“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”教學(xué)中十進(jìn)分?jǐn)?shù)的介入方式

趙勝華 徐軍紅

【摘? ?要】基于思維可視化教學(xué)理念，“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”的教學(xué)，可以通過激活十進(jìn)分?jǐn)?shù)以“符號(hào)操作”的方式介入小數(shù)意義建構(gòu)，使小數(shù)的“十分”與“十進(jìn)”的動(dòng)態(tài)過程在頭腦中可視化，從而使學(xué)生的思維從靜態(tài)走向動(dòng)態(tài)、從復(fù)雜走向簡潔，立體建構(gòu)小數(shù)的意義。

【關(guān)鍵詞】小數(shù);思維可視;教學(xué)

思維可視化教學(xué)是指通過一定的教學(xué)策略，幫助學(xué)生理解知識(shí)的產(chǎn)生和形成過程，使思維變得“看得見”、可琢磨?；谒季S可視化教學(xué)理念，我們重構(gòu)教學(xué)如下。

一、畫圖表征，具象解惑

學(xué)生是帶著自己對(duì)小數(shù)的了解來到課堂的，且各有差異。實(shí)踐中我們采用了特級(jí)教師袁曉萍設(shè)計(jì)的材料，在操作上做了新嘗試。

【教學(xué)片段1】

師：你能選擇合適的圖形來表示你對(duì)0.8元的理解嗎？

教師提供學(xué)習(xí)單，學(xué)生獨(dú)立嘗試解決，小組交流。之后全班討論，逐一呈現(xiàn)錯(cuò)例，學(xué)生說明想法，再糾正完善。

生：我不同意生1的想法（如圖1），他只畫了6格，不能表示0.8元。

生：要平均分成十等份，再取其中的8份，他分錯(cuò)了。

生：我心里想的是十等份，畫錯(cuò)了。

師：感謝你的失誤帶給我們思考。我們?cè)賮砜瓷?的創(chuàng)作（如圖2）。你來猜猜看，他是不是很任性地點(diǎn)上了這一點(diǎn)？

生：不是的，他這里有看不見的十等分。

生：還有看不見的8等分和2等分。

（師生合作完善等分方法）

師：為什么十等分呢？

生：1元里有10個(gè)1角，把1元平均分成10份，每一份是1角，也就是0.1元，8份是8角，也就是0.8元。

（引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范語言表征：把1元平均分成10份，取8份，就是0.8元）

【設(shè)計(jì)意圖】

1.小數(shù)的產(chǎn)生源于計(jì)量的需要。張奠宙先生認(rèn)為，小數(shù)的出現(xiàn)是基于十進(jìn)制表示數(shù)量的需要。史寧中先生認(rèn)為建立小數(shù)的概念，一方面是為了現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量表達(dá)的需要;另一方面是為了數(shù)學(xué)本身的需要，主要是為了表示無理數(shù)，即小數(shù)的范圍要比分?jǐn)?shù)的范圍廣。

有限小數(shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)（十進(jìn)分?jǐn)?shù)），理解小數(shù)的核心在于重新理解十進(jìn)制，即理解“十分”與“十進(jìn)”。教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生初步感受到：小數(shù)并不是十進(jìn)分?jǐn)?shù)改寫產(chǎn)生的，而是特殊平均分（十分）的結(jié)果，是自然數(shù)的十進(jìn)位置值從高位往低位擴(kuò)展的結(jié)果。

2.畫圖表征使經(jīng)驗(yàn)可視化。畫圖表征能幫助學(xué)生在客觀問題與主觀心智表達(dá)之間建立起一座橋梁，能充分暴露學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生經(jīng)驗(yàn)可視。學(xué)生在“畫圖—讀圖—用圖”的過程中，明白自己已經(jīng)知道了什么，還存在怎樣的困惑，并借助錯(cuò)例糾正歸納共同點(diǎn)，“逼”學(xué)生將10的冪次方等分和合的過程“說清楚”，將內(nèi)隱的思維可視化。

二、符號(hào)表征，改造經(jīng)驗(yàn)

借助一定的視覺表征形式，可使抽象的概念具象化，有利于學(xué)生獲得對(duì)知識(shí)本質(zhì)的直觀、簡潔、清晰的理解。但不可忽視的是，表征之間的轉(zhuǎn)化是學(xué)習(xí)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，轉(zhuǎn)換能力不佳會(huì)影響數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。激活十進(jìn)分?jǐn)?shù)的“過程”可實(shí)現(xiàn)圖和文之間的心理轉(zhuǎn)換。

【教學(xué)片段2】

師：（逐一展示正例）這些表示方法有什么共同點(diǎn)？

生：都是十等分取8份。

師：如果用一個(gè)分?jǐn)?shù)表示這些圖的共同特點(diǎn)，你會(huì)用哪個(gè)分?jǐn)?shù)？

生：[810]。

師：從[810]你看到怎樣的分和??？

生：都是把1元十等分，取8份。

師：8角和0.8元之間用哪個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)來連接？（等號(hào)）那[810]應(yīng)該放在哪個(gè)位置呢？8角和0.8元都帶有一個(gè)單位，想一想，[810]帶上怎樣一個(gè)單位比較合適？

