依托核心問題 促進(jìn)深度思考
——以北師版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》六年級下冊“平面圖形面積總復(fù)習(xí)”為例

張春新

（江蘇省海安市教師發(fā)展中心附屬小學(xué)）

復(fù)習(xí)，并不僅僅是重復(fù)先前學(xué)習(xí)的知識，而是在原有知識復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上促進(jìn)學(xué)生知識思維素養(yǎng)的再生長。生長，是夯實(shí)基礎(chǔ)后的求異與創(chuàng)新。教學(xué)“平面圖形面積總復(fù)習(xí)”這一課，如何在夯實(shí)平面圖形面積計(jì)算的基礎(chǔ)上讓學(xué)生抓住平面圖形面積計(jì)算的本質(zhì)，促使其“換個(gè)腦筋”，進(jìn)一步在知識的深處進(jìn)行思考呢？我通過三個(gè)核心問題的引領(lǐng)，使學(xué)生的知識、思維、方法策略在不斷被豐富、被審視、被調(diào)整的過程中得到了深度發(fā)展。

一、依托核心問題，引領(lǐng)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)

學(xué)生的學(xué)習(xí)不能流于形式，更不能淺表化。只有抓住了所復(fù)習(xí)知識的核心問題，激發(fā)出學(xué)生積極思考的熱情，促使學(xué)生深入交流、探究，才能使學(xué)生進(jìn)一步地感悟到平面圖形面積計(jì)算的本質(zhì)，學(xué)生的學(xué)習(xí)才能觸類旁通，達(dá)到“牽一發(fā)而動全身”的效果。如在學(xué)生交流了長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓的面積推導(dǎo)過程之后——

師：回顧學(xué)習(xí)這些平面圖形的過程，我們先學(xué)習(xí)的是什么圖形的面積？

生：長方形的面積計(jì)算。

師：大家有沒有想過，為什么我們先學(xué)習(xí)長方形、正方形的面積計(jì)算，然后學(xué)習(xí)平行四邊形、三角形、梯形的面積計(jì)算，最后學(xué)習(xí)圓的面積計(jì)算？可不可以換一下順序呢？請大家在小組內(nèi)交流。（學(xué)生在小組內(nèi)熱烈地交流起來）

生：長方形的面積計(jì)算最簡單。

生：長方形的四個(gè)角都是直角，其他圖形沒有這樣的特點(diǎn)。

生：面積單位都是邊長1 厘米、1 分米、1 米的正方形，長方形的面積可以直接用這些面積單位去擺，從而算出面積，其他圖形不行。

生：是的，長方形可以用邊長1厘米、1分米、1米的小正方形去擺，看看沿著長可以擺幾個(gè)，沿著寬可以擺幾排，用每排的單位面積的個(gè)數(shù)×排數(shù)=總的單位面積的個(gè)數(shù)，也就是長方形的面積。而其他平面圖形，比如平行四邊形，用面積單位擺就不好擺滿。（學(xué)生邊說邊在黑板上畫）

生：我知道了，所以我們先學(xué)長方形的面積計(jì)算，用擺面積單位的方式推導(dǎo)出了長方形的面積公式，然后再學(xué)習(xí)平行四邊形、三角形、梯形的面積計(jì)算，它們不好用面積單位去擺，可以用轉(zhuǎn)化的思想轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的長方形來計(jì)算面積。

在以前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生是一個(gè)圖形一個(gè)圖形地接著學(xué)，他們現(xiàn)在回過頭來一看，確實(shí)先學(xué)習(xí)的是長方形的面積，為什么呢？可不可以先學(xué)習(xí)其他圖形呢？學(xué)生感覺非常好奇，這激起了他們思考和探究的欲望。實(shí)際上，這也是學(xué)生思維的盲點(diǎn)，同時(shí)又是學(xué)習(xí)平面圖形面積的核心問題。抓住了它，就抓住了面積計(jì)算的本質(zhì)，即圖形中所含單位面積的個(gè)數(shù)。通過對這一核心問題的思考，學(xué)生不但知道了為什么要先學(xué)習(xí)長方形面積的計(jì)算，而且對后面所學(xué)的圖形計(jì)算面積為什么都要轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的圖形，也有了進(jìn)一步的、清晰的認(rèn)識。

