無砟軌道橋梁數(shù)值模擬及沖擊特性計算

王宇宸 （同濟大學(xué)，上海 200092）

1 引言

雙層梁在移動荷載作用下的動力響應(yīng)問題是軌道和橋梁在車輪荷載作用下的理想化模型。雙層梁模型能夠很好地將軌道、扣件和橋梁三者區(qū)分開來，可以針對特定研究對象進行詳細(xì)的動力響應(yīng)研究。Hamada[1]研究了連接結(jié)構(gòu)為溫克勒型彈簧的雙層梁系統(tǒng)的自由振動和強迫振動，給出了上梁和下梁相同時雙層梁振動的解析表達(dá)式。Oniszczuk[2]給出了彈性連接的一般雙層梁系統(tǒng)的無阻尼自由振動和強迫振動的一些解析表達(dá)式。Vu[3]提出了一種求解雙梁系統(tǒng)在簡諧激勵下的振動的精確方法，并指出，為了解耦系統(tǒng)的運動控制偏微分方程，上梁和下梁的抗彎剛度及線質(zhì)量必須相同，并且邊界條件也必須相同。Gurgoze和Erol[4]提出了一種求解由均布的彈簧及阻尼器連接的雙層梁系統(tǒng)受迫振動的精確解的方法。Hilal[5]研究了在連續(xù)的粘彈性地基上由移動常量力引起的雙層梁系統(tǒng)的動力響應(yīng)問題。Palmeri和Adhikari[6]提出了一種伽遼金狀態(tài)空間方法來求解具有粘彈性層雙層梁系統(tǒng)的橫向振動問題。對于多層梁系統(tǒng)，Kelly和Srinivas[7]給出了一組具有確定的彈性連接的多層梁系統(tǒng)在軸向荷載作用下結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型的一般理論。Rssin[8]通過研究得到了一種雙層梁系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)閉合解，該系統(tǒng)的荷載形式是一個恒定的或一個簡諧作用的移動集中力。對于雙層梁系統(tǒng)來說，只有Hilal研究了由于移動常量力引起的動態(tài)響應(yīng)。一般認(rèn)為，移動簡諧荷載能夠模擬車輪偏心或者車體上部結(jié)構(gòu)做簡諧運動時車橋之間的作用力，是一種典型的交通荷載形式。本研究通過數(shù)值編程建立了雙層梁系統(tǒng)的有限元模型，拓展了現(xiàn)存雙層梁解析解的應(yīng)用范圍，并使用解析解進行了程序驗證。以移動簡諧荷載作為外部激勵，研究移動簡諧荷載的速度和頻率變化對上梁及下梁跨中沖擊系數(shù)的影響。

2 數(shù)值模型建立

單跨無砟軌道橋梁可以理想化的看作是一個兩端簡支的雙層梁系統(tǒng)，其模型如圖1(a)所示，系統(tǒng)由2根梁組成，梁均按照伯努利歐拉理論進行假設(shè)，兩梁之間布有均布的彈簧和阻尼器進行連接。

圖1 雙層梁模型及廣義梁單元示意圖

雙層梁的運動控制方程為：

其中，EI為上梁的抗彎剛度；ρA為上橫梁的線質(zhì)量密度；α為下梁與上梁的剛度之比；β為下梁與上梁的線密度之比；K為梁間連接系每米的剛度系數(shù)；C為梁間連接系每米的阻尼；yi是yi(x,t)的縮寫，表示第i根梁在t時刻距離左端x米處的豎向位移。

為了計算移動簡諧力作用下的結(jié)構(gòu)沖擊特性，將結(jié)構(gòu)分解為具有上下梁并在其端部連接彈簧和阻尼器的單元,如圖1(b)所示。單元中，上梁的自由度為vu=[v1、v2、v5、v6]，下梁自由度為vl=[v3、v4、v7、v8]。由于上梁和下梁具有均勻的橫截面，所以可以用Hermite三次多項式函數(shù)作為形函數(shù)。

在廣義雙層梁單元模型中，單元剛度矩陣不僅包括由上下梁本身產(chǎn)生的剛度，還包括由連接系產(chǎn)生的剛度。由于連接系提供的彈性力U與其兩端的相對位移成正比，這些力可以表示為U1=-K(v1-v3),U3=K(v1-v3),U5=-K(v5-v7),U7=K(v5-v7)。由于忽略了上下梁自身的阻尼，單元結(jié)構(gòu)的阻尼全由，它與上下梁的相應(yīng)節(jié)點的相對速度成正比，即。雙層梁單元的阻尼矩陣可寫為一個簡單對角矩陣。基于單元質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣，可以根據(jù)單元連接關(guān)系和支承邊界條件形成結(jié)構(gòu)矩陣。采用等效節(jié)點荷載表示移動簡諧力的荷載效應(yīng)：

