基于能量密度等效的超彈性壓入模型與雙壓試驗(yàn)方法1)

張希潤 蔡力勛,2) 陳 輝

?(西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院應(yīng)用力學(xué)與結(jié)構(gòu)安全四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,成都 610031)

?(長沙理工大學(xué)土木與工程學(xué)院,長沙 410114)

引言

超彈性材料廣泛用于交通、建筑、機(jī)械、生物等工程領(lǐng)域,特別常用于結(jié)構(gòu)的減震、密封等方面,其選材、工藝評價(jià)、老化分析都離不開表征材料基本性能的本構(gòu)關(guān)系.超彈性材料的本構(gòu)關(guān)系通常采用應(yīng)變能密度與主伸長比之間的函數(shù)關(guān)系來描述[1-3].

1940 年代初,Treloar[4-5]通過構(gòu)造三鏈分子網(wǎng)絡(luò)模型,提出了表征應(yīng)變能密度的Neo-Hookean 模型,該模型對橡膠拉伸應(yīng)力?伸長比曲線的初始線性段有較為準(zhǔn)確的描述,而因采用單參數(shù),模型對曲線后繼非線性段描述性較差.1940 年,Mooney[6]考慮代表性體積單元(representative volume element,RVE).RVE是連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的基本六面體單元,只要取合適的尺寸,就能用以求解受載構(gòu)元的宏觀力學(xué)行為)應(yīng)變能密度與3 個(gè)主伸長比λi(i=1,2,3)之間的對稱關(guān)系,提出了雙參數(shù)超彈性材料本構(gòu)關(guān)系.1948 年,Rivlin[7]利用材料RVE 變形張量不變量,根據(jù)材料體積不可壓縮性,令第三不變量=1,則Mooney 本構(gòu)方程可簡化為連續(xù)介質(zhì)力學(xué)框架下關(guān)于第一不變量I1和第二不變量I2的雙參數(shù)方程形式

式中,C10和C01為材料參數(shù),εi為主應(yīng)變,該式稱為Mooney-Rivlin 超彈性材料本構(gòu)模型,該模型可較好描述小變形和中等程度大變形的超彈性本構(gòu)關(guān)系,是迄今描述各向同性超彈性材料本構(gòu)關(guān)系較為常用的模型.此外,Rivlin 為了拓展描述全程本構(gòu)關(guān)系,還進(jìn)一步提出了多參數(shù)的級數(shù)式本構(gòu)模型.

材料壓入試驗(yàn)法(壓入法)是通過載荷或位移控制將壓頭壓入材料并測得壓入載荷P-壓入深度h關(guān)系來獲取材料力學(xué)性能指標(biāo)的方法[8].壓入法測試金屬材料力學(xué)性能的方法主要包括:(1)Haggag[9-10]提出、Kwon[11]改進(jìn)的多級加卸載自動(dòng)球形壓頭壓入(球壓入) 方法,該方法對球壓區(qū)平均應(yīng)力進(jìn)行表征修正獲得壓入試驗(yàn)過程中的多級表征應(yīng)力σr和表征應(yīng)變εr,通過這些數(shù)據(jù)可以回歸獲得Hollomon律參數(shù); (2) Cao 等[12]提出的基于量綱分析和表征應(yīng)力的半經(jīng)驗(yàn)法,該方法通過量綱分析建立σr,h,P構(gòu)成的無量綱項(xiàng)和比值σr/E?(折減彈性模量) 之間關(guān)系的描述模型,該模型含有大量模型參數(shù),須通過復(fù)雜流程方式迭代得到Hollomon 律參數(shù); (3) Clyen等[13]提出的本構(gòu)關(guān)系參數(shù)反向預(yù)測法,該方法基于大量材料本構(gòu)關(guān)系參數(shù)關(guān)聯(lián)的P-h壓入曲線的FEA庫與P-h壓入試驗(yàn)曲線的相關(guān)性優(yōu)化搜索以實(shí)現(xiàn)材料應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系的近似求解; (4)Cai 等[14-16]提出的半解析球壓入方法,該方法根據(jù)能量密度中值原理獲得的半解析壓入模型和單球壓入試驗(yàn)方法,通過金屬宏觀表面的P-h單級壓入曲線實(shí)現(xiàn)了材料應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系、抗拉強(qiáng)度及布氏、洛氏、維氏硬度的儀器化測試.

