范疇中的擬-morphic對象

陸二偉，儲茂權(quán)，姜翠翠

(1.安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽 蕪湖 241003；2.定遠(yuǎn)縣第三中學(xué)，安徽 定遠(yuǎn) 233200）

2005年，Nicholson等在模范疇中引入了模。2006年，顏曉光等給出G-morphic模的定義[1]。2009年，邢寶國等提出了擬-morphic模的概念[2]。2012年，時(shí)芳芳等給出擬G-morphic模的定義[3]。2013年，Calugareanu等結(jié)合范疇及morphic模的概念給出了范疇中morphic對象的定義[4]，研究morphic對象在范疇中的一些性質(zhì)，并考慮了單位正則元，正則元與morphic元間的聯(lián)系。

1 預(yù)備知識

文中出現(xiàn)的環(huán)均是有單位元的結(jié)合環(huán)，環(huán)上的模均指酉模，未定義的符號可參見文[5]。

定義1[5]設(shè)有零對象范疇C中對一切A,B∈ObC，HomC(A,B)∈ObAG(對加法)且態(tài)射合成與加法滿足分配律，即在可合成與可加情況下，有則稱C為預(yù)加法范疇。

定義2[5]設(shè)C為預(yù)加法范疇，若C的任何有限個(gè)對象A1,A2,…,An都有直和，則稱C為加法范疇。

定義3[5]設(shè)C為加法范疇，若C又滿足下述各條件：

(1)C中任何態(tài)射都有核和上核；

(2)C中任何單態(tài)射都是其上核的核，任何滿態(tài)射都是其核的上核；

(3)C中任何態(tài)射σ都可分解成一個(gè)單態(tài)射η和一個(gè)滿態(tài)射π之積:σ=ηπ，此式稱為σ的標(biāo)準(zhǔn)分解式，則稱C為一個(gè)Abelian范疇。

Abelian范疇?加法范疇?預(yù)加法范疇?帶零范疇。左R-模范疇RM和Abelian群范疇AG均是Abelian范疇。

定義4[6]稱帶零范疇C是p-exact的，若C中每個(gè)態(tài)射可以分解為正規(guī)的單態(tài)射和上正規(guī)的滿態(tài)射之積。

定義5[6]稱范疇中的單態(tài)射f是正規(guī)的，若f是某個(gè)態(tài)射的核。

定義6[6]稱范疇中的滿態(tài)射g是上正規(guī)的，若g是某個(gè)態(tài)射的上核。

Abelian范疇是p-exact范疇，但反之不一定成立。在p-exact范疇中，核和上核存在，每個(gè)單態(tài)射均是正規(guī)的且每個(gè)滿態(tài)射均是上正規(guī)的。單態(tài)射沿任意態(tài)射可以拉回，滿態(tài)射沿任意態(tài)射可以推出。但是積、和、一般的拉回及推出不一定存在。眾所周知，p-exact范疇是Abelian的當(dāng)且僅當(dāng)存在有限和。左R-模范疇RM和AG是Abelian范疇，當(dāng)然也是p-exact的。但群范疇G和環(huán)范疇Ring均不是p-exact的(見文[7])。

定義7[8]設(shè)M是范疇C中一簇單態(tài)射，A,B∈ObC，如果存在M中的一個(gè)態(tài)射f:A→B，則稱(A,f)為對象B的M子對象。若M是C中的全體單態(tài)射，則簡稱(A,f)為對象的子對象。

在群范疇、Abelian群范疇和左R-模范疇RM中，子對象分別對應(yīng)于子群、子Abelian群和子R-模。

2 p-exact范疇中的擬-morphic對象

設(shè)A是有核和像的范疇C中的對象，稱A的自態(tài)射α是morphic的，若存在β∈EndC(A)，使得下面序列正合

稱對象A是morphic，若對任意的α∈EndC(A)，α是morphic的。結(jié)合擬-morphic模的定義(稱左R-模M是擬 -morphic的[9]，若對任意的α∈EndR(M))，存在β,γ∈EndR(M) ，使得Mα=Ker(β)和 Ker(α)=M(γ)，可以定義有核和像范疇C中-morphic的擬對象。

