數(shù)學(xué)思想在算法優(yōu)化中的應(yīng)用

文/高向敏

（鎮(zhèn)江第一外國語學(xué)校 江蘇省鎮(zhèn)江市 212000）

1 算法優(yōu)化概述

通俗地來講，算法就是做某件事情或解決某一問題的方法、步驟、過程和程序，而算法優(yōu)化是指對(duì)算法的有關(guān)性能進(jìn)行優(yōu)化。舉個(gè)例子，大家熟知的田忌賽馬的故事，在之前的比賽中，田忌總是以上等馬對(duì)上等馬，中等馬對(duì)中等馬，下等馬對(duì)下等馬，齊威王每一個(gè)等級(jí)的馬都要比田忌的強(qiáng)，所以田忌總是輸；后來孫臏給田忌出了個(gè)主意：比賽時(shí)，讓他以下等馬對(duì)齊威王的上等馬，再以上等馬對(duì)他的下等馬，最后以中等馬對(duì)他的下等馬。比賽結(jié)束，田忌以三局兩勝的戰(zhàn)績?nèi)〉昧藙倮?。同樣的馬匹，僅僅調(diào)換了比賽順序，就得到了反敗為勝的結(jié)果。從算法角度看，每場(chǎng)比賽的賽馬次序編排都是一種算法，而孫臏的策略就是一種經(jīng)過優(yōu)化的算法。

同一問題可用不同算法解決，而一個(gè)算法的質(zhì)量將影響到算法、程序直至軟件的工作效率。衡量算法性能的主要指標(biāo)有時(shí)間復(fù)雜度、空間復(fù)雜度、正確性、健壯性等。就單純編程競賽來說，競賽要求每題的每個(gè)測(cè)試點(diǎn)數(shù)據(jù)應(yīng)在1s內(nèi)出運(yùn)算結(jié)果，也就是基本語句的運(yùn)算次數(shù)應(yīng)該控制108以內(nèi)，因此對(duì)于問題規(guī)模較大的題目，對(duì)算法進(jìn)行合理優(yōu)化是必不可少的；就宏觀應(yīng)用來說，假若將一個(gè)大的程序運(yùn)用到實(shí)際生產(chǎn)生活中時(shí)，算法的執(zhí)行效率將直接影響了生產(chǎn)效率，特別是，大數(shù)據(jù)時(shí)代到來，算法要處理的數(shù)據(jù)數(shù)量級(jí)越來越大，處理問題的場(chǎng)景也愈加千變?nèi)f化，因此，為提升算法的效率，對(duì)算法進(jìn)行優(yōu)化也是必不可少的環(huán)節(jié)。

2 數(shù)學(xué)思想在算法優(yōu)化中的作用

2.1 數(shù)學(xué)模型是算法優(yōu)化的基礎(chǔ)

人們使用計(jì)算機(jī)處理問題時(shí)，首先要對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行抽象，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而設(shè)計(jì)出解決的算法，然后再進(jìn)行編程、測(cè)試、調(diào)整，這是一個(gè)實(shí)際問題運(yùn)用計(jì)算機(jī)得以解決的過程。從這一過程可以看出，創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型是前提，數(shù)學(xué)模型能夠有效的把復(fù)雜的問題變簡單，化繁為簡，將一些復(fù)雜程度較高的、難以實(shí)現(xiàn)的編程問題，轉(zhuǎn)化成單一的、便于運(yùn)算的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。因此，在進(jìn)行算法優(yōu)化分析時(shí)首要的就是要發(fā)揮數(shù)學(xué)理論知識(shí)的優(yōu)勢(shì)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)并優(yōu)化算法，求得問題的有效解決方式。數(shù)學(xué)建模不僅密切了數(shù)學(xué)、算法與計(jì)算機(jī)編程的關(guān)系，同時(shí)也直接影響了算法的正確性與性能。

2.2 數(shù)學(xué)算法是計(jì)算機(jī)算法優(yōu)化的重要途徑

當(dāng)我們建立好數(shù)學(xué)模型后，將實(shí)際問題抽象化為單一簡單的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的時(shí)候，數(shù)學(xué)算法的使用對(duì)于計(jì)算機(jī)編程而言是必不可少的，是實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)編程算法優(yōu)化的重要途徑。如早期的數(shù)學(xué)算法代表——?dú)W幾里德算法，又名輾轉(zhuǎn)相除法，是為了求得最大公約數(shù)的一種遞回算法，每一步計(jì)算的輸出值就是下一步計(jì)算時(shí)的輸人值，這樣的算法在處理大數(shù)時(shí)效率很高，也是計(jì)算復(fù)雜性理論的開篇。再如秦九韶算法、更相減損術(shù)、中國剩余定理等等，這些數(shù)學(xué)算法對(duì)編程算法優(yōu)化都有著重大意義。除了諸如上述的經(jīng)典數(shù)學(xué)算法之外，重要的數(shù)學(xué)方法如歸納法、演繹法等，或是程序設(shè)計(jì)者自己綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，充分挖掘?qū)嶋H問題中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，所尋找的數(shù)學(xué)規(guī)律、推導(dǎo)的數(shù)學(xué)公式、得出的數(shù)學(xué)結(jié)論，都是算法優(yōu)化的重要途徑。在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)的算法，往往使得原本難以解決的問題得以解決，原本已解決的問題得以高效解決。