對于超彈性材料,壓入法測試材料力學(xué)性能的方法大多基于量綱分析法與搜索法.Zhang 等[17]采用與上述金屬壓入相似的量綱分析方法[12],對4 種廣泛使用的超彈性材料本構(gòu)模型,建立μ0(初始剪切模量)、R(壓頭半徑)、h和P構(gòu)成的無量綱項(xiàng)與本構(gòu)模型參數(shù)、h和R構(gòu)成的無量綱項(xiàng)之間的4 類關(guān)系模型,包含大量參數(shù)的這4 類模型均屬于半經(jīng)驗(yàn)性質(zhì),文獻(xiàn)認(rèn)為可通過試驗(yàn)獲得與4 類模型參數(shù)相關(guān)的回歸參量,并未通過球壓入實(shí)現(xiàn)本構(gòu)關(guān)系的反向求解.Pan 等[18]主要結(jié)合多級應(yīng)變能密度函數(shù)的Ogden 超彈性本構(gòu)模型,通過對球、平面、錐3 類壓頭壓入(球壓入、平面壓入、錐壓入)問題進(jìn)行量綱分析,證明了單類單壓頭無法獨(dú)立實(shí)現(xiàn)多參數(shù)超彈性本構(gòu)模型的參數(shù)求解,同時(shí)證明了單類單壓頭可實(shí)現(xiàn)單參數(shù)超彈性本構(gòu)模型求解的唯一性,但作者未給出超彈性壓入問題的具體求解方法.Giannakopoulos 等[19]基于Mooney-Rivlin 模型獲得了球壓入比值h/R小于0.1 情況下P-h壓入曲線的解析解,并未由此獲得本構(gòu)關(guān)系,Giannakopoulos 認(rèn)為通過單球壓入不能唯一性獲得本構(gòu)模型參數(shù).Chen 等[20]對一種硅橡膠進(jìn)行球壓入試驗(yàn),利用Oliver 和Pharr 法[21]獲得材料的彈性模量,并對Neo-Hookean、Mooney-Rivlin、Yeoh三類超彈性本構(gòu)模型,通過調(diào)整模型參數(shù)進(jìn)行P-h壓入曲線的有限元分析,以此逐漸逼近P-h壓入試驗(yàn)曲線,進(jìn)而反向求解獲得本構(gòu)模型參數(shù).Saux 等[22]采用半錐角70.3?的圓錐形壓頭對天然橡膠完成錐壓入試驗(yàn),并設(shè)定材料參數(shù)初值后進(jìn)行了有限元計(jì)算,將有限元計(jì)算結(jié)果與P-h壓入曲線之間的誤差作為目標(biāo)進(jìn)行基于最小二乘法的迭代計(jì)算,取兩者誤差最小時(shí)所設(shè)定的材料參數(shù)為本構(gòu)模型的參數(shù).Lee 等[23]以Yeoh 模型作為橡膠的本構(gòu)模型,將P-h球壓入試驗(yàn)曲線映射為應(yīng)變能密度與I1關(guān)系曲線,以該曲線確定模型參數(shù),并與給定初值進(jìn)行比較,誤差最小時(shí)即為模型參數(shù).Song 等[24]對不同參數(shù)的Yeoh 模型進(jìn)行球壓入有限元模擬,建立了壓入載荷?位移曲線數(shù)據(jù)庫,并采用與Yeoh 模型參數(shù)相關(guān)的三次多項(xiàng)式對載荷?位移曲線回歸分析得到本構(gòu)模型參數(shù).

關(guān)于超彈性材料的壓入法多屬于經(jīng)驗(yàn)或半經(jīng)驗(yàn)性質(zhì),至今尚無公認(rèn)的、得到大量試驗(yàn)驗(yàn)證的成熟方法.本文基于能量密度中值等效原理[25-26],提出描述P、h和Mooney-Rivlin 模型參數(shù)之間關(guān)系的半解析超彈性壓入模型并進(jìn)行有限元正反向驗(yàn)證,進(jìn)而提出用于測試超彈性材料本構(gòu)關(guān)系的壓入試驗(yàn)方法,并對3 種橡膠材料進(jìn)行壓入試驗(yàn),將壓入試驗(yàn)獲得的本構(gòu)關(guān)系結(jié)果與拉伸試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比對驗(yàn)證.