定義8設(shè)A是有核和像的范疇C中的對象，稱A的自態(tài)射α是擬-morphic的，若存在β,γ∈EndC(A)，使得下面序列正合

稱對象A是擬-morphic的，若對任意的α∈EndC(A)，α是擬-morphic的。

A的自態(tài)射α是擬-morphic的當(dāng)且僅當(dāng)存在α,β∈End(A) ，使得Imα=Ker(β) 且 Ker(α)=Imγ。顯然，若α是-morphic的，則α是擬-morphic的(由正合，可得正合)，反之不一定(見[10]的命題5)。

例1(1)設(shè)R是有單位元的環(huán)，左R-模范疇RM中的擬-morphic對象即擬-morphic模(見文[11])。

(2)由morphic Abelian群是擬-morphic的，故在Abelian群范疇AG中，擬-morphic對象包括morphic Abelian群，關(guān)于morphic Abelian群的更多性質(zhì)見文[12]。

注：(1)每個(gè)自同構(gòu)σ:A→A是擬-morphic的(取β=λ=0)，事實(shí)上，恒等態(tài)射和零態(tài)射是擬-morphic的，故零對象是擬-morphic的。

(2)擬-morphic對象的子對象不一定是擬-morphic的。例如Z-模zQ是擬-morphic的，但子模zZ不是擬-morphic的。

(3)擬[-morphic]對象的商不一定是擬-morphic的。例如，平凡擴(kuò)張R=Z∝Q/Z是擬-morphic的，但R/J(R)?Z不是擬-morphic的(見文[13])。

(4)擬-morphic自態(tài)射的合成與和不一定是擬-morphic的。例如，左Z-模范疇ZM中對象M=Z⊕Z12，自態(tài)射α,β分別為:α((x,y))=(3x,y)，β((x,y))=(6x,y)。易證，α,β均是擬 -morphic的，但αβ和α+β均不是擬-morphic的(見文[14])。

下面給出在p-exact范疇中，擬-morphic自態(tài)射的一些性質(zhì)。

引理1設(shè)A是p-exact范疇C中的對象，α∈EndC(A)，則下列命題等價(jià)：

(1)α是擬-morphic的；

(2)A/Imα可嵌入到A中，且 Ker(α)是A的像。

證明(1)?(2)設(shè)α是擬-morphic的，則存在β,γ∈EndC(A)使得下面序列正合

故 Imα=Ker(β)，Ker(α)=Imγ。顯然，Ker(α)是A的像。由 Imα=Ker(β)，知A/Imα=A/Ker(β)?Imβ?A。從而A/Imα可嵌入到A中。

(2)?(1)由于A/Imα可嵌入到A中，則定義單態(tài)射σ:A/Imα→A，態(tài)射β:A→A;a→σ((a+Imα))，?a∈A，則 Imα=Ker(β)。由 Ker(α)是A的 像 ，不 妨 設(shè) Ker(α)=Imγ，其中γ∈EndC(A)，故α是擬-morphic的。

定理1設(shè)A是有核和像的范疇C中的對象，α∈EndC(A)是擬-morphic的，若σ:A→A是自同構(gòu)，則ασ和σα均是擬-morphic的。

證明α∈EndC(A)是擬-morphic的，

則 存在β,γ∈EndC(A)，使得 Imα=Ker(β)，且Ker(α)=Imγ。

由于σ:A→A是自同構(gòu)有A/Im(ασ)?A/Imα=A/Ker(β) ? Imβ?A，且 Ker(ασ)=Ker(α)=Imγ是A的像。利用引理1知，ασ是擬-morphic的。類似可證σα是擬-morphic的。