生：我認(rèn)為應(yīng)該和0.8元在一起，因?yàn)槎际窍劝?元平均分成10份，再取了8份。

生：[810]是把1元看作單位的，應(yīng)帶上的單位是“元”。

生：這三個(gè)數(shù)的大小是一樣的。

在互動(dòng)中，移動(dòng)紙卡片，建立等式 8角=[810]元=0.8元。

師：[310]元，你想到什么？

【設(shè)計(jì)意圖】

1.英國沃瑞克大學(xué)的韜爾提出：數(shù)概念是一個(gè)典型的過程性概念，既是過程又是概念。學(xué)生建構(gòu)數(shù)概念需要在具體操作的基礎(chǔ)上，通過壓縮和內(nèi)化，逐步形成為對(duì)象的概念，并納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

分?jǐn)?shù)概念和小數(shù)概念的建構(gòu)都依據(jù)這樣的步驟展開，但兩者在建構(gòu)過程中又有所區(qū)別，如分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識(shí)時(shí)，學(xué)生鮮明感受的是“過程”，而小數(shù)初步認(rèn)識(shí)時(shí)，由于已有的生活學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生鮮明感受的反而是“對(duì)象”。因此，如何將兩者合理聯(lián)合是小數(shù)意義建構(gòu)的關(guān)鍵。

2.十進(jìn)分?jǐn)?shù)以“符號(hào)操作”介入意義建構(gòu)。像人民幣、面積模型、米制系統(tǒng)、數(shù)軸等直觀、半直觀模型的核心是“十分、十進(jìn)”，從具體操作壓縮內(nèi)化到對(duì)象，需要載體。誰能成為多功能載體呢？根據(jù)布魯納“三種操作”的認(rèn)知理論，表象操作是實(shí)物操作到符號(hào)操作的橋梁，而十進(jìn)分?jǐn)?shù)這一富有“過程性”的數(shù)學(xué)語言恰能成為從符號(hào)操作到思維操作的橋梁。

教師以“如果用一個(gè)分?jǐn)?shù)表示這位同學(xué)的想法，你會(huì)用哪個(gè)分?jǐn)?shù)”引導(dǎo)學(xué)生用十進(jìn)分?jǐn)?shù)抽象過程，從而使分與合的動(dòng)態(tài)過程可視化。然后以“[810]應(yīng)該放在哪個(gè)位置呢”為驅(qū)動(dòng)，借助紙卡片的移動(dòng)自然地建構(gòu)“8角=[810]元=0.8元”，既使學(xué)生感受到三者的相等關(guān)系，更使學(xué)生的思維從靜態(tài)走向動(dòng)態(tài)，最后逆向思考“[310]元，你想到什么”。在互譯中，借助“數(shù)”（shǔ），初步體驗(yàn)“十分”“十進(jìn)”的思維過程。十進(jìn)分?jǐn)?shù)與小數(shù)的關(guān)系不僅限于對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們更應(yīng)把它作為數(shù)學(xué)語言，成為學(xué)生思維和交流的載體。

三、動(dòng)態(tài)表征，形成系統(tǒng)

當(dāng)學(xué)生初步完成某一概念的建構(gòu)后，教師可以在動(dòng)態(tài)變化的情境中讓學(xué)生用所學(xué)的概念進(jìn)行判斷，完善概念的建構(gòu)。

【教學(xué)片段3】

師：孫悟空的金箍棒很神奇。你能根據(jù)下圖，用小數(shù)表示金箍棒每次變化后的長度嗎？

（1）學(xué)生根據(jù)金箍棒長短變化，口答小數(shù)（0.2米，0.8米，0.1米）。（圖3）

（2）（金箍棒快速伸長，產(chǎn)生新情況）你知道現(xiàn)在是幾米？（估：1～2米之間，接近1米）;顯示5等分，引發(fā)學(xué)生對(duì)1.1米與1.2米的爭論（隱藏的十等分）;繼續(xù)數(shù)1.4米，1.6米……2米。（圖4）

（3）（新沖突：1.82米）想用一個(gè)數(shù)準(zhǔn)確表示現(xiàn)在金箍棒的長度，你會(huì)嗎？（圖5）

（4）課堂總結(jié)，梳理溝通。

【設(shè)計(jì)意圖】

什么樣的材料能實(shí)現(xiàn)米制系統(tǒng)的抽象過渡呢？“金箍棒”無疑是一個(gè)“有趣”的好材料。“金箍棒”在變長變短的動(dòng)態(tài)表征中凸顯小數(shù)的“十分”，巧妙、無痕地發(fā)展了學(xué)生的數(shù)感，認(rèn)識(shí)比1大的多位小數(shù)。

通過追問引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)習(xí)歷程，從源頭再認(rèn)識(shí)小數(shù)的意義，幫助學(xué)生將新概念納入自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

基于思維可視，激活十進(jìn)分?jǐn)?shù)以“符號(hào)操作”的方式介入小數(shù)意義建構(gòu)，即借助十進(jìn)分?jǐn)?shù)這一數(shù)學(xué)語言，使小數(shù)的“十分”與“十進(jìn)”的動(dòng)態(tài)過程在頭腦中可視化，從而使學(xué)生的思維從靜態(tài)走向動(dòng)態(tài)、從復(fù)雜走向簡潔，立體建構(gòu)小數(shù)的意義。

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（浙江省杭州市富陽區(qū)永興小學(xué)? ?311400

浙江省杭州市富陽區(qū)湖源鄉(xiāng)中心小學(xué)? ?311400）