把握估測(cè)本質(zhì) 落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)
——以人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》五年級(jí)上冊(cè)“解決問題（不規(guī)則圖形的面積）”為例

陳廣川

（葫蘆島市建昌縣新區(qū)小學(xué)）

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要求面對(duì)真實(shí)情境中的數(shù)學(xué)活動(dòng)，通過體驗(yàn)、感悟和反思，抽象出數(shù)學(xué)概念、命題和結(jié)構(gòu)，建立數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用邏輯推理和運(yùn)算去解決問題。這種要求需要以數(shù)學(xué)認(rèn)知為基礎(chǔ)，以數(shù)學(xué)基本思想和關(guān)鍵能力為核心，以獨(dú)立思考和自主學(xué)習(xí)、經(jīng)歷數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成過程為關(guān)鍵。課堂教學(xué)中，教師要抓住核心素養(yǎng)的基本要素，從學(xué)生終身發(fā)展的角度關(guān)注知識(shí)的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探究、思考、抽象、推理、反思等過程，促進(jìn)核心素養(yǎng)落地，讓學(xué)生終生受益。下面以人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》五年級(jí)上冊(cè)“解決問題（不規(guī)則圖形的面積）”為例，詮釋我對(duì)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理解。

一、設(shè)計(jì)思路

人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》五年級(jí)上冊(cè)“多邊形的面積”單元例5“解決問題（不規(guī)則圖形的面積）”，是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》實(shí)施后新增加的內(nèi)容。教材呈現(xiàn)了借助方格紙估計(jì)不規(guī)則圖形（樹葉）面積的內(nèi)容，旨在通過經(jīng)歷解決不規(guī)則圖形的全過程，培養(yǎng)學(xué)生的估算意識(shí)和估算策略，提高學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。

估測(cè)或估計(jì)是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》突出強(qiáng)調(diào)的內(nèi)容。估測(cè)或估計(jì)，既是一種意識(shí)的體現(xiàn)，也是一種能力的表現(xiàn)；不僅具有現(xiàn)實(shí)意義，而且也有助于學(xué)生感受度量單位的大小。

估算策略中最重要的是要為估計(jì)的事物找到一個(gè)適合的測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)，然后利用這個(gè)測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)去估計(jì)。在本節(jié)課的教學(xué)中，根據(jù)樹葉的大小，教材呈現(xiàn)了借助方格紙估計(jì)不規(guī)則圖形的不同方法。一種是數(shù)格子（每個(gè)小方格面積為1㎝2）的方法。先確定這片樹葉的面積范圍，分別數(shù)出滿格和不是滿格的格子數(shù)，就能確定面積的區(qū)間，再把不滿一格的按半格計(jì)算，估計(jì)出它的面積。另一種是根據(jù)圖形的特點(diǎn)轉(zhuǎn)化為近似的規(guī)則圖形來估計(jì)。教材中呈現(xiàn)的是轉(zhuǎn)化為平行四邊形，利用方格紙的刻度，找出計(jì)算平行四邊形面積的條件進(jìn)行估算。這是估算思想在圖形與幾何中的應(yīng)用。

基于對(duì)教材的研讀，估測(cè)不規(guī)則圖形的面積的教學(xué)主要有三個(gè)層次：一是在閱讀與理解中培養(yǎng)學(xué)生收集整理信息與發(fā)現(xiàn)問題的能力；二是在分析與解答中讓學(xué)生經(jīng)歷估算不規(guī)則圖形的全過程，培養(yǎng)學(xué)生的估算意識(shí)，使學(xué)生掌握估算的方法，體會(huì)估算策略和方法的多樣性；三是在回顧與反思中使學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和方法。

五年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了多種規(guī)則圖形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程，并能夠熟練運(yùn)用計(jì)算公式解決問題，而且在前一課時(shí)中已經(jīng)學(xué)習(xí)了用分割法、添補(bǔ)法來計(jì)算組合圖形的面積，這樣的轉(zhuǎn)化、連接、層次有序都為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做了鋪墊。但是，對(duì)于估計(jì)不規(guī)則圖形面積的大小，學(xué)生還是有實(shí)際困難的。因?yàn)楣浪闶且环N開放性的創(chuàng)造活動(dòng)，往往帶有許多不確定性的因素。所以，對(duì)事物進(jìn)行估計(jì)時(shí)，需要學(xué)生對(duì)度量單位有很好的認(rèn)識(shí)與把握，同時(shí)還需要他們具有一定的空間觀念，這對(duì)學(xué)生的思維能力和想象能力來說是一個(gè)不小的挑戰(zhàn)。