稱自態(tài)射α:A→A是單位正則的［4］，若存在的自同構(gòu)σ使得α=ασα。等價(jià)地，稱自態(tài)射α:A→A是單位正則的，若α=πσ，其中π2=π，σ是自同構(gòu)。事實(shí)上，單位正則的自態(tài)射是擬-morphic的。

定理2設(shè)A是有核和像的范疇C中的對象，α,β∈EndC(A)是擬 -morphic的，若α滿，β單，則βα是擬-morphic的。

證明由于α,β∈EndC(A)是擬-morphic的，則 存 在λ,ρ∈EndC(A) 使 得 Ker(α)=Imγ,Imβ=Ker(ρ)。又因?yàn)槿籀翝M，β單，故 Ker(βα)=Ker(α)=Imγ且 Im(βα)=Imβ=Ker(ρ) 。 從而βα是 擬-morphic的。

首先在ρ-exact范疇中，對于短正合列通常在同構(gòu)意義下，把C記 為B/A。 因 此 ，對 于，若是(上)像的單滿分解，則正合，根據(jù)第一同構(gòu)定理有，A/Ker(α)?Imα。其次，對于p-exact范疇中的態(tài)射f:A→B，有f單當(dāng)且僅當(dāng)Ker(f)=0；f滿當(dāng)且僅當(dāng)Imf=B(見文[4])

推論1設(shè)A是p-exact范疇C中的對象，α∈EndC(A)且α是擬-morphic的，即存在A的自態(tài)射β和γ，使正合。則(1)α單?γ為零態(tài)射；(2)α滿?β為零態(tài)射。

證明由于正合，則αγ=0 ，βα=0 ，Imα=Ker(β)且 Ker(α)=Imγ。

(1)設(shè)α單，由αγ=0=α0，利用α左可消得γ=0 。反之，設(shè)γ為零態(tài)射，則Ker(α)=Imγ=0 ，故α單。

(2)設(shè)α滿，則α=1Aα是α的單滿分解。故Ker(β)=A，即β為零態(tài)射。反之，設(shè)β為零態(tài)射，則Imα=Ker(β)，故α滿。

下面利用子對象給出擬-morphic對象的一些等價(jià)刻畫。

命題1設(shè)A是p-exact范疇C中的對象，則下列命題等價(jià):

(1)A是擬-morphic的；

(2)若A/K?N，其中K和N為A的子對象，則存在A的子對象T和H，使得A/T?K和A/N?H。

證明(1)?(2)設(shè)(K,μ)為擬-morphic對象A的子對象，記A/K=(CoKer(μ),ρ)(在同構(gòu)的意義下)，即有短正合列

若(N,υ)是A的另一個(gè)子對象，則有相應(yīng)的短正合列

顯然，此式α=vρp為α的單-滿分解。則Ker(α)=K，Imα=N。由A是擬 -morphic的，對于A的自態(tài)射α，存在β,γ∈EndC(A)且，使得Ker(β)=Imα=N，且 Imγ=Ker(α)=K，對β,γ利用第一同構(gòu)定理得A/Ker(β)?Imβ，A/Ker(γ)?Imγ=K。記T=Ker(γ),H=Imβ。

(2)?(1)對于任意的α∈EndC(A)，有A/Ker(α)?Imα。由假設(shè)知，存在A的子對象(T,f)和 (H,g)使得A/T?Ker(α)和A/Imα?H。同上，則有短正合列

