一維有限深勢(shì)阱的轉(zhuǎn)移矩陣法求解

陳鳳翔 曹功輝 汪禮勝

(武漢理工大學(xué)理學(xué)院物理科學(xué)與技術(shù)系，湖北 武漢 430070)

一維勢(shì)阱是量子力學(xué)中最簡(jiǎn)單最基本的模型，在量子力學(xué)教學(xué)和科研過程中起著基礎(chǔ)性作用[1]。其理論結(jié)果在許多實(shí)際系統(tǒng)中也得到了很好的應(yīng)用，比如在低維量子系統(tǒng)(如量子點(diǎn)、量子面、量子線等)中[2]。但作為量子力學(xué)中的基本方程，薛定諤方程[3]的求解卻并不簡(jiǎn)單，在《量子力學(xué)》課程的教學(xué)過程中，除了一維無限深勢(shì)阱、一維諧振子勢(shì)等特殊一維情形有解析解外，一般情形很難求解。即使對(duì)于處在一維有限深勢(shì)阱中的運(yùn)動(dòng)的粒子，當(dāng)其處于束縛態(tài)時(shí)，由于確定其能級(jí)的是超越方法，無法具體給出它們的能級(jí)的解析表達(dá)式和歸一化波函數(shù)[4]。

薛定諤方程的求解可分為解析法和數(shù)值法兩種，解析法主要有WKB法、變分法等，數(shù)值法有打靶法[5]和有限元(FEM)法等。作為一種有益的探索，本文以處理多層光波導(dǎo)問題的轉(zhuǎn)移矩陣(TM)法為算法，求解粒子在不同一維有限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的能量本征值，并利用Matlab作為計(jì)算工具，繪制出對(duì)應(yīng)的波函數(shù)圖像。采用TM方法計(jì)算，通過不同勢(shì)阱的設(shè)置，可以得到定性的準(zhǔn)解析規(guī)律性結(jié)論，為解釋實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象提供重要的理論依據(jù)。而且，在《量子力學(xué)》課程的學(xué)習(xí)中，學(xué)生可借助不同勢(shì)阱的計(jì)算分析將理論學(xué)習(xí)進(jìn)行拓展，更直觀更透徹地理解一維勢(shì)阱相關(guān)方面的知識(shí)點(diǎn)，加深對(duì)相關(guān)物理概念的理解。

1 轉(zhuǎn)移矩陣法

1.1 算法應(yīng)用依據(jù)

轉(zhuǎn)移矩陣法起源于光學(xué)，用于計(jì)算多層薄膜介質(zhì)的反射率和透射率。在光波導(dǎo)技術(shù)中，轉(zhuǎn)移矩陣法用來建立不同介質(zhì)層間的場(chǎng)分布聯(lián)系。而經(jīng)過對(duì)比發(fā)現(xiàn)：不含時(shí)的薛定諤方程與平板波導(dǎo)的波動(dòng)方程在形式上是一致的；同時(shí)一維勢(shì)阱模型與平板波導(dǎo)模型相類似，因而轉(zhuǎn)移矩陣法也能夠用于解決一維有限深勢(shì)阱問題[6]。

平板波導(dǎo)的波動(dòng)方程為[7]

(1)

其中k0=2π/λ，是光在真空中的傳播常數(shù)，Ey為y方向的電場(chǎng)，β為電磁場(chǎng)沿z方向的傳播常數(shù)，nj對(duì)應(yīng)于波導(dǎo)中不同層的折射率，j=0,1,2。

不含時(shí)的一維薛定諤方程形式為

其中V(x)表示勢(shì)能，m為粒子質(zhì)量，E和ψ分別代表粒子的能量本征值和本征函數(shù)，上式經(jīng)過變形，有：

(2)

對(duì)比方程(2)與方程(1)即可發(fā)現(xiàn)：這兩個(gè)方程在形式上是一致的，方程(2)中的本征函數(shù)ψ即對(duì)應(yīng)方程(1)中的電場(chǎng)強(qiáng)度Ey，因此兩個(gè)方程可采用相同的方法求解。