根據(jù)教材編排意圖和學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，我確定了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：

1. 會(huì)用不同的方法估計(jì)不規(guī)則圖形的面積，逐步發(fā)展空間觀念。

2. 在自主探究過程中，體會(huì)解決問題方法和策略的多樣性，培養(yǎng)學(xué)生的估測(cè)意識(shí)和解決實(shí)際問題的能力。

3.通過實(shí)踐操作、合作交流，幫助學(xué)生積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感受數(shù)學(xué)思想。

教學(xué)重點(diǎn)：用不同的方法估計(jì)不規(guī)則圖形的面積，體會(huì)解決問題的不同策略。

教學(xué)難點(diǎn)：培養(yǎng)學(xué)生的估測(cè)意識(shí)。

教學(xué)思路：生活情境中發(fā)現(xiàn)問題；自主探究中解決問題；實(shí)際應(yīng)用中提升能力；回顧整理中發(fā)展素養(yǎng)。

二、課例展示

（一）情境創(chuàng)設(shè)，發(fā)現(xiàn)問題

師：同學(xué)們，前面我們已經(jīng)學(xué)過基本圖形面積的計(jì)算方法，你能快速算出方格紙上圖形的面積嗎？

師：看屏幕，做好準(zhǔn)備，搶答開始。長(zhǎng)方形——

生：面積是15平方厘米。

師：你怎么算得這么快？

生：長(zhǎng)方形面積等于長(zhǎng)乘寬。長(zhǎng)5 厘米，寬3 厘米，面積是15平方厘米。

師：你們是利用公式算的，又快又準(zhǔn)。

師：搶答繼續(xù)。平行四邊形——

（學(xué)生爭(zhēng)先恐后地回答）

生：平行四邊形底是4厘米，高6厘米，面積是24平方厘米。

生：24平方厘米。

師：準(zhǔn)確。大家反應(yīng)真快！

師：繼續(xù)。樹葉——

（學(xué)生面面相覷）

師：怎么不搶答了？

生：沒有計(jì)算公式。

師：因?yàn)檫@片葉子是不規(guī)則的圖形，沒有固定的公式求面積，只能大致估算面積是多少。

師：這節(jié)課，我們就一起來探究不規(guī)則圖形面積的估測(cè)方法。（板書課題：不規(guī)則圖形的面積）

創(chuàng)設(shè)搶答情境，意在制造思維矛盾，引發(fā)學(xué)生對(duì)新知的探究興趣。學(xué)生對(duì)基本圖形的面積計(jì)算已經(jīng)了然于心，長(zhǎng)方形、平行四邊形的面積計(jì)算對(duì)他們而言，輕車熟路，兩道搶答題給了他們展示自己的機(jī)會(huì)，學(xué)生興趣盎然，喜悅之情溢于言表。此時(shí)，突然出現(xiàn)的樹葉面積令學(xué)生措手不及，他們思維高度集中，對(duì)不規(guī)則圖形面積的探究產(chǎn)生了濃厚的興趣。這樣，不僅實(shí)現(xiàn)了課題的巧妙引入，而且有利于學(xué)生啟動(dòng)原有知識(shí)來參與新知識(shí)的學(xué)習(xí)。情境創(chuàng)設(shè)，簡(jiǎn)約而高效。

(二)自主探究，解決問題

(屏幕出示例5)

