“三探三思”：借微專(zhuān)題提升初三學(xué)生的幾何綜合能力

高 飛

（沈陽(yáng)市第一三四中學(xué))

“一切為了學(xué)生的發(fā)展”是新課程改革的核心理念之一，它要求學(xué)校教育教學(xué)方針的制定及管理方式的運(yùn)用都要建立在以學(xué)生為本的基礎(chǔ)上，要有利于促進(jìn)學(xué)生的健康成長(zhǎng)，要有利于學(xué)生的終身發(fā)展，要以學(xué)生獲得今后走向社會(huì)的基本能力為出發(fā)點(diǎn)。這些基本能力包括自主學(xué)習(xí)的能力、與人合作的能力、信息收集的能力以及信息處理的能力，而這些能力在初三幾何學(xué)習(xí)過(guò)程中都有綜合體現(xiàn)。

初三階段的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)間緊，任務(wù)重。在對(duì)“圖形與幾何”這部分內(nèi)容進(jìn)行復(fù)習(xí)時(shí)，我發(fā)現(xiàn)有如下?tīng)顩r存在：首先，“圖形與幾何”這一內(nèi)容是初中數(shù)學(xué)新課程改革后的重要組成部分。從整個(gè)北師版教材的課時(shí)安排來(lái)看，“圖形與幾何”知識(shí)占據(jù)的比重很大，與其他章節(jié)的聯(lián)系很密切，在教材中的地位也非常高；從教材的編排上來(lái)看，“圖形與幾何”知識(shí)跨越整個(gè)初中三年的數(shù)學(xué)教學(xué)，“戰(zhàn)線(xiàn)”較長(zhǎng)，學(xué)生整體感較弱；從近幾年的中考知識(shí)考察來(lái)看，“圖形與幾何”的知識(shí)大約占整個(gè)考卷的55%以上，是中考學(xué)生得到理想分?jǐn)?shù)的“必爭(zhēng)之地”；從試卷出題的角度看，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從單獨(dú)命題到幾何綜合或者代幾綜合，難度跨越也很大，學(xué)生掌握起來(lái)有困難。其次，在初三數(shù)學(xué)備考的一輪復(fù)習(xí)中，很多教師在對(duì)“圖形與幾何”這部分內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時(shí)，大多是按照數(shù)與代數(shù)、空間與幾何、概率與統(tǒng)計(jì)這樣的知識(shí)模塊，遵循著“先復(fù)習(xí)相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)，然后按照知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)典型例題，做對(duì)應(yīng)習(xí)題的方式進(jìn)行復(fù)習(xí)”的模式。這樣復(fù)習(xí)的缺點(diǎn)是知識(shí)點(diǎn)仍然獨(dú)立，例題與例題之間沒(méi)有承接，缺乏數(shù)學(xué)知識(shí)的整體聯(lián)系，不利于數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。學(xué)生復(fù)習(xí)后仍然停留在現(xiàn)有水平，不能得到更好的發(fā)展。對(duì)于大多數(shù)學(xué)生而言，他們能夠掌握最基本的知識(shí)內(nèi)容及簡(jiǎn)單做法，但是不具備很強(qiáng)的題目綜合能力，無(wú)法完成難度較大的題目，這就需要教師為他們搭出向上的階梯，指明思考的方向。適當(dāng)?shù)貞?yīng)用微專(zhuān)題來(lái)進(jìn)行教學(xué)，可使課堂的教學(xué)主題明確、集中。由于選擇的例題、習(xí)題都為同一主題而服務(wù)，從而讓學(xué)生能夠?qū)δ骋恢R(shí)點(diǎn)從理論到實(shí)踐都有一個(gè)認(rèn)識(shí)的過(guò)程，能進(jìn)一步提升解題能力、思維能力，不失為一個(gè)有效教學(xué)途徑。

一、“一探”引例尋出路，憶思專(zhuān)題知識(shí)點(diǎn)（引例+相關(guān)知識(shí)點(diǎn)）

微專(zhuān)題是指教師針對(duì)某一具體知識(shí)點(diǎn)、能力點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)或檢測(cè)點(diǎn)，從其涉及的基本概念、基本原理或基本方法入手，精選例題和習(xí)題，編制成的能夠在一節(jié)或兩節(jié)課內(nèi)完成的專(zhuān)題（教學(xué)任務(wù)）。其主要目的是幫助學(xué)生更好地彌補(bǔ)盲點(diǎn)、強(qiáng)化重點(diǎn)、突破難點(diǎn)、糾正易錯(cuò)點(diǎn)。也就是說(shuō)，教師要在教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生比較集中的問(wèn)題，經(jīng)過(guò)梳理整合，確定編制微專(zhuān)題的主題，然后精選與該主題相關(guān)的典型例題來(lái)進(jìn)行教學(xué)。更為重要的是，要通過(guò)對(duì)典型問(wèn)題的分析，總結(jié)出一般的規(guī)律、方法或者技巧，最后通過(guò)一定數(shù)量的相關(guān)練習(xí)進(jìn)行鞏固拓展，進(jìn)而讓學(xué)生提高解題能力。