考慮

則 Ker(β)=Imα,Imγ=Ker(α) 。 因此α是擬-morphic的。由的任意性知，A是擬-morphic的。

定理3設(shè)A是p-exact范疇C中的擬-morphic對象，則下列命題等價(jià)：

(1)A的任一子對象均同構(gòu)于A的一個(gè)像；

(2)A的任一像均同構(gòu)于A的任一子對象。

證明(1)?(2)對于A的任一子對象N，由（1）知，存在著子對象K，使得A/K?N。由于A是擬-morphic的，利用定理2，則存在著子對象H使得A/N?H。

(2)?(1)對于A的任一子對象K，由(2)知存在著子對象N，使得A/N?H。由于A是擬-morphic的，則存在著子對象T使得A/T?K。

定理4設(shè)A是p-exact范疇C中的對象，則A是擬-morphic的?I(A)=K(A)。

證明(?)設(shè)A是擬-morphic的，對于任意的 Imα∈I(A)，由α是-morphic的，則存在β∈EndC(A) ，使得Imα=Ker(β) 。 因此Imα∈K(A)，I(A)?K(A)。若 Ker(α)=Imγ。因此K(A)?I(A)。故有I(A)=K(A)。

(?)對任意的α∈EndC(A)，有 Imα∈I(A)=K(A)，則存在β∈EndC(A)，使得 Imα=Ker(β)。同理，Ker(α)∈K(A)=I(A)。故存在γ∈EndC(A)，使得 Ker(α)=Imγ。從而，α是擬 -morphic的。由α的任意性知，A是擬-morphic的。

稱群G是單系列的[6]，若它的正規(guī)子群格構(gòu)成有限長度的鏈，即有G=G0?G1?G2?…?Gn=1，并記Gk的長度為IG(Gk)=n-k，其中k=0,1,…,n。稱模M是單系列的[15]，若它的子模格是鏈。類似地，稱范疇中的對象是單系列的[16]，若它的子對象構(gòu)成鏈。若對象A的子對象構(gòu)成有限長度的鏈：A=A0?A1?A2?…?An=0，同樣地，我們可以定義子對象記Ak的長度為lA(Ak)=n-k，其中k=0,1,…,n。

引理2設(shè)p-exact范疇C中的對象A是單系列的且lA(A)=n，即子對象A=A0?A1?A2?…?An=0,則

(1)若A的子對象H是單系列的，則lA(H)=lH(H)；

(2)若Ai?A/Ak，則i=n-k。

定理5設(shè)p-exact范疇C中的對象A是單系列的且lA(A)=n，即子對象A=A0?A1?A2?…?An=0,則下列命題等價(jià)：

(1)A是擬-morphic的;

(2)若A/Ak?An-k,k=0,1,…,n，則A/An-k?Ak;

(3)A是-morphic的。

證明(1)?(2)若A/Ak?An-k,k=0,1,…,n，由于A是擬 -morphic的，則存在N=Ai,使得A/An-k?Ak。由引理2知，i=k。故A/An-k?Ak。

(2)? (3)設(shè)α∈EndC(A)，記 Ker(α)=Ak，Imα=Ai，則A/Ak?Ai，由引理 2 知，i=n-k。再利用(2)，有A/An-k?Ak，即A/Imα?Ker(α)，從而A是morphic的。

(3)?(1)顯然。

注意到這部分結(jié)果沒有涉及加法結(jié)構(gòu)(即Hom(-,-)態(tài)射集不具有加法群結(jié)構(gòu))，當(dāng)然也沒有有限積。

3 Abelian范疇中的擬-morphic對象

研究Abelian范疇中的擬-morphic對象的有限直和。首先，下面兩個(gè)定理有助于將研究簡化到模范疇中。

定理6[17]設(shè)C是Abelian范疇A的小子范疇，則存在A的小Abelian全子范疇D，使得C是D的子范疇。

定理7[17](Mitchell Theorem)設(shè)C是小Abelian范疇，則存在環(huán)R和完全忠實(shí)正合函子

定理8設(shè)C和D是Abelian范疇，F(xiàn):C→D是完全忠實(shí)正合函子，且A∈ObC,則A是擬-morphic的?F(A)是擬-morphic的。

證明(?) 設(shè)A是擬-morphic的，為F(A)的自態(tài)射。由于F是完全的，則存在α∈EndC(A)，使得=F(α)。 又因?yàn)锳是擬-morphic的，則存在β,γ∈EndC(A)，使得下面序列正合