1.閱讀與理解

師：請(qǐng)看例5 的題目要求，從題中你獲得了哪些數(shù)學(xué)信息？

生：已知條件是每個(gè)小方格面積是1 平方厘米，問題是估計(jì)這片葉子的面積。

師：要解決這個(gè)問題，你覺得有什么困難？

生：樹葉把方格紙的格線蓋住了，數(shù)起來不方便。

師：你想用數(shù)格子的方法，對(duì)嗎？好，老師把它設(shè)成透明的方格紙。這樣可以了嗎？

生：可以了。

2.分析與解答

師：我們的探索之旅就從這里開始。請(qǐng)看下面的“學(xué)習(xí)提示”。

師：聽清要求了嗎？先獨(dú)立完成，然后再小組交流。

師：探究時(shí)間為8分鐘，計(jì)時(shí)開始。

（學(xué)生自主探究，教師巡視，適時(shí)指導(dǎo)，搜集教學(xué)資源。）

師：老師發(fā)現(xiàn)有的同學(xué)用兩種顏色的筆，把整格的和不是整格的，分別標(biāo)出了數(shù)字，這種方法真好，清晰而明確，一目了然。

師：這名女同學(xué)不但列出了算式，還用文字清楚地?cái)⑹龀鲎约旱墓浪惴椒?，真?huì)學(xué)習(xí)。

師：這名同學(xué)，畫圖形應(yīng)該用尺，記得規(guī)范畫圖哦。

（學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)結(jié)束，開始組內(nèi)交流）

師：要重點(diǎn)交流對(duì)于不滿一格的，你是怎么估計(jì)的。

自主探究落到實(shí)處的關(guān)鍵是要給學(xué)生提供自主學(xué)習(xí)的時(shí)間與空間，并適當(dāng)給以方法的指導(dǎo)。在學(xué)生操作探究的過程中，教師應(yīng)及時(shí)捕捉優(yōu)點(diǎn)和不足，做全班性的提示，給潛能生搭建探究的階梯。在小組合作交流的過程中，教師應(yīng)提醒學(xué)生要重點(diǎn)交流“對(duì)于不滿一格是怎么估計(jì)的”，直指探究的關(guān)鍵點(diǎn)。這樣，教師作為組織者、引導(dǎo)者、合作者角色的價(jià)值發(fā)揮得淋漓盡致。再看學(xué)生，他們?cè)谔骄窟^程中全身心地投入，小組中同伴思維的火花激情碰撞，這些都是他們收獲到的最寶貴的財(cái)富。

3.全班匯報(bào)

師：愿意把你估計(jì)的樹葉面積和大家分享嗎？

師：老師把大家的估計(jì)結(jié)果在數(shù)軸上表示出來。

生：樹葉的面積大約是18平方厘米。

生：樹葉的面積大約是36平方厘米。

生：樹葉的面積大約是27平方厘米。

生：樹葉的面積大約是28平方厘米。

生：樹葉的面積大約是29平方厘米。

生：樹葉的面積大約是30平方厘米。

（教師同步在數(shù)軸上進(jìn)行統(tǒng)計(jì)）

首先，確定樹葉面積的范圍時(shí)有如下實(shí)錄——

師：估計(jì)樹葉面積是18cm2的同學(xué)，能說說你的估算方法嗎？

生：我用的是數(shù)方格的方法。方格紙上樹葉有18個(gè)整格，我只看整格，估計(jì)它的面積是18cm2。

（教師板書：數(shù)方格）

師：18個(gè)整格，你們同意嗎？一起來數(shù)一數(shù)。

師：她估計(jì)樹葉的面積是18cm2，實(shí)際面積一定比18 cm2大嗎？

生：比18 cm2大。

師：我在數(shù)軸上18 的位置畫個(gè)空心圓圈，表示不包括18。

師：大家注意到?jīng)]有，剛才這名同學(xué)的估計(jì)方法有點(diǎn)類似于我們?nèi)〗浦禃r(shí)用到的“去尾法”，不滿一格的全都忽略不計(jì)。

師：估計(jì)面積是36cm2的同學(xué)，說說你的估算方法。

生：18 個(gè)整格，還有18 個(gè)不滿一格的。（教師同步出示標(biāo)號(hào)）我把不滿一格的也看作整格，一共有36個(gè)。面積就是36 cm2。

