“解決問題”教學(xué)中“回顧與反思”的10個視角

田小勤

【摘? ?要】“解決問題”教學(xué)強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷“閱讀與理解、分析與解答、回顧與反思”的全過程。其中，“回顧與反思”是數(shù)學(xué)解決問題的重要過程。聚焦“回顧與反思”，簡單闡述“回顧與反思”的教學(xué)價值及人教版教材關(guān)于“回顧與反思”的具體編排，并從“回顧檢驗”“反思梳理”“比較溝通”“質(zhì)疑創(chuàng)新”四個思維水平層級提出“回顧與反思”的10個視角，有助于教師認(rèn)識“回顧與反思”的重要性，充分發(fā)揮“回顧與反思”的教學(xué)價值。

【關(guān)鍵詞】回顧與反思;教學(xué)價值;反思視角

人教版教材給出了“解決問題”的一般步驟，即閱讀與理解、分析與解答、回顧與反思，為一線教師提供了基本教學(xué)路徑。但在實際教學(xué)中，還是存在各種困難與誤區(qū)，如若干學(xué)生簡單地把“回顧與反思”等同于“驗算”，只關(guān)注計算結(jié)果是否正確;根深蒂固地認(rèn)為“得到答案就是解決問題的結(jié)束”。通過訪談，教師普遍反映，學(xué)生在練習(xí)中不愿檢驗，作業(yè)也難以呈現(xiàn)“回顧與反思”的過程，教師無法進(jìn)行監(jiān)控與評價……因此，“回顧與反思”到底要做什么？它的價值何在？該如何定位？“回顧與反思”有哪些視角？這些問題都值得深思。

一、“回顧與反思”的教學(xué)價值

數(shù)學(xué)家波利亞認(rèn)為，數(shù)學(xué)解題分為理解問題、擬訂計劃、實現(xiàn)計劃、回顧與檢驗四個步驟，又對“檢驗回顧”提出多個視角：你能擬訂其他解題方案嗎？你能利用它嗎？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？你能找到什么方法檢驗?zāi)愕慕Y(jié)果嗎？曹飛羽先生把解答“應(yīng)用題”的過程分為條件和問題的收集、分析數(shù)量關(guān)系、擬訂解答計劃、解答、檢驗與評價;蔡金法教授也指出：當(dāng)學(xué)生解答了一個問題后，還要尋求不同的解答方法，提出新的問題和作出推廣;單樽老師的“12條解題要訣”最后一條就是“注意總結(jié)”。他們都無一例外地強(qiáng)調(diào)了“回顧與反思”的重要性。

小學(xué)數(shù)學(xué)“解決問題”中“回顧與反思”的教學(xué)價值是：回顧完整解決問題的過程，重新斟酌、審查結(jié)果及獲得結(jié)果的過程，培養(yǎng)學(xué)生自覺回顧、主動反思的習(xí)慣;深化對所應(yīng)用方法策略的理解，促進(jìn)學(xué)生形成解決問題更一般層面的思路;優(yōu)化個體解決問題的經(jīng)驗結(jié)構(gòu)，促進(jìn)經(jīng)驗的遷移應(yīng)用;提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力。

二、人教版教材關(guān)于“回顧與反思”的編排

人教版新修訂教材共編排“解決問題”新授課81課時，筆者逐一分析每一個例題的“回顧與反思”，并進(jìn)行整理分類，具體情況如下表。

三、“回顧與反思”的10個視角

通過上述教材梳理及課堂教學(xué)實踐研究，筆者從四個思維水平層級提出“回顧與反思”的10個視角。

（一）回顧檢驗，關(guān)注過程與結(jié)果的合理與正確

回顧檢驗主要對整個解題過程進(jìn)行“元認(rèn)知”評價，關(guān)注解答過程是否正確，結(jié)果是否合理，具體包括下面3個視角。

（1）解決問題的思路對不對？在以往的教學(xué)中也重視檢驗，但更多地強(qiáng)調(diào)“計算結(jié)果是否正確”，只停留在“驗算”這樣的初級層面。其實檢驗更要“回過頭去”，重新審視整個解題過程的“元認(rèn)知”。如人教版二年級下冊《混合運(yùn)算》單元的解決問題“剩下的面包還要烤幾次”，是整套教材中第一次編排的典型復(fù)合問題，需要分析數(shù)量關(guān)系，提出中間問題。在回顧中，進(jìn)一步明確解決問題的思路，可以是“剩下的面包數(shù)÷每次烤的面包數(shù)=剩下的次數(shù)”，或者是“一共要烤的次數(shù)-已經(jīng)烤的次數(shù)=還剩的次數(shù)”，根據(jù)數(shù)量關(guān)系可以形成“先算……再算……”的解決問題思路。