由F正合，可知

正合。從而F(A)是擬-morphic的。

(?)若F(A)是擬-morphic的，且α∈EndC(A)，則存在使得

正合。由于F是完全的，則存在β,γ∈EndC(A)，使得。故

正合。又因?yàn)镕正合忠實(shí)的(見[18]定理7.1)，有

從而A是擬-morphic的。

命題2設(shè)A=A1×A2×…×An，Ai為Abelian范疇C中的對象(i=1,2,…,n)且滿足i≠j時(shí)，HomC(Ai,Aj)=0，則A是擬-morphic的 ?Ai是擬-morphic的 (i=1,2,…n)。

此命題在模范范疇條件下的證明已在文[14]中給出。

定理9設(shè)A為Abelian范疇C中的擬-morphic對象，則

(1)有限個(gè)A的像的交仍是A的像；

(2)有限個(gè)A的像的和仍是A的像。

推論2設(shè)A為Abelian范疇C中的擬-morphic對象，則I(A)和K(A)均是格。

稱范疇C中的對象是正規(guī)的[4]，若EndC(A)是正則環(huán)。記αA為α的像。

引理2[17]設(shè)A為Abelian范疇C中的對象，α∈EndC(A)，則α是正則的?αA和Ker(α)均是A的直和項(xiàng)。

設(shè)A為范疇C中的對象，稱A是自投射的，若γA?αA，其中α,γ∈E=EndC(A)，則γ∈αE;稱A生成核，若對于任意的β∈E=EndC(A)，A生成Ker(β)，即 Ker(β)=∑{αA|α∈ EndC(A)}。

命題3設(shè)A為Abelian范疇C中的對象，若E=EndC(A)正則，則A是擬-morphic的，自投射的且A生成核。

證明對于任意的α∈E，由于E正則，故存在β∈E使得α=αβα。首先證明αA?Ker(1-αβ)。對任意的x∈Ker(1-αβ)，即(1-αβ)(x)=0，從而x=(αβ)(x)∈αA，故Ker(1-αβ)?αA。

下 證 Ker(α)=(1-βα)A。 由α=αβα知，α(1-βα)=0 ，則α(1-βα)A=0 ，從而 (1-βα)A?Ker(α)。對任意的y∈Ker(α)，即α(y)=0 ，從而y=y-(βα)(y)=（1-βα)(y)∈(1-βα)A。故 Ker(α)?(1-βα)A。

綜上可知，則α是擬-morphic的。由α的任意性可知，A是擬-morphic的。

由E正則知，E是右擬-morphic環(huán)。設(shè)γA?αE，其中γ,α∈E,lE(α)?lE(γ)。再利用文[10]得，E是左p-內(nèi)射的，從而γE?αE，有γ∈αE，可知A是自投射的。

對于任意的β∈E，由于A是擬-morphic的，則存在λ∈E，使得λA=Ker(β)，這就證得A生成核。

設(shè)A為 AbelianC中的對象，稱A是的kernel-direct[4]，若對任意的a∈EndC(A)，Ker(α)是A的直和項(xiàng)；稱A是image-direct[4]，若對任意的a∈EndC(A)，Imα是A的直和項(xiàng)。對于擬-morphic對象，kernel-direct能推 出image-direct，反之亦然。因此，有下面結(jié)論。

定理10設(shè)A為AbelianC中的對象，E=EndC(A)，則下列命題等價(jià)：

(1)E正則；

(2)A是擬-morphic的且kernel-direct；

(3)A是擬-morphic的且。

4 小結(jié)

本文在有核和像的范疇中引進(jìn)擬-morphic對象的概念，給出了擬-morphic對象的一些等價(jià)刻畫，并討論了擬-morphic元與單位正則元以及正則元的關(guān)系，并研究了擬-morphic對象在p-exact范疇和Abelian范疇中的一些性質(zhì)。得到兩個(gè)主要結(jié)果即文中的定理3和定理8。這說明范疇中的擬-morphic對象是morphic對象的真正推廣。