師：樹葉的實(shí)際面積比36 cm2大嗎？

生：比36 cm2要小。

師：我在數(shù)軸上36 的位置也畫空心圓圈，表示不包括36。

師：他這種估計(jì)方法和我們?nèi)〗浦禃r(shí)的什么方法類似？

生：進(jìn)一法。

師：把不滿一格的也看作整格來估計(jì)。很有想法。

師：根據(jù)剛才這兩名的同學(xué)的匯報(bào)，現(xiàn)在你知道這片葉子的面積一定大于多少，不會(huì)超過多少嗎？

生：這片葉子的面積一定大于18 cm2，不會(huì)超過36 cm2。

師：大家應(yīng)該感謝這兩名同學(xué)，它們的估計(jì)方法合起來，就是我們確定圖形面積范圍的方法：只看整格，得到面積范圍的下限；把不是整格的都看成整格，得到面積范圍的上限。

師：這片葉子的實(shí)際面積就介于18 cm2到36 cm2之間。

把學(xué)生估計(jì)的結(jié)果利用數(shù)軸進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，這樣很好地滲透了“區(qū)間套”的思想。在學(xué)生匯報(bào)估計(jì)方法的過程中，引導(dǎo)學(xué)生與取近似值的方法聯(lián)系起來，滲透了知識(shí)之間相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)，培養(yǎng)了學(xué)生用普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)來看待問題、分析問題的能力。

估算圖形面積的教學(xué)實(shí)錄如下。

師：在這個(gè)范圍內(nèi)，我們估算出的結(jié)果有27cm2、28cm2、29cm2、30cm2。

師：估算結(jié)果有差異，說明差在對(duì)不滿一格的面積的處理上。接下來，我們就重點(diǎn)聽聽大家對(duì)不滿一格的是怎樣估計(jì)的。

【方法一】

師：估計(jì)樹葉面積是27 平方厘米的同學(xué)，說說你估算的具體過程。

生：18 個(gè)整格，面積是18cm2。18 個(gè)不滿一格的，都看成半格，18 格半格合成9 個(gè)整格，也就是9cm2。18+9=27cm2。

師：這是她的估算過程。誰(shuí)和她的方法差不多？結(jié)合一體機(jī)上的格子圖講一講。

生：這是18 個(gè)整格（用黃色筆圈出整個(gè)輪廓），面積是18cm2。這是18 個(gè)不滿一格的（用綠色筆圈出），不滿一格的按半格計(jì)算，18 個(gè)半格就是9 個(gè)整格，面積是9cm2。18+9=27cm2。

（教師板書：18+18÷2=27cm2）

師：表述得非常清楚。為他鼓掌。這是他們的估算方法，把不滿一格的都按半格計(jì)算。

【方法二】

師：估計(jì)樹葉面積是28cm2的同學(xué)，講講你們的估算過程。

（投影展示學(xué)生的學(xué)習(xí)報(bào)告單）

生：我用移多補(bǔ)少的方法，將不滿一格的兩個(gè)或三個(gè)拼成一格。15 和16、2 和3、5 和6、1 和4 、7 和10 、8 和11 、9 和12 、13 和14、多余的補(bǔ)給17 和18 。這樣就能拼出10個(gè)整格，18+10=28 cm2。

師：聽懂他的估算方法了嗎？他是采用移多補(bǔ)少的方法，將不滿一格的兩個(gè)或幾個(gè)拼成一格。

【方法三】

師：估計(jì)樹葉面積是29cm2的同學(xué)，講講你們的估算過程。

生：（一體機(jī)前邊畫邊講）不滿半格的有7個(gè)，忽略不計(jì)。（學(xué)生邊講邊在3、4、10、11、12、13、15這7格上打叉）超過半格有11個(gè)，看成整格。18+11=29 cm2。

師：她的思維很獨(dú)特，有點(diǎn)類似我們?nèi)〗茢?shù)時(shí)用的四舍五入。超過半格的11個(gè)都看成整格。

【方法四】

師：估計(jì)樹葉面積是30cm2的同學(xué)，你是怎樣估算的？

生：我不是用數(shù)格子的方法，我是把樹葉圖轉(zhuǎn)化成近似的平行四邊形來計(jì)算的。

（教師板書：轉(zhuǎn)化）

師：你的思維真敏銳。想到把新的問題轉(zhuǎn)化為舊的知識(shí)來解決，非常好。的確，把不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為某個(gè)近似的規(guī)則圖形，再利用公式就可以算出面積了。