按照波動(dòng)光學(xué)理論，光波是電磁橫波，光波在空間任意位置的電磁場(chǎng)強(qiáng)度及所在介質(zhì)性能之間的聯(lián)系都是通過Maxwell方程組和物質(zhì)方程建立，電磁波在兩種介質(zhì)形成的界面上反射和透射時(shí)的振幅反射因數(shù)和透射因數(shù)均可以由菲涅耳公式確定。若是一個(gè)多界面的薄膜系統(tǒng)，則根據(jù)以下兩點(diǎn)[8]：(1)在每一界面處運(yùn)用電磁場(chǎng)邊界條件，將同一界面兩側(cè)的場(chǎng)分布聯(lián)系起來；(2)利用與電磁場(chǎng)傳播相伴隨的相位差，將同一膜層上下兩界面內(nèi)側(cè)的場(chǎng)分布聯(lián)系起來，可將多界面系統(tǒng)看作是入射介質(zhì)與薄膜、基底形成的等效介質(zhì)之間的界面。將以上思路應(yīng)用到任何一個(gè)復(fù)雜的薄膜系統(tǒng)，此時(shí)系統(tǒng)中光反射率和透射率問題，都可以通過其等效界面對(duì)應(yīng)的等效介質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。等效介質(zhì)的光譜特性可以采用一個(gè)特征矩陣來表示，該矩陣也稱之為轉(zhuǎn)移矩陣。

非對(duì)稱平板波導(dǎo)的模型如圖1所示。通常來說折射率有n1>n0>n2，導(dǎo)波光可被約束在導(dǎo)波層中進(jìn)行傳播。將導(dǎo)波光類比為勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子，粒子會(huì)被約束在勢(shì)能較低處運(yùn)動(dòng)，則導(dǎo)波層可看作勢(shì)阱中勢(shì)能低的地方，襯底層和覆蓋層可看作勢(shì)能相對(duì)較高的地方。從這一角度看，勢(shì)阱中粒子運(yùn)動(dòng)的模型和波導(dǎo)中導(dǎo)波光的傳播模型是一致的?；谝陨戏治觯蓪⑥D(zhuǎn)移矩陣法應(yīng)用到不含時(shí)薛定諤方程的求解。而在實(shí)際應(yīng)用中，例如超晶格量子阱，雖然由能隙不同的材料組成可以形成復(fù)雜的勢(shì)阱，但系統(tǒng)的基本特征完全可以通過有限深勢(shì)阱問題獲得很好的理解[2]。

圖1 非對(duì)稱平板波導(dǎo)模型

1.2 建模與求解

對(duì)方程(1)的求解，首先選取兩個(gè)特解E1(x)和E2(x)，使之滿足E1(0)=E′2(0)=1和E′1(0)=E2(0)=0。則方程(1)的通解可設(shè)為E1(x)和E2(x)的線性疊加，即

Ey(x)=C1E1(x)+C2E2(x)

(3)

在區(qū)間(0，d)界面上，根據(jù)(3)式可給出場(chǎng)分布及其導(dǎo)數(shù)，建立0-d界面上的轉(zhuǎn)移關(guān)系：

(4)

(5)

可以看出，轉(zhuǎn)移矩陣僅和區(qū)間內(nèi)的折射率分布、傳播常數(shù)以及d有關(guān)。借助轉(zhuǎn)移矩陣M，界面x= 0和x=d處的電磁場(chǎng)分布建立起聯(lián)系。而利用矩陣逆陣的概念，可得反向傳遞關(guān)系，有：

(6)

由于矩陣M及其逆陣是互為逆矩陣的關(guān)系，通常兩者都被稱為轉(zhuǎn)移矩陣。

轉(zhuǎn)移矩陣法理論上可以求解任意的一維勢(shì)阱，一維勢(shì)阱的基本型就是一維方勢(shì)阱或一維類方勢(shì)阱。對(duì)于基本的一維方勢(shì)阱，勢(shì)能分布如圖2所示。

圖2 一維方勢(shì)阱

對(duì)應(yīng)束縛態(tài)的波函數(shù)為[7]

(7)

其中

(8)

由轉(zhuǎn)移矩陣?yán)碚摚ê瘮?shù)ψ(x)及其一階導(dǎo)數(shù)ψ′(x)應(yīng)滿足矩陣方程

(9)

根據(jù)束縛態(tài)波函數(shù)以及一維方勢(shì)阱勢(shì)能分布，可以得到波函數(shù)邊界條件

(10)

將邊界條件代入矩陣方程并進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的變換，就可得到方程

(11)

求解方程(11)即可獲得粒子的能量E和相應(yīng)的波函數(shù)ψ(x)。

圖3 一維任意勢(shì)阱

根據(jù)以上算法，可將一維方勢(shì)阱推廣到任意的一維任意勢(shì)阱。對(duì)于一維任意勢(shì)阱，其勢(shì)能分布如圖3所示。在x<0和x>d的區(qū)域，波函數(shù)已衰減到足夠小，勢(shì)場(chǎng)的變化帶來的影響微乎其微，因此可在這兩點(diǎn)截?cái)?，考慮x<0時(shí)，V(x)=V0，x>d時(shí)，V(x)=V2(V0，V2均為有限值)。在0

(12)

于是有

(13)

若在0E，即勢(shì)場(chǎng)能量高于粒子能量，此時(shí)可定義

κi=iαi

(14)