在教學(xué)中，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)需要，我結(jié)合微專(zhuān)題的特點(diǎn)，總結(jié)出了“三探三思”微專(zhuān)題教學(xué)法，其基本的教學(xué)模式及操作方法如下圖所示。

（一）設(shè)計(jì)引例

引例是“三探三思”微專(zhuān)題教學(xué)法的入口，要想獲得好的教學(xué)質(zhì)量，必須設(shè)計(jì)出適當(dāng)且高質(zhì)量的引例。引例的設(shè)計(jì)要有一定的思維容量和思維強(qiáng)度，需要經(jīng)過(guò)努力思考才能解決的問(wèn)題才是最適合的問(wèn)題。

在設(shè)置問(wèn)題引例時(shí)，我遵循了以下幾個(gè)原則：

1.符合要求，特點(diǎn)鮮明

由于互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，我們很容易能看到各年份的全國(guó)各地的中考題，其數(shù)目龐大。因此，我會(huì)選擇那些符合沈陽(yáng)市命題特點(diǎn)的題目作為引例。近幾年沈陽(yáng)的綜合題目大多是3～4個(gè)問(wèn)題，由淺入深，問(wèn)題內(nèi)部思維方法相互關(guān)聯(lián)。而三角形的綜合題目考察多從教材上的母題入手，在圖形變化中考察知識(shí)。

2.方法統(tǒng)一，前后貫穿

數(shù)學(xué)的綜合題目，涉及的知識(shí)比較廣泛，命題者為了考察學(xué)生的綜合思維能力，往往會(huì)把很多知識(shí)點(diǎn)融合在一起，那種難度過(guò)大，多種知識(shí)點(diǎn)混雜的題目就不適合作為引例使用。我們要選擇的題目是那種解題方法非常針對(duì)本節(jié)微專(zhuān)題的內(nèi)容的題目，從而讓學(xué)生在上課前對(duì)教師要講授的知識(shí)和方法有一個(gè)初步的理解，不能解決的也可以帶著問(wèn)題學(xué)習(xí)。

3.由淺入深，層層遞進(jìn)

引例的問(wèn)題要有層次，做到“入口易，出口難”，“入口易”是指題目為是中等偏下水平的學(xué)生也要很熟悉，解題快速?！俺隹陔y”是指題目的呈現(xiàn)有很大變化，大多需要添加輔助線(xiàn)復(fù)原模型，才能解題，從而達(dá)到對(duì)學(xué)生的思維能力的提升。

（二）設(shè)置相關(guān)知識(shí)點(diǎn)

要設(shè)置微專(zhuān)題所涉及的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，給出每一個(gè)微專(zhuān)題所用到的教材中的基礎(chǔ)的定理、定義，明晰內(nèi)容，規(guī)范書(shū)寫(xiě)。如“手拉手”問(wèn)題。

【問(wèn)題探究】

如圖1，銳角△ABC中，分別以AB、AC為邊向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由。

【深入探究】

如圖2，四邊形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的長(zhǎng)。

如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)△ACD在線(xiàn)段AC的左側(cè)時(shí)，求BD的長(zhǎng)。

圖1

圖2

圖3

這道引例是“手拉手”問(wèn)題中非常典型的例子，其模型單一，并且涉及到的知識(shí)點(diǎn)相對(duì)集中，符合沈陽(yáng)市近幾年的命題方式。題目的三個(gè)問(wèn)題有層次，分別適合低、中、高能力的學(xué)生解答。第一個(gè)問(wèn)題，學(xué)生在七年級(jí)學(xué)完全等知識(shí)之后就開(kāi)始接觸這類(lèi)問(wèn)題，非常熟悉。中間的問(wèn)題則需要學(xué)生根據(jù)第一問(wèn)題的解答方法做輔助線(xiàn)，構(gòu)造出“手拉手”的模型。最后一問(wèn)不但需要學(xué)生自己構(gòu)造出“手拉手”模型，還需要變換方向。這道題目對(duì)于學(xué)生從更高角度體會(huì)“手拉手”模型有很大的幫助。為了讓學(xué)生明晰此模型的基本原理，題目最后還以填空的形式復(fù)習(xí)了定理的內(nèi)容。