最后采用Newmark-β法計算雙層梁的時程響應(yīng)。

3 程序驗證

當(dāng)上梁和部梁的剛度比和線密度比為1時，W u,Y.and Gao,Y[9]導(dǎo)出了上、下梁在移動簡諧荷載作用下的時程響應(yīng)的解析解。將有限元數(shù)值積分結(jié)果與該解析解進行了比較，從而驗證有限元模型和計算程序的正確性。

在本文中建立的雙梁模型中，沖擊系數(shù)與荷載的移動速度和荷載的振動頻率密切相關(guān)。使用無量綱參數(shù)將輸出結(jié)果規(guī)格化有利于結(jié)果的統(tǒng)一，各無量綱參數(shù)如下：

其中，y0為梁跨中的位移，具體含義為當(dāng)移動簡諧荷載幅值靜止作用于在梁的跨中時跨中產(chǎn)生的靜撓度，此時。ω1為系統(tǒng)的基頻；。為了同時考察當(dāng)移動簡諧荷載作用于雙層梁系統(tǒng)時的強迫振動和離開系統(tǒng)后的自由振動，的最大值取到2。使用兩種計算方法得到的雙層梁系統(tǒng)跨中位移時程圖像如圖2所示。

圖2 數(shù)值計算方法與解析計算方法跨中時程結(jié)果對比

上圖展示了兩種計算方法得到的上梁與下梁跨中動力反應(yīng)比時程曲線圖像。其中左圖研究對象為上梁，右圖的研究對象為下梁。橫軸為時間無量綱量，縱軸為動力與靜力反應(yīng)比數(shù)值。可以看出，有限元模型計算的上、下梁的位移時程響應(yīng)無論是在t位于0至1之間的強迫振動階段，還是t位于1至2之間的自由振動階段，計算結(jié)果都與解析解吻合較好，也表明了該模型對雙層梁在移動簡諧荷載作用下的動力響應(yīng)計算具有一定的可靠性。

4 實橋沖擊系數(shù)計算

以一座典型的橋梁為背景。軌道和橋梁部分的參數(shù)如表1所示。雙層梁由鋼軌和混凝土梁組成，上梁可以看成是鋼軌，下梁可以看成混凝土梁?？梢?，在實橋中，上梁和下梁的截面特性一般不相同，其抗彎剛度和線密度也不同。數(shù)值模型可以通過調(diào)整上下梁的剛度比和質(zhì)量比來模擬實際情況，因此數(shù)值模型比解析解具有更廣泛的應(yīng)用范圍。表中的參數(shù)，用于數(shù)值模型的計算。模型參數(shù)如表2所示。

實橋截面數(shù)據(jù) 表1

數(shù)值模型參數(shù) 表2

圖3 數(shù)值計算下的不同荷載移動速度和頻率對應(yīng)的跨中沖擊系數(shù)

圖 3（a）和圖 3（b）示出了上梁和下梁的最大跨中位移沖擊系數(shù)隨荷載移動速度和荷載振動頻率之間的關(guān)系?？梢园l(fā)現(xiàn)，雙層梁系統(tǒng)的上梁由于與移動簡諧荷載直接接觸，沖擊系數(shù)形成的表面較為粗糙。由于上下梁之間存在的連接結(jié)構(gòu)具有一定的剛度和阻尼，提供了減震和隔振，所以下梁跨中沖擊系數(shù)形成的表面較為光滑。從圖 3（a）和圖 3（b）中還可以看出，當(dāng)荷載振動頻率接近荷載的移動速度時，上下梁的沖擊系數(shù)取得極值，上梁跨中沖擊系數(shù)極值為1.1，下梁沖擊系數(shù)極值為1.07。當(dāng)荷載振動頻率和移動速度滿足一定的線性關(guān)系時，沖擊系數(shù)則會大大減小，線性比值隨橋梁各個參數(shù)變化而改變，需要針對具體橋型進行分析。

5 結(jié)語

本研究使用廣義雙層梁模型單元進行建模，得到了軌梁系統(tǒng)的通用模型建立方式，并驗證了這種方法的正確性，擴展了現(xiàn)存雙層梁系統(tǒng)計算方法應(yīng)用范圍，為后續(xù)數(shù)值模型研究提供指導(dǎo)。通過實橋數(shù)值計算發(fā)現(xiàn)，當(dāng)上下梁的橫截面特征相對接近時，荷載的移動速度和振動頻率變化將對跨中位移沖擊系數(shù)產(chǎn)生較大影響。對于實際工程來說，軌道橋梁上下梁的橫截面特征差異很大，在這種情況下，移動簡諧荷載不會顯著影響上梁和下梁的沖擊系數(shù)。