利用恒等式

sin(ix)=isinh(x),cos(ix)=cosh(x)

則無需改變運(yùn)算規(guī)則，同樣可利用轉(zhuǎn)移矩陣方法運(yùn)算?？梢园l(fā)現(xiàn)計(jì)算過程中微元細(xì)分得越多，得到的能量本征值和波函數(shù)就越精確。

2 四種一維有限深勢(shì)阱計(jì)算結(jié)果

圖4給出了采用Matlab計(jì)算的流程圖。對(duì)于不同的有限深勢(shì)阱，在勢(shì)阱形狀參數(shù)設(shè)定后，可根據(jù)方程(11)求解粒子能量E值，如果E值滿足束縛態(tài)條件，則繼續(xù)運(yùn)行得到勢(shì)阱中的波函數(shù)和粒子的位置分布概率圖示。

圖4 一維有限深勢(shì)阱中波函數(shù)、位置分布概率圖像繪制流程圖

2.1 一維對(duì)稱有限深勢(shì)阱

圖5(a)為一維對(duì)稱有限深方勢(shì)阱，圖中勢(shì)阱為2nm寬，兩邊勢(shì)壘高度為2eV，勢(shì)阱內(nèi)以不同顏色的線從低到高分別來表示n=1,2,3所對(duì)應(yīng)的基態(tài)能量和激發(fā)態(tài)能量。圖5(b)和圖5(c)則分別給出了相對(duì)應(yīng)能級(jí)的波函數(shù)和位置分布概率。在實(shí)際物理問題中，微觀粒子可以被勢(shì)阱所束縛，但勢(shì)阱并不是無限深，而是幾個(gè)電子伏的有限深勢(shì)阱。從圖5中結(jié)果可以看出：有限深勢(shì)阱中粒子的能量仍然是離散化的；在基態(tài)情況下，微觀粒子最可能的位置仍然是位于勢(shì)阱正中。此結(jié)果表明，無限深勢(shì)阱雖是一個(gè)理想模型，但在一定條件下，很多系統(tǒng)都可以抽象為無限深勢(shì)阱問題來處理。但有限深勢(shì)阱結(jié)果和無限深勢(shì)阱結(jié)果仍略有不同。由于微觀粒子并不能穿透無限深勢(shì)阱，因此在無限深勢(shì)阱中粒子波函數(shù)表現(xiàn)為在邊界上截?cái)嗟恼也?，而有限深?shì)阱中，無論是處于基態(tài)還是激發(fā)態(tài)，粒子均有一定幾率穿出勢(shì)阱，粒子波函數(shù)延續(xù)超出勢(shì)阱邊界，而且隨著粒子能量的增加，穿出勢(shì)阱的概率逐漸增大。

2.2 一維不對(duì)稱有限深勢(shì)阱

在三層材料體系中，若是左右兩邊生長(zhǎng)的薄層材料不一樣，則為不對(duì)稱有限深勢(shì)阱，如常見的非對(duì)稱平板波導(dǎo)結(jié)構(gòu)。圖6(a)給出了不對(duì)稱有限深勢(shì)阱的典型結(jié)構(gòu)，為便于與圖5結(jié)果對(duì)比，勢(shì)阱仍設(shè)置為2nm寬，但左勢(shì)壘高度降為1eV，而右勢(shì)壘高度保持為2eV。圖6(b)給出n=1,3,5時(shí)的粒子波函數(shù)結(jié)果，可以看出：當(dāng)粒子能量較低時(shí)，如n=1,3時(shí)，此時(shí)不對(duì)稱勢(shì)阱對(duì)粒子的波函數(shù)并無太大影響；而當(dāng)粒子能量較高，如n=5時(shí)，粒子能量高于左勢(shì)壘，此時(shí)的波函數(shù)連續(xù)進(jìn)入左勢(shì)壘，類似波導(dǎo)結(jié)構(gòu)中的“輻射?！?。而從圖6(c)來看，不對(duì)稱勢(shì)阱對(duì)粒子的位置分布概率也有影響，n=1基態(tài)時(shí)位置分布概率不對(duì)稱情形并不明顯，但隨著能量的升高，如n=3時(shí)，位置分布概率的不對(duì)稱性明顯增加，粒子進(jìn)入低勢(shì)壘側(cè)的幾率增大，