1 半解析超彈性壓入模型SHIM

1.1 Mooney-Rivlin 模型的應(yīng)力應(yīng)變形式

在復(fù)雜應(yīng)力應(yīng)變條件下,超彈性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系由第二Piola-Kirchhoff 應(yīng)力σij和Green 應(yīng)變εi j來表示為

式中I1,I2,I3為變形張量的3 個(gè)不變量.對于各向同性、不可壓縮超彈性材料,=1,根據(jù)第二Piola-Kirchhoff 應(yīng)力與Cauchy 應(yīng)力之間關(guān)系[27-28],可得主應(yīng)力τi與主伸長比λi之間的關(guān)系為

式中,P為靜水壓力.由于主伸長比λi與主應(yīng)變εi指數(shù)關(guān)聯(lián),故式(3)表征了RVE 的應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系.

對于Mooney-Rivlin 超彈性材料本構(gòu)模型,式(4) 可寫為

由真應(yīng)力τ 與工程應(yīng)力σg關(guān)系:τ=λσg,令λ1=λ,τ1=τ,則由式(5)可得

式中,λ=eε通過單軸拉伸試驗(yàn)獲取被測材料的σg–λ曲線,將σg/[2(λ ?λ2)]作為縱坐標(biāo),λ?1作為橫坐標(biāo)做出兩者關(guān)系曲線并進(jìn)行線性回歸,則截距和斜率分別為Mooney-Rivlin 模型的兩個(gè)參數(shù):C10和C01.

1.2 基于能量密度等效方法的半解析壓入模型

由積分中值定理,受載固體的有效變形域? 內(nèi)必存在一點(diǎn)M,在M處RVE 的應(yīng)變能密度uM與?域的平均應(yīng)變能密度相等,即

式中,U為變形域的總應(yīng)變能,Veff為有效變形域體積,則按Mooney-Rivlin 模型,M點(diǎn)處RVE 的應(yīng)變能密度表為

由式(7)和式(8)可得

以特征體積D3使上式有效體積無量綱化,則上式可化為

式中,特征長度D在球壓入時(shí)取為壓頭直徑,平面壓入時(shí)取為圓柱壓頭直徑,錐壓入時(shí)D取為特征壓入深度hc.假設(shè)無量綱變形量f1,f2與無量綱位移h/D之間滿足冪律關(guān)系,即

且假設(shè)變形系數(shù)k1,k2及變形指數(shù)k0均為與壓入的壓頭類型相關(guān)但與材料無關(guān)的常數(shù).將f1,f2的表達(dá)式代入式(10)可得

對于壓入問題,由能量守恒可得

式中W為外力功.結(jié)合式(12)和式(13),以h對U求導(dǎo),并無量綱化,可得P與h的關(guān)系

式中加載指數(shù)k0為與加載方式相關(guān)、與材料無關(guān)的常數(shù),加載系數(shù)C為與材料和加載方式相關(guān)的常數(shù).該式稱為半解析超彈性壓入模型SHIM (semitheoretical hyperelastic-material indentation model).

基于式(14),由單壓頭的P-h壓入曲線可回歸得到加載系數(shù)C,Mooney-Rivlin 模型的雙參數(shù)C10和C01僅由獨(dú)立的C值無法求解.須根據(jù)兩種不同類型壓頭的P-h壓入曲線通過以下兩式

實(shí)現(xiàn)Mooney-Rivlin 模型的雙參數(shù)C10和C01求解.式(15)中C與C′分別對應(yīng)兩種壓頭的P-h壓入曲線的加載系數(shù).

1.3 k0, k1, k2 的有限元確定方法

冪律方程式(11)的系數(shù)k1,k2和指數(shù)k0均為與壓頭類型相關(guān)的常數(shù),可通過FEA 確定.由于式(14)為無量綱方程,故針對球壓頭、圓柱平面壓頭可選擇特定壓頭尺寸以及針對錐壓頭選擇特定角度進(jìn)行壓入變形分析.選定球壓頭、圓柱平面壓頭直徑均為2 mm,以及特征壓入深度hc為0.8 mm 時(shí)半錐角分別為53?,60?,65?,70.3?,75?錐壓頭進(jìn)行有限元分析確定k0,k1,k2.

假設(shè)受壓試樣的材料本構(gòu)關(guān)系符合 Mooney-Rivlin 模型律,應(yīng)用有限元分析軟件Ansys14.5 對如圖2 所示的球、平面、錐壓入的軸對稱網(wǎng)格模型完成有限元計(jì)算.Mooney-Rivlin 模型參數(shù)C10和C01取值分別滿足C10∈(0.01,2)MPa 和C01∈(0.1,2)MPa,網(wǎng)格模型采用Plane 182 平面單元,試樣的受壓接觸面使用Contact 172 接觸單元,并在接觸區(qū)域采用高密度網(wǎng)格,而在離接觸區(qū)域稍遠(yuǎn)處用較低密度網(wǎng)格.