（2） 算式是否正確？當(dāng)確定解決問題思路正確的前提下，進(jìn)一步關(guān)注算式是否完全與思路相匹配。需要重新思考每個算式表示的意義，是否已經(jīng)解決了最終的問題。這個環(huán)節(jié)，還有必要檢查所用的數(shù)據(jù)是否準(zhǔn)確。

（3）結(jié)果是否合理正確？首先要判斷結(jié)論是否合理，“合理”指既要符合生活常識，還要符合題意。比如人教版五年級下冊《分?jǐn)?shù)的加法和減法》單元中的“喝牛奶”問題，題意是“一杯牛奶，第一次喝了半杯，加滿水，又喝了半杯，求一共喝了多少杯牛奶”。通過題意理解可以把握“一共喝的牛奶比半杯多，但比一杯少”。當(dāng)學(xué)生算得的結(jié)果是“一杯半”或“一杯”時，只要有反思的意識，很快就能覺察結(jié)論的不合理性。其次，要關(guān)注結(jié)論的正確性。除了針對計算結(jié)果“驗算”以外，還需要用“代入”法進(jìn)行檢驗。所謂“代入”法即把算得的結(jié)果當(dāng)作已知信息，回到原題，根據(jù)信息之間的關(guān)系，求得某一結(jié)論，如果與題中的相關(guān)信息正好相符，說明結(jié)論是正確的。筆者梳理了人教版教材中所有“解決問題”例題的“回顧與反思”，其中有22個是指向“代入檢驗”法的，需要教師從一年級起就關(guān)注“代入檢驗”的教學(xué)，使其成為學(xué)生檢驗的基本方法。

（二）反思梳理，優(yōu)化“解決問題”的經(jīng)驗結(jié)構(gòu)

反思梳理主要關(guān)注解決問題中的方法與策略，優(yōu)化解決問題的經(jīng)驗結(jié)構(gòu)，具體包括3個視角。

（1）遇到什么困難，有什么啟示？正如波利亞所說：“當(dāng)完成了任務(wù)，他的體驗在頭腦中還是新鮮的時候，去回顧他所做的一切，有利于探究剛才克服困難的實質(zhì)，可以對自己提出許多問題：關(guān)鍵在哪里？重要的困難是什么？什么地方可以完成得更好些？為什么沒有覺察到這一點(diǎn)？有沒有值得學(xué)習(xí)的訣竅可供下次應(yīng)用?！北热缟鲜龅摹昂扰Ｄ獭眴栴}，學(xué)生在反思中談到最大的困難是“第一次喝了半杯牛奶后，又兌滿熱水，這時杯中的牛奶和水混合在一起，就不知道怎樣表示了”。這是很大一部分學(xué)生的思維困境。因此在討論有什么啟示時，學(xué)生由衷地說道：“生活問題很復(fù)雜，要從數(shù)學(xué)的角度理解，變‘混合為‘分離，就容易了。”諸如這樣的回顧與反思，不僅僅是關(guān)乎某一個問題的具體解決，更是形成一般的思維方式，可以讓學(xué)生受益終身。

（2）應(yīng)用了什么方法策略？包括對應(yīng)用策略具體程序的回顧，體會策略的應(yīng)用價值，以及應(yīng)用策略的前提等等，進(jìn)一步深化對方法策略的理解。如人教版三年級上冊《測量》單元中的“運(yùn)煤”問題，是學(xué)生第一次正式學(xué)習(xí)“列表”策略?；仡櫯c反思時，除了教材中安排的“檢驗①和④兩種方案是不是恰好運(yùn)完8噸煤”以外，還要引導(dǎo)學(xué)生回顧用了什么策略，具體是怎樣思考的。學(xué)生的認(rèn)識是“先假設(shè)一輛車，最多運(yùn)幾次;然后逐一減少次數(shù)，算一算另一輛車需要運(yùn)的次數(shù);算出每種方案運(yùn)的總量;最后選擇所有符合的方案”。教師及時追問：“應(yīng)用這樣的策略有什么好處？”學(xué)生紛紛表達(dá)：“如果不列出來，就找不全所有方案?！苯處熯€可以讓學(xué)生進(jìn)一步思考“怎樣的問題也適合用列表法”，學(xué)生會通過舉例等方式體會“比較復(fù)雜”“有多種答案”等問題特征，利于方法策略的后續(xù)應(yīng)用。

