出杏樹比梨樹多多少棵;到綜合應(yīng)用，如出示“練一練”中的第1題，讓學(xué)生先根據(jù)問題自主整理信息，再解答;再到靈活運用，如直接摘錄“練一練”中第2題的關(guān)鍵信息，從而整理為：2件→270元，3件→180元。

最后到根據(jù)所求的問題，直接用分類和對應(yīng)的思想在題中收集和整理信息，從而快速地解決問題。

這樣，就讓學(xué)生拾級而上，不斷攀升，淡化了外在形式，強化了分類和對應(yīng)的思想，使策略中隱含的數(shù)學(xué)思想愈加凸顯，并被學(xué)生清晰地、強烈地感悟到，學(xué)生也容易學(xué)習(xí)和運用。

（五）在回顧中感悟

為了進一步凸顯分類和對應(yīng)這些數(shù)學(xué)思想，筆者還有意進行拓展，引導(dǎo)學(xué)生回顧已學(xué)過的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖，如下圖（蘇教版四年級上冊第40頁的內(nèi)容），具體感受其中蘊含的數(shù)學(xué)思想。如看圖中的統(tǒng)計表，具體說說每行和每列的含義，從而感悟分類和對應(yīng)等數(shù)學(xué)思想;再看圖中的統(tǒng)計圖，具體說說橫軸和縱軸的含義，以及每個直條的含義，從而體會分類和對應(yīng)等數(shù)學(xué)思想，感受數(shù)學(xué)思想的價值，從而增強學(xué)生自覺運用數(shù)學(xué)思想的意識。這樣設(shè)計就能讓策略中蘊含的數(shù)學(xué)思想不斷地、充分地“凸”出來，并逐步根植于學(xué)生內(nèi)心。

（六）在選擇中感悟

整理信息的策略不止一種，還有其他的方式，教師在具體運用某一策略時，不能顧此失彼，或厚此薄彼，要做到既突出重點，又適當(dāng)兼顧。為此，筆者在課尾特意設(shè)計了一題：姐弟倆共有60張畫片。姐姐給弟弟5張后，兩人就同樣多。姐弟倆原來各有多少張畫片？讓學(xué)生思考：你打算如何整理這題的信息？學(xué)生感到這里用列表的策略好像不太適宜，需要改用其他策略，如畫圖等?？梢?，這一做法使學(xué)生對列表策略有了更全面、更深刻的認(rèn)識，學(xué)會辯證地看待策略，審慎地選用策略，提高了靈活運用策略整理信息和解決問題的能力。

由此想到，在教學(xué)“解決問題的策略”時，教師務(wù)必注重揭示策略中蘊含的數(shù)學(xué)思想，重視過程質(zhì)量，要設(shè)法讓策略中蘊含的數(shù)學(xué)思想充分地“凸”出來，并被學(xué)生鮮明地感悟到，從而以數(shù)學(xué)思想的教學(xué)帶動數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，為提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)服務(wù)。

（江蘇省高郵實驗小學(xué)? ?225600）