圖1 有限元軸對稱模型Fig.1 The axisymmetric FEA indentation model

對符合C10∈(0.01,2) MPa 的C10分別取0.01,0.1,0.5,1,1.5,2 MPa 及符合C01∈(0.1,2) MPa 的C01分別取0.1,0.5,1,1.5,2 MPa,共計(jì)30 種材料進(jìn)行FEA 計(jì)算得到3 類壓入下的P-h壓入曲線,通過式(14)分別確定C,得到球、平面、錐3 類壓入下的3 組方程,進(jìn)而通過簡單回歸可得到球、平面壓入下SHIM 參數(shù)k0,k1和k2如表1 所示,特征壓入深度hc為0.8 mm 時(shí)不同角度錐壓入下SHIM 參數(shù)k0,k1和k2如表2 所示.

表1 球壓入與平面壓入下SHIM 參數(shù)Table 1 Parameters of SHIM for spherical and flat indentation

表2 錐壓入下SHIM 參數(shù)Table 2 Parameters of SHIM for conical indentation

由表1 可見,k0是規(guī)則的常數(shù),特別在平面壓入下k0=2,即P-h壓入曲線呈線性; 對于球壓入及平面壓入,SHIM 參數(shù)與直徑無關(guān).

由表2,對于錐壓入,不同半錐角下SHIM 變形系數(shù)k1,k2不同,但變形指數(shù)k0均為3,即錐壓入P-h關(guān)系符合拋物律.圖2 表明,k1,k2與半錐角余弦值cosθ 關(guān)系之間符合冪律

式中,系數(shù)β11,β21和指數(shù)β12,β22由表3 給出.

圖2 變形系數(shù)k1,k2 隨cosθ 的變化曲線Fig.2 Variations of deformation coefficient k1,k2 with cosθ

表3 變形系數(shù)kTable 3 Deformation coefficient k

2 有限元驗(yàn)證

2.1 向驗(yàn)證:壓入載荷?深度關(guān)系比對

對1.3 節(jié)計(jì)算中采用的30 種材料本構(gòu)關(guān)系參數(shù),可通過SHIM 預(yù)測得到材料分別在3 類壓頭壓入下的P-h壓入曲線,圖3 示出了SHIM 預(yù)測的P/P*-h/D壓入曲線與FEA 分析曲線,可見30 種材料條件下兩者之間密切吻合,SHIM 有很好的P-h壓入曲線預(yù)測精度,并有很強(qiáng)的材料普適性.

圖3 預(yù)測P-h 壓入曲線與FEA 結(jié)果比較Fig.3 Comparisons of predicted P-h indentation curves and those from FEA

2.2 反向驗(yàn)證:應(yīng)力?伸長比關(guān)系比對

對1.3 節(jié)的30 種材料FEA 分析得到的球、平面、錐壓入下P-h壓入曲線,通過3 類壓頭兩兩組合壓入的方式,由式(15)分別得到3 組加載系數(shù):C,C′,進(jìn)而可分別求得3 組Mooney-Rivlin 模型參數(shù):C10,C01,再根據(jù)式(6) 分別得到3 組本構(gòu)關(guān)系曲線(應(yīng)力?伸長比曲線).圖4 示出了預(yù)測的3 組本構(gòu)關(guān)系曲線與FEA 條件曲線,可見30 種材料條件下各類預(yù)測曲線之間、與FEA 條件曲線之間均密切吻合,SHIM 有很好的單軸本構(gòu)關(guān)系預(yù)測精度.

圖4 預(yù)測應(yīng)力?伸長比關(guān)系與FEA 結(jié)果比較Fig.4 Comparisons of predicted stress-stretch ratio curves and the FEA results

3 試驗(yàn)方法與驗(yàn)證

3.1 拉伸與壓入條件

對天然橡膠(NR)、氯丁橡膠(CR)、丁基橡膠(IIR) 進(jìn)行單軸拉伸試驗(yàn)并進(jìn)行球、平面、錐壓入試驗(yàn).

基于國家標(biāo)準(zhǔn)GB/T 528—2009[29]對3 種橡膠材料進(jìn)行單軸拉伸試驗(yàn)如圖5 所示,采用標(biāo)準(zhǔn)裁刀將購置的2 mm 厚橡膠板加工成標(biāo)準(zhǔn)啞鈴狀試樣,采用CARE 原位雙向拉壓試驗(yàn)機(jī)以2 mm/s 加載速率完成單軸拉伸試驗(yàn).