（3）解決問題的關(guān)鍵是什么？這里的關(guān)鍵既可以是解決問題所應(yīng)用策略的關(guān)鍵，也可以是解決問題中整體思考的要點(diǎn)。如上述“運(yùn)煤”問題中的“列表策略”，特別要注意的是“有序思考”，才能保證方案不重復(fù)、不遺漏。又比如人教版四年級下冊《四則運(yùn)算》單元中的“租船”問題，“怎樣租船最省錢”“租便宜的船”及“空位盡可能少”，這是解決這類問題必須思考的關(guān)鍵點(diǎn)。

通過如上的反思梳理，不僅深化對具體方法策略的理解，還能理性思考遇到的困難、錯誤結(jié)論、應(yīng)對策略以及避免出錯的經(jīng)驗等等。解決真實問題中的若干體驗，只有經(jīng)歷有意識的反思，方可沉淀為解決問題的經(jīng)驗，從而豐富、優(yōu)化學(xué)生個體“解決問題”的經(jīng)驗結(jié)構(gòu)，提升經(jīng)驗水平。

（三）比較溝通，促進(jìn)對數(shù)學(xué)本質(zhì)的深刻理解

比較溝通主要關(guān)注方法與方法之間、數(shù)學(xué)問題與問題之間的聯(lián)系，探尋數(shù)學(xué)內(nèi)部的生態(tài)結(jié)構(gòu)，促進(jìn)對數(shù)學(xué)本質(zhì)的深刻理解，具體包括以下3個視角。

（1）還有更好的方法嗎？在初步解決某個問題后，需進(jìn)一步思考更優(yōu)的方法，或者反思有沒有考慮不周之處，使得思維更深入、更合理、更全面。比如人教版五年級下冊P37第9題，具體問題是：“茶廠工人要將長、寬各為20cm，高為10cm的長方體茶盒裝入棱長為30cm的正方體紙箱，最多能裝幾盒？怎樣才能裝下？”學(xué)生一般有兩種思路，一種是用“紙箱體積÷茶盒體積”，可以放6盒，還多出3立方分米的空間。另一種是空間想象，先沿“高”放，30÷10=3（層），可以放3層;再沿“長”放，空下來位置還可以再放一盒;最后沿“寬”放，同樣也可以放一盒，一共可以放5盒。發(fā)現(xiàn)兩種結(jié)果有差異，可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考，到底最多可以裝幾盒？有沒有更省空間的擺法？最后，學(xué)生通過想象、現(xiàn)場模擬等，最終找到了擺6盒的方法，學(xué)生在這樣的探索中形成了自我質(zhì)疑、自我完善、追求更優(yōu)方案的思維品質(zhì)。

（2）不同解法之間有什么聯(lián)系？解決某一問題，往往會有不同的方法策略及思路。學(xué)生容易理解方法之間的區(qū)別，但鮮少思考多種方法策略之間的聯(lián)系。如“雞兔同籠”問題，低年級學(xué)生可以運(yùn)用畫圖策略加以直觀解決，中年級學(xué)生可應(yīng)用列表、假設(shè)的策略解決，高年級學(xué)生可應(yīng)用列方程的方法解決。不同階段運(yùn)用的方法策略又有什么聯(lián)系呢？低年級的“畫圖”恰是中年級“假設(shè)”策略的直觀表征，能很好地理解每個算式表示的意義;而高年級列方程中的等量關(guān)系與中年級列表策略的數(shù)量關(guān)系完全相同，都是“雞腳只數(shù)+兔腳只數(shù)=腳的總數(shù)”。更為一致的是，畫圖、列表、列方程等方法背后所蘊(yùn)含的都是“假設(shè)”策略。

（3）不同問題之間有什么聯(lián)系？溝通問題之間的聯(lián)系，有兩方面的思考。其一是指溝通“情境不同但結(jié)構(gòu)相同的問題”。教師需要引導(dǎo)學(xué)生剝離紛雜的情境，貫通問題之間的實質(zhì)，體會數(shù)學(xué)問題的相同結(jié)構(gòu)。如人教版六年級上冊P42例7：“第一隊單獨(dú)修12天能修完，第二隊單獨(dú)修18天才能修完。兩隊合修，多少天能修完？”在練習(xí)時，教師設(shè)計了“可可用15塊A型積木搭，樂樂用10塊B型積木搭，兩人搭的高度相同。皮皮用一塊B型、一塊A型間隔地搭，如果搭的高度與可可、樂樂的相同，那么這兩種積木分別需要多少塊？”這道“搭積木”的問題，表面上看與例題截然不同，但實際上它們之間有內(nèi)在的聯(lián)系。學(xué)生解決問題后，教師引導(dǎo)其與例題作比較，發(fā)現(xiàn)“可可用15塊A型積木搭”相當(dāng)于例題中的“一隊單獨(dú)修12天能修完”……從而，非常清晰地看到兩題結(jié)構(gòu)上的一致性，構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。