圖1：各因子對(duì)應(yīng)關(guān)系

圖2

圖3：行列值與所在圈數(shù)之間的關(guān)系圖

圖4

總之，數(shù)學(xué)思想是連接問題與算法的一座橋梁，有些問題利用這座橋可以更為方便快捷地往返于河兩岸，而還有一些問題，如果不利用這座橋可能根本無法到達(dá)河的對(duì)岸，因此，借助數(shù)學(xué)思想分析問題是進(jìn)行算法優(yōu)化的重要途徑。

3 實(shí)例踐析數(shù)學(xué)思想在算法優(yōu)化中的應(yīng)用策略

下面結(jié)合編程教學(xué)中的幾個(gè)具體實(shí)例，踐析數(shù)學(xué)思想在算法優(yōu)化中的應(yīng)用策略。

3.1 低階應(yīng)用——依據(jù)數(shù)學(xué)常識(shí)

求n以內(nèi)的完全數(shù)。

表1：不同方法運(yùn)行時(shí)間比較

表2

表3

完全數(shù)（Perfect number），又稱完美數(shù)或完備數(shù)，是一些特殊的自然數(shù)。它所有真因子（即除了自身以外的約數(shù)）的和，恰好等于它本身。第一個(gè)完全數(shù)是6（1+2+3=6），第二個(gè)完全數(shù)是28 (1+2+4+7+14=28)。若求n內(nèi)的完全數(shù)，需要對(duì)2-n以內(nèi)的每個(gè)數(shù)判斷是否是完全數(shù)（1不是完全數(shù)），因此本題關(guān)鍵在于如何判斷一個(gè)數(shù)i是否是完全數(shù)。對(duì)于這個(gè)問題可以用不同的數(shù)學(xué)方法來解決。

方法一：最直接的方法，從1到i-1每個(gè)數(shù)依次判斷其是否是i的真因子，若是則累加求和至sum，若sum=i,則說明i是完全數(shù)。

方法二：根據(jù)數(shù)學(xué)常識(shí)，對(duì)于某一整數(shù)i來說，其最大因子為i/2，在i/2～i-1范圍內(nèi)沒有數(shù)據(jù)可以整除此數(shù)。據(jù)此，我們可以把遍歷范圍縮小至1～i/2，這樣程序效率可提高一倍。

方法三：進(jìn)一步思考，若j是i的一個(gè)因子，則i/j一定也是i的因子，若已知1，2，4，5，10是100因子，相應(yīng)地即可得出100，50，25，20，10也是其因子（如圖1所示），據(jù)此，我們可以把遍歷范圍縮小至1～即可。

方法三改進(jìn)：sqrt函數(shù)一個(gè)求平方根的庫函數(shù),函數(shù)調(diào)用有一定的時(shí)間損耗,其次,內(nèi)部是浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算,效率也不高，乘法的效率比除法要高的多,因此我們對(duì)循環(huán)結(jié)束條件又做了一部分改進(jìn)（j*j<=i），程序效率會(huì)大大提高。

為了更加直觀對(duì)比各算法的運(yùn)行效率，我們分別對(duì)其進(jìn)行了n=10000,以及n=1000000的測(cè)試，程序運(yùn)行時(shí)間對(duì)比如表1。

利用簡單的數(shù)學(xué)常識(shí)，縮小數(shù)據(jù)范圍，對(duì)程序的局部進(jìn)行優(yōu)化，如對(duì)程序循環(huán)次數(shù)簡化等，從而達(dá)到提高程序工作效率的目的。

3.2 中階應(yīng)用——尋找數(shù)學(xué)規(guī)律

一個(gè)n行n列的螺旋矩陣可由如下方法生成：從矩陣的左上角（第1行第1列）出發(fā)，初始時(shí)向右移動(dòng)；如果前方是未曾經(jīng)過的格子，則繼續(xù)前進(jìn)，否則右轉(zhuǎn)；重復(fù)上述操作直至經(jīng)過矩陣中所有格子。根據(jù)經(jīng)過順序，在格子中依次填入 1,2,3,...,n2，便構(gòu)成了一個(gè)螺旋矩陣。圖2是一個(gè) n = 4 時(shí)的螺旋矩陣?，F(xiàn)給出矩陣大小 n 以及i和j，請(qǐng)你求出該矩陣中第i行第j列的數(shù)是多少。

方法一：最直接解法，建立一個(gè)二維數(shù)組a依次存放各個(gè)矩陣數(shù)據(jù)，然后輸出a[i][j]的值即可。而當(dāng)n=30000時(shí)，需要建立30000*30000的二維數(shù)組，結(jié)果會(huì)發(fā)生數(shù)據(jù)溢出且超出內(nèi)存上限。