師：想法非常好。那向大家說說你是怎么做的？結(jié)合你的學(xué)習(xí)報(bào)告單來講。

生：我根據(jù)葉子的輪廓，在格子圖上畫出平行四邊形。平行四邊形的底是5 厘米，高是6 厘米，它的面積就是30平方厘米。

（教師板書：5×6=30cm2）

師：多少同學(xué)采用了這種把不規(guī)則圖形近似看作規(guī)則圖形來估計(jì)面積的？（有十幾個(gè)人舉手）

師：不錯(cuò)。你們都是把葉子看作近似平行四邊形的嗎？有沒有不同想法？

生：我根據(jù)葉子的輪廓，在格子圖上畫出長(zhǎng)方形。長(zhǎng)方形的長(zhǎng)5 厘米，寬是6 厘米，它的面積也是30平方厘米。（展示學(xué)習(xí)報(bào)告單）

師：你們真有辦法。用長(zhǎng)方形或平行四邊形去替代不規(guī)則圖形，算起來方便多了。還有不同的估計(jì)方法嗎？

匯報(bào)環(huán)節(jié)，教師充分尊重了學(xué)生的個(gè)性特征，給用不同估計(jì)方法的學(xué)生提供了充分展示交流的空間和時(shí)間，學(xué)生的思辨能力和邏輯思維能力得到了淋漓盡致的展現(xiàn)和發(fā)展。學(xué)生在一體機(jī)上邊操作邊講述或結(jié)合學(xué)習(xí)報(bào)告單講述，不同的思維過程，不同的估計(jì)方法，異彩紛呈。在理解方法、實(shí)踐操作與合作交流中，學(xué)生掌握了確定面積范圍的思考方法，理解了有差異的估算結(jié)果，體會(huì)到了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，使課堂真正成了學(xué)生知識(shí)構(gòu)建、能力提升、思維深化的沃土。

4.回顧與反思

師：通過剛才的學(xué)習(xí)，今后我們?cè)儆龅讲灰?guī)則的圖形，可以怎樣估計(jì)它們的面積？

生：可以數(shù)格子，也可以轉(zhuǎn)化成近似的規(guī)則圖形。

師：通過數(shù)方格，我們可以先確定圖形面積的范圍。這片樹葉的面積數(shù)值就介于18 和36 之間。確定好范圍后，再估算圖形的面積。

師：估算過程中，可以把不滿一格的按半格計(jì)算，得到樹葉的面積大約是27平方厘米。

師：還可以移多補(bǔ)少，把半格拼成整格，估計(jì)出這片樹葉的面積大約是28平方厘米。

師：也可以把不足半格的忽略不計(jì)，超過半格的看成整格，估測(cè)出樹葉的面積大約是29平方厘米。

師：對(duì)不滿一格的處理，我們想到了這些辦法，你們最喜歡哪種方法？

生：不滿一格的按半格算比較簡(jiǎn)便。

師：用方格紙計(jì)數(shù)估計(jì)常用的方法就是不滿一格的按半格計(jì)算。

師：除了數(shù)方格，也可以把不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形進(jìn)行估算。這里我們根據(jù)樹葉的形狀，轉(zhuǎn)化為近似的平行四邊形和長(zhǎng)方形，然后根據(jù)圖形的面積計(jì)算公式，估算出葉子面積大約是30 平方厘米。

師：不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形時(shí)，我們要注意什么？

生：要通過移多補(bǔ)少，使之盡量接近規(guī)則圖形，這樣估測(cè)的結(jié)果更接近準(zhǔn)確值。

師：大家看，27、28、29、30 這四個(gè)數(shù)值，都在18～36 這個(gè)面積范圍內(nèi)，都是符合要求的。估算與精確計(jì)算相比，結(jié)果不唯一，合理即可。