二、“二探”范例索途徑，巧思模型通用法（例題+模型+習(xí)題）

（一）典型例題，見(jiàn)微知著

我在選取例題時(shí)采取了以下的方法：

1.分解難度，呈現(xiàn)精華

課堂上所選取的例題，均為問(wèn)題背景單一、敘述簡(jiǎn)單、未經(jīng)過(guò)變化的題目，這類(lèi)題目可以根據(jù)教師授課的需要編寫(xiě)，也可以在復(fù)雜的題目中抽取出自己想要的題干。我認(rèn)為，在進(jìn)行專(zhuān)題教學(xué)時(shí)，一定要剔除掉那些屬于另外一個(gè)難點(diǎn)范疇的問(wèn)題，避免課堂上學(xué)生因?yàn)槠渌y點(diǎn)的干擾，造成思維的困惑，使得課堂教學(xué)主次不分。如下邊的這道題目：

基本問(wèn)題：如下圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且點(diǎn)B、A、D在同一條直線(xiàn)上，連接CD、BE，M、N分別為BE、CD的中點(diǎn)，連接MN、AM、AN.請(qǐng)判斷△AMN的形狀，并說(shuō)明理由。

這道題目就不適合作為例題。原因是圖形的推導(dǎo)比較復(fù)雜，位置也不夠隨意，推導(dǎo)的過(guò)程方法不通用，不適合大多數(shù)的學(xué)生作為基礎(chǔ)圖形記憶理解。

所以，我們要把這樣的題目進(jìn)行修改，變成如下的方式呈現(xiàn)：

在△ABC和△ADE中，AO=BO，OD=CO，∠BAC=∠DAE＝α，你能得到那些結(jié)論？

練習(xí)1：在上圖中分別取BD和AC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接OE，OF，EF，則上述結(jié)論是否還成立？你還能得到哪些結(jié)論？（如下圖）

練習(xí)2：如下圖，已知AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠DAE=ɑ，點(diǎn)N、點(diǎn)M分別為CD、BE的中點(diǎn)。

求證：①BE=AC；②AN=AM。

通過(guò)這樣的改變，我實(shí)現(xiàn)了以下幾個(gè)目的：

（1）使題目變得具有典型性、基礎(chǔ)性、示范性，更利于學(xué)生掌握、記憶

（2）分解了原題的難度，在例題和習(xí)題的配合下，學(xué)生理解原題目的變換由來(lái)，加深了對(duì)模型的理解。

（3）使微專(zhuān)題的思路前后貫穿，難度緩慢提高。

2.類(lèi)型全面，階梯上升

對(duì)于一個(gè)微專(zhuān)題的模型，題目的變化是多種多樣的，例題要把這些變化的最基礎(chǔ)形式反映全面。主要需要考慮的方面有：知識(shí)層面、方法層面、思維層面以及模型自身特點(diǎn)等。如我選取的“手拉手”模型的例題：

基本問(wèn)題一：如下圖，兩個(gè)有公共頂點(diǎn)的等邊△AOB和△COD，你能得到哪些結(jié)論？

基本問(wèn)題二：將上題中“∠AOB＝∠COD＝60°”改為“∠AOB＝∠COD＝α”，如下圖，其他條件不變，那么上述結(jié)論又會(huì)有怎樣的變化呢？

基本問(wèn)題三：如 下圖，在Rt △ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，連接DE，將△EDC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α。

（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)

（2）拓展探究

試判斷：當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)的大小有無(wú)變化？請(qǐng)僅就其中圖的情形給出證明。（3）問(wèn)題解決

當(dāng)△EDC旋轉(zhuǎn)至A，D，E三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，直接寫(xiě)出線(xiàn)段BD的長(zhǎng)。

在選取這些例題時(shí)，我的思考是：知識(shí)點(diǎn)的角度涵蓋了三角形的全等證明和相似證明；從方法的角度，涵蓋了無(wú)輔助線(xiàn)證明到輔助線(xiàn)添加；從模型角度涵蓋了模型完整的類(lèi)型到自主構(gòu)建模型的類(lèi)型；從思維的角度涵蓋了基礎(chǔ)思維到高層次思維。

（二）基本模型，一通百通

給出每一個(gè)專(zhuān)題所涉及的典型方法，這是整個(gè)微專(zhuān)題的中心之所在。要讓學(xué)生在此過(guò)程中提煉出本節(jié)微專(zhuān)題的典型特點(diǎn)，適用于這樣特點(diǎn)題目的典型方法。這是每節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)。這部分的講解應(yīng)該包括模型定義，模型特點(diǎn)，通用方法，常用結(jié)論四個(gè)部分。如＂手拉手＂的基礎(chǔ)問(wèn)題二的歸納總結(jié)。