這樣，通過“瞻前”——對先學(xué)習(xí)長方形面積計(jì)算的這一核心問題追問，讓學(xué)生回到原點(diǎn)思考，從源頭抵其實(shí)質(zhì)；同時(shí)也為“顧后”——體積度量的本質(zhì)理解作了知識和方法上的鋪墊。

二、依托核心問題，引導(dǎo)學(xué)生整體建構(gòu)數(shù)學(xué)知識和思維

多維度關(guān)聯(lián)是將學(xué)生所學(xué)的零散的知識根據(jù)它們內(nèi)在的邏輯關(guān)系從多種角度進(jìn)行統(tǒng)整與建構(gòu)，從而讓學(xué)生整體建構(gòu)。

（一）以長方形面積為基礎(chǔ)整體建構(gòu)，感受由易到難的過程

通過“為什么先學(xué)習(xí)長方形的面積”這一核心問題的追問，學(xué)生從本質(zhì)上理解了長方形面積的計(jì)算是其他平面圖形面積計(jì)算的基礎(chǔ)。這時(shí)，可以再讓學(xué)生用圖來梳理各種圖形面積之間的聯(lián)系。

師：通過回顧，我們知道了長方形面積公式是學(xué)習(xí)其他平面圖形面積的基礎(chǔ)，這六個(gè)圖形之間是有聯(lián)系的。你能用圖表示出它們之間的聯(lián)系嗎？

（學(xué)生分組展示，出現(xiàn)了這樣兩種圖）

生：（小組1，指第一幅圖）我們小組是這樣梳理的，長方形的面積計(jì)算由數(shù)含有多少面積單位獲得，這也是計(jì)算其他平面圖形面積的基礎(chǔ)，所以將長方形畫在最下面。由長方形的面積公式推導(dǎo)出了正方形、平行四邊形、圓的面積公式，將這三個(gè)圖形畫在第2 層，再由平行四邊形面積公式推導(dǎo)出了三角形和梯形的面積公式，將三角形和梯形畫在最上層。

生：（小組1，指第一幅圖）我來補(bǔ)充一下。從上往下看，三角形、梯形的面積公式是通過轉(zhuǎn)化成平行四邊形推導(dǎo)出來的，平行四邊形、圓的面積公式是通過轉(zhuǎn)化成長方形推導(dǎo)出來的，它們都不能直接用含有面積單位的小正方形去擺、去數(shù)，都巧妙地運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的方法。

生：（小組4，指第二幅圖）我們是這樣整理的。將其他五種平面圖形面積公式都轉(zhuǎn)化成長方形推導(dǎo)出來。第1、2、3、5 小組都是把三角形和梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形推導(dǎo)出面積公式的，我們是把三角形和梯形也轉(zhuǎn)化成長方形來推導(dǎo)出面積。

生：（小組4）我補(bǔ)充。雖然我們小組之間轉(zhuǎn)化的圖形不一樣，但共同的地方都是轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的圖形來推導(dǎo)出面積的，都是以長方形面積公式為基礎(chǔ)來轉(zhuǎn)化的。

（二）以梯形為中心整體建構(gòu)，感受化繁為簡的過程

緊扣“六個(gè)平面圖形的面積都可以用梯形的面積公式計(jì)算嗎”這一核心問題展開探究，可以讓學(xué)生感受到其他平面圖形與梯形的緊密聯(lián)系。

師：前面我們以長方形的面積公式為基礎(chǔ)推導(dǎo)出了其他五個(gè)平面圖形的面積，由易到難。我們還能化繁為簡，把這六個(gè)圖形的面積公式都用梯形的面積這一個(gè)公式來計(jì)算，大家相信嗎？