另一方面指的是溝通“運(yùn)用相同策略的問題”。如教學(xué)人教版六年級下冊P27例7時，在“回顧與反思”環(huán)節(jié)，教師可引導(dǎo)學(xué)生思考：以前在解決什么問題時也用到過“轉(zhuǎn)化”？20以內(nèi)的進(jìn)位加法、多邊形的內(nèi)角和、平行四邊形和三角形面積公式的推導(dǎo)、求不規(guī)則物體的體積……學(xué)生把若干個分散在不同年段的問題勾連起來，匯集點(diǎn)狀零碎的經(jīng)驗，集中體會“化復(fù)雜為簡單、化不規(guī)則為規(guī)則、化未知為已知、化陌生為熟悉”的轉(zhuǎn)化思路，充分理解“轉(zhuǎn)化”策略的本質(zhì)，促進(jìn)解決問題經(jīng)驗的內(nèi)化和能力的提升。

（四）質(zhì)疑創(chuàng)新，提出新的數(shù)學(xué)問題

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出“四能”的目標(biāo)，凸顯“發(fā)現(xiàn)和提出問題”的重要性。但教學(xué)實踐中，學(xué)生鮮有發(fā)現(xiàn)和提出問題的機(jī)會。即便有提出問題的要求，往往面對的是比較封閉的信息條件。尤其是低年級，不是“一共有多少”，就是“還剩多少”，缺乏挑戰(zhàn)性，課堂只是“應(yīng)景”，所謂提出問題也只不過是奉命行事。因此，解決問題教學(xué)應(yīng)成為“培養(yǎng)學(xué)生提出問題能力”的重要載體，可以在“閱讀理解”板塊根據(jù)信息提出數(shù)學(xué)問題，也可以在“回顧與反思”板塊提出新的問題。

首先，可以提供一個缺少明確數(shù)學(xué)任務(wù)或問題的情境，學(xué)生根據(jù)自己的知識經(jīng)驗，創(chuàng)造性地提出問題。如到菜場買青菜，干的12元1千克，噴水的10元1千克，賣菜的生意人總是不遺余力地推薦“買干的吧”。為什么總是鼓動顧客買干的青菜呢？干的青菜和噴水的青菜，到底哪種比較便宜？……真實情境容易喚醒學(xué)生經(jīng)驗，自然地生成問題。這樣的問題具有生活性、開放性和綜合性，需要學(xué)生整體策劃解決方案，通過問詢、實驗等方式獲得相關(guān)信息，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識方法加以解決。

其次，在解決一個問題后，鼓勵學(xué)生提出新的問題。布朗和沃爾特（Brown and Walter）研究得到提出問題的方法——“否定假設(shè)法”，即學(xué)生選擇某個信息加以改變來提出問題。如教學(xué)人教版三年級下冊P72例8：“正方形地磚的邊長是3分米，客廳長是6米，寬是3米。鋪客廳地面一共要用多少塊地磚？”解決問題后，教師及時鼓勵學(xué)生提出疑惑及新的數(shù)學(xué)問題，于是就有了以下諸多成果。

（1）客廳長6米，寬3米，用來鋪的地磚長3分米，寬2分米。一共要多少塊地磚？（改變地磚的形狀）

（2）客廳長7米，寬3米，用邊長3分米的正方形地磚鋪，一共要多少塊地磚？（改變客廳的長和寬，不全是小正方形邊長的倍數(shù)）

（3）一張卡紙長8分米，寬5分米，要剪成邊長是8厘米的正方形卡片，最多可剪多少張？（改變現(xiàn)實情境，需要思考“大面積除以小面積”的合理性）

……

無疑，學(xué)生提出的都是好問題，問題具有實際意義，明確又頗具挑戰(zhàn)性。

“回顧與反思”是數(shù)學(xué)解決問題的重要過程，既是對整個解題過程進(jìn)行“元認(rèn)知”評價，又是對解題后的延伸性討論，是一種積極的探究思維活動，是評價學(xué)生解決問題能力水平的重要指標(biāo)。

參考文獻(xiàn)：

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（浙江省杭州市江干區(qū)教育發(fā)展研究院? ?310020）