模型：如下圖所示的兩個(gè)頂角相等且有共頂點(diǎn)的等腰三角形形成的圖形。（左手拉左手，右手拉右手）

方法：可證通過(guò)“邊角邊”定理證明△AOC?△BOD。

重要結(jié)論：AC=BD，∠APB=∠AO’B，若PO連線(xiàn)，則PO平分∠BPC。

全等、相似“手拉手”模型說(shuō)明：這個(gè)模型是由兩個(gè)共頂點(diǎn)且頂角的三角形構(gòu)成的，在相對(duì)位置變化的同時(shí)，始終存在一對(duì)全等或者相似的三角形；遇到“手拉手”模型時(shí)我們可以采用“邊角邊”的方法進(jìn)行證明；“手拉手”模型常和旋轉(zhuǎn)結(jié)合，在考試中作為幾何綜合題目出現(xiàn)。

（三）鞏固練習(xí)，舉一反三

每道例題后的習(xí)題選擇也很重要，我按照如下的原則選擇習(xí)題：與例題的模型方法必須一致，達(dá)到模仿熟悉的目的；對(duì)例題的背景進(jìn)行更高思維量的變形，達(dá)到對(duì)模型的深層思考；習(xí)題的題干盡量能與例題一致，可以節(jié)省課堂時(shí)間。

如上述的“手拉手”模型基本問(wèn)題二的兩道習(xí)題。對(duì)應(yīng)練習(xí)1 是對(duì)基本問(wèn)題二的延伸和拓展，學(xué)生在證明此題目的過(guò)程中，加深了對(duì)手拉手問(wèn)題的理解；化解了原有題目的難度，分層次的把題目的思維角度展現(xiàn)給了學(xué)生。這樣做的目的是讓學(xué)生明確，在條件改變的情況下，怎樣從題目背景中分辨出手拉手模型，并且利用手拉手模型結(jié)論繼續(xù)證明出其他問(wèn)題。對(duì)應(yīng)訓(xùn)練2是對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1圖形的變形，目的是讓學(xué)生能夠在圖形變化較大的情況下，仍然能準(zhǔn)確的找到證明“手拉手”模型的條件，并且熟練解決問(wèn)題。

微專(zhuān)題方法的應(yīng)用是每節(jié)課的教學(xué)重難點(diǎn)，也是是教學(xué)活動(dòng)的落腳點(diǎn)，對(duì)整個(gè)教學(xué)活動(dòng)具有很強(qiáng)的引領(lǐng)性，所以在難點(diǎn)處設(shè)計(jì)的練習(xí)題需要是具有導(dǎo)向性的問(wèn)題，突破難點(diǎn)，達(dá)到深刻理解的目的。

三、“三探”復(fù)例求提升，善思數(shù)學(xué)多變化（復(fù)做引例+反思提升）

（一）復(fù)做引例

教學(xué)對(duì)于教師來(lái)說(shuō)，是一個(gè)至關(guān)重要的過(guò)程，而思考對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)更重要。教師對(duì)教學(xué)思想的理解不僅要建立在以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)上，更要以客觀(guān)的、辯證的思想觀(guān)來(lái)向?qū)W生傳遞信息。因此，在授課后讓學(xué)生用所學(xué)到的模型思想重新思考引例，尋找問(wèn)題突破口，解決問(wèn)題，可以達(dá)到自身的融會(huì)貫通。教師也可以通過(guò)學(xué)生復(fù)做引例的成績(jī)對(duì)比，及時(shí)修改學(xué)案和課堂教學(xué)，使得課堂教學(xué)更為精準(zhǔn)。

（二）反思提升

反思提升部分的習(xí)題是針對(duì)部分學(xué)有余力的學(xué)生設(shè)計(jì)的題目，體現(xiàn)了學(xué)生在學(xué)習(xí)上的差異性。這部分習(xí)題選擇的思路用到了微專(zhuān)題的模型思路和方法，但是習(xí)題的給出超越了單一知識(shí)的命題范疇，讓學(xué)生從更加廣闊的背景認(rèn)識(shí)到了模型的精髓，以達(dá)到了真正的知識(shí)遷移。具體要求是，延伸課堂的思維方法，增加思維量，添加輔助線(xiàn)。

還以“手拉手”模型為例，在課后的反思提升中，我們可以繼續(xù)呈現(xiàn)給學(xué)生如下的圖形變化：

這些圖形以多邊形為背景，前三個(gè)用到全等的知識(shí)，最后一個(gè)用到相似的知識(shí)，這是對(duì)“手拉手”模型的更高階思維的補(bǔ)充，題目還可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況選擇是否添加輔助線(xiàn)。