在學(xué)生自主探索出不規(guī)則圖形面積估測(cè)方法的基礎(chǔ)上，教師引領(lǐng)學(xué)生對(duì)探索過程進(jìn)行了系統(tǒng)回顧，幫助學(xué)生積累了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，明確了解決問題策略的多樣性，從中提煉了規(guī)律性知識(shí)：借助方格紙進(jìn)行估計(jì)，最常用的取近似值的方法就是不滿一格的按半格計(jì)算；采用轉(zhuǎn)化法，要通過移多補(bǔ)少，使之盡量接近規(guī)則圖形；在精確程度要求不是很高的情況下，估計(jì)結(jié)果只要在合理范圍內(nèi)即可。這樣，在師生、生生的多維互動(dòng)中，實(shí)現(xiàn)了共同成長(zhǎng)。

（三）學(xué)以致用，提升能力

師：剛才，我們估測(cè)了樹葉的面積，采用的方格紙上小方格的面積是1 平方厘米。下面我們要估測(cè)池塘的面積，圖中每個(gè)小方格的面積確定為多少比較合適呢？

生：1平方米。

師：結(jié)合具體情境，選擇適當(dāng)?shù)膯挝皇枪浪愕暮诵摹?/p>

【題目一】上圖中每個(gè)小方格的面積為1m2，請(qǐng)你估計(jì)這個(gè)池塘的面積。

生：我把這個(gè)池塘轉(zhuǎn)化為一個(gè)近似的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)12米，寬8米，面積96m2。

生：我用數(shù)方格的方法，得到這個(gè)池塘的面積是100m2。

生：我把這個(gè)池塘轉(zhuǎn)化為近似的平行四邊形，底是11米，高是9米，面積是99m2。

師：不錯(cuò)，大家采用不同的方法都估計(jì)出了這個(gè)池塘的面積。

師：解決教材上的求不規(guī)則圖形的面積，我們可以用數(shù)方格的方法估算面積，也可以用轉(zhuǎn)化成近似規(guī)則圖形的方法進(jìn)行估算。

師：在現(xiàn)實(shí)生活中求不規(guī)則綠地的面積、湖水的面積，還能數(shù)方格嗎？

生：不能。要把不規(guī)則圖形看成規(guī)則圖形再去求面積。

師：對(duì)。把不規(guī)則圖形看成規(guī)則圖形再去求面積進(jìn)行估算，在日常生活中用得最多。我們可以用目測(cè)或步測(cè)的方法，得到計(jì)算規(guī)則圖形面積所需的條件，然后利用面積公式進(jìn)行計(jì)算。

簡(jiǎn)單的一個(gè)過渡，既將新知與訓(xùn)練有機(jī)地融為一體，又巧妙地強(qiáng)調(diào)了要結(jié)合具體情境，選擇適當(dāng)?shù)墓浪銌挝缓凸烙?jì)方法，使學(xué)生在應(yīng)用中積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

【題目二】估計(jì)下面三個(gè)圓的面積，你發(fā)現(xiàn)了什么？（提示：先計(jì)算每個(gè)小方格的面積，再估計(jì)圓的面積。學(xué)生分組完成。）

生：我用數(shù)方格的方法估計(jì)第一個(gè)圓的面積是160cm2。正方形一共有16個(gè)整格，陰影不滿一格的有12 個(gè)，12 個(gè)半格拼成6 個(gè)整格。16-6=10，圓面積大約是10 個(gè)整格，列式是（16-12÷2）×（4×4）=160cm2。

生：我用數(shù)方格的方法估計(jì)第二個(gè)圓的面積是176cm2。32 個(gè)整格加上不滿一格的24 個(gè)半格拼成的12 個(gè)整格，一共是44 個(gè)整格。列式是（32+24÷2）×（2×2）=176cm2。

生：第三個(gè)圓方格太多，我把它平均分成四份，估算出一份的面積再乘4，得到整個(gè)圓的面積。

師：你真聰明。把復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，很好。繼續(xù)講。

生：我用數(shù)方格的方法估計(jì)出一份的面積是48m2，整個(gè)圓面積大約是196cm2。

師：現(xiàn)在老師告訴你，這個(gè)圓面積是200.96cm2。哪個(gè)估算值最接近？

生：第三個(gè)。

師：你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：方格越來越小，估計(jì)的結(jié)果越來越準(zhǔn)確。