（學(xué)生搖頭）

師：看著圖形想一想，可以把這些平面圖形看作怎樣的梯形？

（電腦出示：梯形下底不變，上底慢慢縮短變成三角形，上底慢慢延長，變成平行四邊形。）

（學(xué)生討論交流）

生：三角形可以看作上底為0 的特殊的梯形。（如下面第一個(gè)圖形）

生：平行四邊形可以看作上底a和下底b相等的特殊的梯形。（如下面第二個(gè)圖形）

生：長方形可以看作上底a和下底b相等，且上底a、下底b與高h(yuǎn)垂直的特殊的梯形。（如下面第三個(gè)圖形）

生：正方形可以看作上底、下底和高相等即a=b=h，a、b與h垂直的特殊的梯形。（如下面第四個(gè)圖形）

生：圓可以看作上底為0，下底為圓的周長即2πr，高為半徑r的特殊梯形。

師：圓是封閉的曲線圖形，你是怎樣想的？

生：我將圓心看成梯形的上底，上底為0，將圓的一周拉直，將圓的周長（即2πr）看成梯形的下底，這時(shí)半徑r就是梯形的高。

師：真不簡單，能化曲為直，將圓看作這樣的特殊梯形，真是愛動腦筋的孩子。

師：那么這些平面圖形能用梯形的面積公式計(jì)算嗎？怎么辦？

生：用梯形的面積公式算算看行不行。

師：好，每人選一個(gè)平面圖形算算看。計(jì)算好后，仔細(xì)觀察，說說你發(fā)現(xiàn)了什么，然后小組內(nèi)交流各自的發(fā)現(xiàn)。

生：我選的是三角形。用梯形的面積公式計(jì)算（0＋a）h÷2=ah÷2，我發(fā)現(xiàn)用梯形面積公式算下來和三角形的面積公式一樣。所以，計(jì)算三角形面積可以用梯形的面積公式。

生：我選的是平行四邊形。用梯形的面積公式計(jì)算（a＋a）h÷2=ah，我發(fā)現(xiàn)用梯形面積公式算下來和平行四邊形的面積計(jì)算公式一樣。所以平行四邊形的面積可以用梯形的面積公式計(jì)算。

生：平行四邊形的面積可以用梯形的面積公式計(jì)算，長方形、正方形是特殊的平行四邊形，所以不需要計(jì)算，就知道長方形和正方形也可以用梯形的面積計(jì)算公式計(jì)算。

生：我選的是圓。用梯形的面積公式計(jì)算（0＋2πr）r÷2=πr2，所以圓的面積公式也可以用梯形的面積計(jì)算公式。

生：圓也可以等積變形為梯形（如下圖），所以圓的面積公式可以用梯形的面積計(jì)算。

師：現(xiàn)在你們想說什么？

生：梯形面積公式真神奇呀，這些圖形都可以用它來計(jì)算。

這時(shí)黑板上形成的流程圖如下所示：

在這一片段中，學(xué)生緊扣“六個(gè)平面圖形的面積都可以用梯形的面積公式計(jì)算嗎”這一核心問題展開探究。通過梯形的下底和高不變、上底變這一條件，讓學(xué)生感受到其他平面圖形與梯形的緊密聯(lián)系。學(xué)生驚喜地發(fā)現(xiàn)用梯形的面積公式算下來竟然和原來圖形的面積公式相同。

這樣，先通過核心問題“為什么先學(xué)長方形面積”的思考，讓學(xué)生感受到了平面圖形面積公式由易到難的學(xué)習(xí)過程，再通過核心問題“六個(gè)平面圖形的面積都可以用梯形的面積公式計(jì)算嗎”的思考探究，將梯形面積公式與其他圖形的面積公式勾連了起來，讓學(xué)生感受到了化繁為簡的驚喜。這樣由易到難、化繁為簡的整體建構(gòu)，不再只是知識的整體建構(gòu)，同時(shí)也是思維的整體建構(gòu)。

三、依托核心問題，發(fā)展學(xué)生的深度數(shù)學(xué)思維

以上兩個(gè)核心問題的思考探究，既使學(xué)生抓住了平面圖形面積的本質(zhì)，又將平面圖形面積之間的關(guān)系進(jìn)行了整體建構(gòu)。在此基礎(chǔ)上，還可以通過核心問題“兩個(gè)圖形陰影部分的面積相等嗎”來促使學(xué)生進(jìn)一步深度思考，靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想來解決問題。