方法二：我們可采用類似貪吃蛇的方法，讓它在n*n個(gè)方格內(nèi)自外向內(nèi)逐格移動(dòng)，控制其右轉(zhuǎn)的方向，直到到達(dá)i行j列位置，整個(gè)過程中移動(dòng)步數(shù)即為求解值。

方法三：在上一個(gè)方法中，若遇到極端情況——當(dāng)n=30000時(shí)候，求第15001行15000列的數(shù)是多少，需要移動(dòng)次數(shù)為900000000，顯然太慢，因此我們需要進(jìn)一步優(yōu)化?？紤]到貪吃蛇總是從外圍一圈圈地向目的地前進(jìn)，而每一圈剛好是一個(gè)正方形，我們可以先計(jì)算外圍各圈正方形的周長之和，再讓貪吃蛇從目的地所在圈的的左上角出發(fā)，計(jì)算其從出發(fā)地到目的地的長度就可以了。鑒于此，我們需要尋找如下幾個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)律：

（1）第i行j列位于第幾圈（假設(shè)為第x圈）

（2）前x-1圈，每一圈有多個(gè)數(shù)字；

（3）第i行j列位于第x圈的第幾個(gè)。

由圖3得數(shù)學(xué)規(guī)律：第i行第j列的所在的圈數(shù)x一定是（i,j,n+1-i,n+1-j）這四個(gè)數(shù)中的最小值；第1圈有(n-1)*4個(gè)數(shù)字，第2圈有(n-3)*4個(gè)數(shù)字，……，則第k圈有(n-2*k+1)*4個(gè)數(shù)字；我們只需要從所在x圈的左上角（x,x）位置出發(fā)，走到目的地（i,j）即可，最多走一圈，各算法效率比較如表2所示。

建立數(shù)學(xué)模型，尋找各數(shù)據(jù)之間內(nèi)在的數(shù)學(xué)關(guān)系，歸納數(shù)學(xué)規(guī)律，在此次基礎(chǔ)上優(yōu)化算法，往往大大提高算法性能。

3.3 高階應(yīng)用——借助數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)

如圖4，一條狹長的紙帶被均勻劃分出了n個(gè)格子，格子編號(hào)從1到n。每個(gè)格子上都染了一種顏色colori（用[1，m]當(dāng)中的一個(gè)整數(shù)表示），并且寫了一個(gè)數(shù)字numi。

定義一種特殊的三元組：(x,y,z)，其中 x，y，z 都代表紙帶上格子的編號(hào)，這里的三元組要求滿足以下兩個(gè)條件：(1) x,y,z都是整數(shù),x

方法一：最直接的解法，根據(jù)x,y,z的關(guān)系 y-x=z-y，雙重循環(huán)枚舉x,y，當(dāng)滿足條件colorx=colorz時(shí)求得該三元組分?jǐn)?shù)并累加起來。

方法二：方法一中如果n數(shù)值較大時(shí)，非常慢，因此需要充分挖掘數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，本題我們可以借助數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)：根據(jù)題意可知，三元組的分?jǐn)?shù)僅與x,z有關(guān)，與y無關(guān).假設(shè)編號(hào)為x1，x2，x3的元素彼此間都符合題目要求的2個(gè)條件，則它們必定奇偶性相同、顏色相同。我們假設(shè)同顏色元素個(gè)數(shù)k=3,則其三元組分?jǐn)?shù)之和表示為：

因此，我們只需要找出每一種顏色下編號(hào)同為奇數(shù)三元組分?jǐn)?shù)之和、編號(hào)同為偶數(shù)三元組分?jǐn)?shù)之和即可。如表3所示。

充分挖掘問題中的數(shù)據(jù)關(guān)系，借助數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)，得出結(jié)論，并在結(jié)論基礎(chǔ)上從整體架構(gòu)、設(shè)計(jì)算法，從而提高算法性能，達(dá)到事半功倍的效果。

4 結(jié)束語

計(jì)算機(jī)的學(xué)習(xí)離不開數(shù)學(xué)理論與知識(shí)的學(xué)習(xí)和運(yùn)用，數(shù)學(xué)算法是計(jì)算機(jī)編程的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)思想作為溝通問題與編程實(shí)現(xiàn)的一座橋梁，有著極其廣泛的應(yīng)用。它不僅可以直接為解題提供思路，如果與其他算法或者思想相結(jié)合，還能夠起到很好的輔助作用。通過數(shù)學(xué)模型的建立，利用數(shù)學(xué)算法對(duì)編程邏輯進(jìn)行分析設(shè)計(jì)，不斷優(yōu)化數(shù)學(xué)算法，降低其時(shí)間復(fù)雜度、空間復(fù)雜度。在你覺得“山窮水復(fù)疑無路”時(shí)，不妨用數(shù)學(xué)的角度重新審視問題，也許就會(huì)“柳暗花明又一村”。