生：同一個(gè)圓，方格紙上的方格越小，估計(jì)得越準(zhǔn)確。

師：你總結(jié)得真精彩。的確是這樣，選擇的測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)面積越小，估算越精確。這種方法很重要。分?jǐn)?shù)、小數(shù)的產(chǎn)生都與細(xì)分有聯(lián)系。著名科學(xué)家阿基米德就是運(yùn)用這種極限思想解決了圓面積的計(jì)算問題。

估測(cè)和估計(jì)的意識(shí)和能力是在實(shí)踐中發(fā)展起來的。這里讓學(xué)生估計(jì)三個(gè)圓的面積，主要目的不是為了得到一個(gè)更精確的結(jié)果，而是要讓學(xué)生經(jīng)歷分析問題與解決問題的過程，了解有使得估計(jì)結(jié)果更準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)方法，學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)的工具與方法探索更加接近實(shí)際的估計(jì)值，初步感知極限思想。

（四）回顧整理，拓展延伸

師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你們掌握不規(guī)則圖形面積的估測(cè)方法了嗎？誰(shuí)來說一說。

生：可以數(shù)方格，也可以把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成近似的規(guī)則圖形估算面積。

師：估計(jì)不規(guī)則圖形面積，除了這兩種方法外，還有一種神奇的方法——“稱法”。

師：推薦同學(xué)們課下到網(wǎng)上去搜索《尺算法與“地圖面積”測(cè)量》這篇文章，認(rèn)真閱讀后，“稱出面積”的奧秘就解開了。

學(xué)生通過自主探索，已經(jīng)掌握了估計(jì)不規(guī)則圖形面積的兩種方法，這里教師提出的“面積還可以稱量”，引起了學(xué)生極大的好奇心，相信很多學(xué)生課下都會(huì)去搜索教師推薦的閱讀文章，解讀“稱出面積”的奧秘。這也正是教師設(shè)計(jì)用意之所在。數(shù)學(xué)閱讀作為拓展數(shù)學(xué)課程的新領(lǐng)域，不能限于原有知識(shí)技能的鞏固，更應(yīng)關(guān)注學(xué)生在數(shù)學(xué)閱讀活動(dòng)中積累了哪些經(jīng)驗(yàn)，感悟到了哪些思想，要讓學(xué)生在閱讀中品味數(shù)學(xué)的魅力。

三、教學(xué)反思

數(shù)學(xué)教學(xué)的目的之一是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升，而數(shù)學(xué)學(xué)科活動(dòng)是形成學(xué)科素養(yǎng)的路徑和關(guān)鍵之所在。在本課的教學(xué)實(shí)踐中，教師以培養(yǎng)學(xué)生的估測(cè)意識(shí)和解決實(shí)際問題的能力為重點(diǎn)，緊緊抓住解決問題的“三要素”展開教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的探索過程，在活動(dòng)中積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，領(lǐng)悟不規(guī)則圖形面積的估測(cè)方法，體驗(yàn)方法的合理性，使不同程度的學(xué)生在不同的思維層次上得到了不同的發(fā)展。

（一）聚焦知識(shí)本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的估測(cè)意識(shí)和估算策略

歐內(nèi)斯特指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)的問題并不在于尋找最好的教學(xué)方式，而在于明白數(shù)學(xué)是什么……如果不正視數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)問題，便解決不了教學(xué)上的爭(zhēng)議。”估測(cè)最重要的是要確定一個(gè)合適的測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)，然后利用這個(gè)測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)去估計(jì)。比如，利用計(jì)數(shù)單位估一估參加體操比賽的人數(shù)；利用計(jì)量單位估一估桌面的面積；利用某一參照物如步長(zhǎng)估一估學(xué)校到家的路程，等等。