師：（出示下面兩幅圖）大正方形的邊長為10 厘米，陰影部分的面積相等嗎？為什么？

生：第一個(gè)圖形陰影部分左邊雖然是三角形，但它的底長不知道，也很難求出。陰影部分右邊部分一般用圓的面積減去空白小三角形的面積，但空白小三角形的面積的底是10 厘米，高也不知道，所以也不好求出。所以，我們小組思考能不能用轉(zhuǎn)化的方法，把復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化成簡單的圖形。

生：我們發(fā)現(xiàn)第一個(gè)圖形中三角形ABG 的面積等于空白三角形DEG 的面積。把△ABG 的面積移到△EDG 上，整個(gè)陰影部分的面積就等于圓的面積。求出圓的面積，就求出了陰影部分的面積。這樣就把陰影部分這一復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化成了簡單的圖形圓，就很好算了。

生：第二個(gè)圖形也是將陰影部分這一復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)換成簡單的圖形。空白三角形ABE 的面積是（a＋b）×b÷2，梯形ABCF 的面積也是（a+b）×b÷2，所以空白三角形ABE 的面積等于梯形ABCF 的面積?？瞻滋菪蜛BGF 是公共的，那么△EFG 的面積等于△CBG 的面積，將△CBG 的面積移到△EFG上，這樣陰影部分的面積就等于圓的面積了。

師：你們真不簡單。在常用的方法無法解決問題的情況下，想到了運(yùn)用轉(zhuǎn)化的策略來解決。

生：平面圖形面積推導(dǎo)的過程給了我們啟示，在推導(dǎo)平行四邊形、三角形、梯形等面積公式時(shí)，都是轉(zhuǎn)化成我們已經(jīng)學(xué)過的簡單的圖形來推導(dǎo)的。

生：是的，當(dāng)計(jì)算較復(fù)雜的平面圖形面積時(shí)，如果無法直接計(jì)算，我們就可以換一種思路，看看能不能將較復(fù)雜的不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成簡單的規(guī)則圖形來求。

本教學(xué)片斷中，核心問題“陰影部分的面積相等嗎”激起了學(xué)生探究的熱情。因?yàn)槌Ｓ玫恼址ǎù竺娣e減去多余的小面積）和分割法（將復(fù)雜的陰影部分分割成幾個(gè)小的規(guī)則的圖形）都無法解決，所以這種思維困境激起了學(xué)生進(jìn)一步挑戰(zhàn)該問題的強(qiáng)烈欲望。學(xué)生通過進(jìn)一步思考，想到了運(yùn)用轉(zhuǎn)化的策略可以將復(fù)雜的陰影部分轉(zhuǎn)化成簡單的圖形。怎樣轉(zhuǎn)化呢？學(xué)生小組內(nèi)繼續(xù)思考，他們積極尋求面積相等的圖形，發(fā)現(xiàn)了圖形之間的關(guān)系，將陰影部分的一小部分圖形面積移到了與之面積相等的空白部分上，就轉(zhuǎn)化成了簡單的圖形圓，問題也就迎刃而解了。

此外，這節(jié)課以猜平面圖形的游戲開始也以同樣的游戲作為結(jié)束。這種游戲就是一個(gè)學(xué)生說，另一個(gè)學(xué)生猜。比如，猜長方形。課前，學(xué)生都是說它的特征（兩組對邊相等，四個(gè)角都是直角）而讓其他的學(xué)生猜。課終，還是長方形，再猜，說法就多了：是其他平面圖形的基礎(chǔ)，是學(xué)習(xí)的第一個(gè)平面圖形，可以用表示面積單位的小正方形去擺求出面積；是上底下底相等，且上下底和高垂直的特殊的梯形等。這樣，通過課始和課終猜平面圖形的游戲，既激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，又讓學(xué)生感受到了通過一節(jié)課的學(xué)習(xí)所帶來的知識思維生長的喜悅。