圖6 一維不對(duì)稱有限深勢(shì)阱結(jié)果演示(a) 勢(shì)阱； (b) 波函數(shù)； (c) 位置分布概率

而對(duì)于n=5，粒子有更高的概率存在于低勢(shì)壘中。

2.3 一維類三角勢(shì)阱

超晶格量子阱物理自20世紀(jì)70年代以來得到了長(zhǎng)足的發(fā)展，不同形式的載流子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律及在外場(chǎng)作用下的輸運(yùn)問題得到較好的研究[9]。在半導(dǎo)體器件中，單個(gè)異質(zhì)界面，如MOS結(jié)構(gòu)中Si/SiO2，GaAs/AlGaAs界面附近，載流子被限制在一很窄的勢(shì)阱中，通常將這類勢(shì)阱稱為類三角量子阱，這是在電子器件問題中最常遇到的情形[10]，同樣可以采用TM理論來討論類三角勢(shì)阱中的波函數(shù)分布。

圖7 一維類三角勢(shì)阱結(jié)果演示(a) 勢(shì)阱； (b) 波函數(shù)； (c) 位置分布概率

圖7給出了一維類三角勢(shì)阱的形式、波函數(shù)與位置分布概率的演示，給出的能級(jí)分別為n=1,2,3。從圖7(a)來看，此時(shí)勢(shì)阱中能級(jí)分布并不是均勻的，隨能級(jí)升高，能級(jí)間的能量間隔逐漸減小。在圖7(b)中，粒子的波函數(shù)在勢(shì)阱左端全部為零，這是因?yàn)樵趯?shí)際的Si/SiO2界面，勢(shì)壘高度可到3eV，波函數(shù)向勢(shì)壘區(qū)滲入的影響完全可以忽略，效果類似無限深勢(shì)阱中的“剛性壁”。而從圖7(c)來看，隨能級(jí)升高，粒子的分布概率呈準(zhǔn)周期性的振蕩，振蕩周期越來越大，振蕩幅度也越來越大，粒子很容易穿出右側(cè)勢(shì)阱而到達(dá)勢(shì)阱外。對(duì)比分析類三角勢(shì)阱和方勢(shì)阱，可以發(fā)現(xiàn)：方勢(shì)阱的底部水平，因此能量一定時(shí)德布羅意波長(zhǎng)是個(gè)常數(shù)，對(duì)應(yīng)波函數(shù)相鄰兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的間距相等，這滿足正弦函數(shù)的數(shù)學(xué)表征[9]；而對(duì)于類三角勢(shì)阱，勢(shì)阱底部從左到右上升，粒子的能量與勢(shì)能之差減小，因此能量一定時(shí)德布羅意波長(zhǎng)從左到右不斷增大，波函數(shù)相鄰兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的間距越來越大，振蕩周期就越來越大。

2.4 一維有限對(duì)稱雙階梯勢(shì)阱

在半導(dǎo)體多層材料體系中，不同材料間的緩沖層設(shè)計(jì)可用來減少材料間的晶格失配，降低材料的表面、界面復(fù)合，形成的雙面異質(zhì)結(jié)的能帶結(jié)構(gòu)，則對(duì)應(yīng)圖8(a)中的對(duì)稱雙階梯勢(shì)阱，也可以將它視為一個(gè)簡(jiǎn)化的雙勢(shì)阱模型[11]。

圖8 一維有限雙階梯勢(shì)阱結(jié)果演示(a) 勢(shì)阱； (b) 波函數(shù)； (c) 位置分布概率

圖8(b)中給出了n=1,3,5時(shí)的波函數(shù)演示結(jié)果。從圖(b)中可以看出，在對(duì)稱勢(shì)阱中，波函數(shù)的分布始終是對(duì)稱的。當(dāng)n=5時(shí)，粒子的相應(yīng)能量高于較低勢(shì)阱，此時(shí)波函數(shù)連續(xù)進(jìn)入了中間勢(shì)阱。而從圖8(c)的位置分布概率來看，此時(shí)粒子有更高的概率進(jìn)入在中間勢(shì)阱中。

3 總結(jié)

本文將處理光導(dǎo)波問題的TM法成功運(yùn)用到求解一維有限深勢(shì)阱的不含時(shí)薛定諤方程中，得到了粒子在不同勢(shì)阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)的能量本征值，并給出了粒子波函數(shù)和位置分布概率的圖像，直觀地反映出粒子在勢(shì)阱內(nèi)的分布情況。借助Matlab強(qiáng)大的計(jì)算功能，可根據(jù)實(shí)際的物理問題和物理圖像，對(duì)四種不同的一維有限深勢(shì)阱進(jìn)行設(shè)置，直觀地顯示不同勢(shì)阱中的計(jì)算結(jié)果，這對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)《量子力學(xué)》是一個(gè)很好的輔助應(yīng)用，能夠幫助學(xué)生更深入地理解粒子在勢(shì)場(chǎng)內(nèi)的位置分布概率、運(yùn)動(dòng)行為等，加深對(duì)量子知識(shí)的理解。