本節(jié)課借助方格紙來估計(jì)不規(guī)則圖形的面積，意在幫助學(xué)生建立起規(guī)劃和設(shè)計(jì)的意識(shí)，即根據(jù)要估計(jì)的精確程度來確定估計(jì)方案。教師以此作為學(xué)生自主探索的著眼點(diǎn)、組內(nèi)交流的發(fā)言點(diǎn)、集體匯報(bào)的落腳點(diǎn)、歸納總結(jié)的提升點(diǎn)，引領(lǐng)學(xué)生真正經(jīng)歷了疑問—欲求—嘗試—發(fā)現(xiàn)的探究過程，使學(xué)生在思維的沖突與碰撞中完成了對(duì)不規(guī)則圖形面積估測(cè)方法的模型建構(gòu)。

1.借助方格紙

（1）粗略估計(jì)的方案：小方格里有圖形就記為1，這種方法估計(jì)的比實(shí)際面積大；小方格里沒有圖形就記為0，這種方法估計(jì)的比實(shí)際面積小。實(shí)際面積應(yīng)該在這兩個(gè)估計(jì)值之間。

（2）精細(xì)估計(jì)的方案：不滿一格的按半格計(jì)算。選擇的測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)面積越小，估算越精確。

（3）在精確程度要求不是很高的情況下，估計(jì)結(jié)果只要在合理范圍內(nèi)即可。

2.利用近似圖形

還可以轉(zhuǎn)化為近似的規(guī)則圖形進(jìn)行估計(jì)。通過移多補(bǔ)少，使之盡量接近規(guī)則圖形。

縱觀整個(gè)探究過程，操作與思考共存，理解與表達(dá)共舞，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生思維能力和空間觀念的共同生長(zhǎng)。

（二）巧妙點(diǎn)撥引導(dǎo)，有效滲透數(shù)學(xué)思想方法

估測(cè)是一種高級(jí)的數(shù)學(xué)推理能力，是一種內(nèi)在的思維活動(dòng)過程。在本課的教學(xué)中，我以實(shí)踐活動(dòng)為載體，引導(dǎo)學(xué)生在“做”數(shù)學(xué)的過程中，感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

1.探究新知環(huán)節(jié)

（1）把學(xué)生借助方格紙估計(jì)的結(jié)果利用數(shù)軸進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，數(shù)形結(jié)合，很好滲透了“區(qū)間套”思想。

（2）在學(xué)生匯報(bào)估計(jì)方法的過程中，引導(dǎo)學(xué)生與取近似值的方法聯(lián)系起來，滲透了知識(shí)間相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生用普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)來看待問題、分析問題。

（3）引導(dǎo)學(xué)生把不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為某個(gè)近似的規(guī)則圖形，再利用公式算出面積，滲透了轉(zhuǎn)化的思想。

（4）在學(xué)生匯報(bào)的過程中，強(qiáng)調(diào)基于體驗(yàn)的語(yǔ)言描述，通過表達(dá)的逐漸完善，促進(jìn)思維的不斷深化。

2.學(xué)以致用環(huán)節(jié)

設(shè)計(jì)了估計(jì)三個(gè)等圓的面積的習(xí)題，目的是讓學(xué)生經(jīng)歷分析問題與解決問題的過程，了解有能使估計(jì)結(jié)果更準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)方法，知道用數(shù)學(xué)的工具與方法探索，會(huì)更加接近實(shí)際的估計(jì)值，讓學(xué)生初步感知了極限思想。

3.回顧整理環(huán)節(jié)

推薦學(xué)生課下網(wǎng)上搜索《尺算法與“地圖面積”測(cè)量》這篇文章，激發(fā)了學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀的興趣，讓學(xué)生在鞏固知識(shí)技能的同時(shí)，在數(shù)學(xué)閱讀活動(dòng)中積累了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟了數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生在閱讀中品味到了數(shù)學(xué)的魅力。

這是一節(jié)融入了數(shù)學(xué)思想方法的課堂教學(xué)，充滿了濃厚的數(shù)學(xué)情趣，學(xué)生在活動(dòng)中思維得到磨礪，解決問題的方法逐步優(yōu)化，學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)得到充實(shí)，成功、自信的體驗(yàn)得到強(qiáng)化。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)回歸本質(zhì)，抓住蘊(yùn)含在知識(shí)背后的能力、方法、策略、思想等方面，就是學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的最好體現(xiàn)，這是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育讓每一位學(xué)生都能充分得到發(fā)展的重要保證。