圖5 單軸拉伸試驗(yàn)裝置Fig.5 Uniaxial tension test equipment

采用圖 6 所示的 IMTSC型壓入儀完成壓入試驗(yàn),壓頭分別選取直徑 2 mm 球形及圓柱形平面壓頭和半錐角 70.3?錐形壓頭,試樣尺寸40 mm×40 mm×30 mm,試驗(yàn)加載速率為3μm/s[30],3 類壓頭的最大壓入深度h均為0.8 mm,每種材料試樣進(jìn)行兩次單壓頭壓入試驗(yàn).

圖6 壓入試驗(yàn)裝置Fig.6 Indentation test equipment

3.2 雙壓試驗(yàn)方法與試驗(yàn)比對

由式(14),對球、平面、錐單壓頭壓入下的P-h試驗(yàn)曲線進(jìn)行回歸可得加載系數(shù)CS、CC、CF,進(jìn)而可得它們關(guān)于Mooney-Rivlin 模型雙參數(shù)C10和C01的表達(dá)式

對式(17) 中3 個(gè)方程任意兩兩組合,即可求解C10和C01; 此外,不同半錐角條件下也可形成兩組獨(dú)立的加載系數(shù)求解方程.由球、平面、錐單壓頭壓入兩兩組合及不同半錐角下的錐?錐壓頭壓入下獲取Mooney-Rivlin 模型參數(shù)的試驗(yàn)方法統(tǒng)稱為雙壓試驗(yàn)方法(indentation method due to dual indenters,IMDI).此外,不同直徑的雙球壓頭壓入或雙圓柱平面壓頭壓入因k1,k2不隨壓頭直徑變化的自相似性,而不能采用同類壓頭壓入配對方式獲得材料本構(gòu)關(guān)系.

圖7 給出了3 種材料的單軸拉伸載荷P-位移l試驗(yàn)曲線,由單軸拉伸條件下伸長比λ 和應(yīng)力σ 的定義

可求出拉伸過程中λ 和σ 的試驗(yàn)數(shù)據(jù).式(18)中l(wèi)0為試樣原長,l為拉伸試樣等直段位移.圖8 給出了應(yīng)力?伸長比曲線.

圖7 單軸拉伸載荷?位移曲線Fig.7 Uniaxial tension load-displacement curve

圖8 單軸應(yīng)力?伸長比曲線Fig.8 Uniaxial stress-stretch ratio curve

圖9 壓入載荷?深度曲線Fig.9 Indentation load-depth curve

圖9 示出了球、平面、錐壓頭獨(dú)立壓入試驗(yàn)下3 種材料的P-h壓入試驗(yàn)曲線,對獲得的P-h壓入試驗(yàn)曲線進(jìn)行冪律回歸,為消除系統(tǒng)誤差,平移P-h壓入試驗(yàn)曲線,直至回歸的P-h壓入試驗(yàn)曲線的指數(shù)k0與表1 或表2 中的k0相同.針對P/P??h/D試驗(yàn)曲線,球壓入時(shí)選h/D∈[0.15,0.4]數(shù)據(jù)段、平面壓入時(shí)選h/D∈[0.1,0.4] 數(shù)據(jù)段、錐壓入時(shí)選h/D∈[0.15,0.4]數(shù)據(jù)段進(jìn)行回歸分別得到加載系數(shù)CS,CF,CC.

圖10 給出了使用雙壓試驗(yàn)方法IMDI 對球、平面、錐壓入兩兩結(jié)合預(yù)測的材料本構(gòu)關(guān)系及單軸拉伸試驗(yàn)結(jié)果,可見IMDI 預(yù)測超彈性材料本構(gòu)關(guān)系之間及與單軸拉伸試驗(yàn)結(jié)果之間均吻合良好.

圖10 預(yù)測應(yīng)力?伸長比關(guān)系曲線與單軸拉伸結(jié)果對比Fig.10 Comparison between predicted stress-stretch ratio curve with the uniaxial tensile results

4 結(jié)論

(1)基于能量密度等效原理,提出了球、平面、錐3 類壓頭獨(dú)立壓入條件下,描述載荷、深度、Mooney-Rivlin 關(guān)系參數(shù)、幾何尺寸之間關(guān)系的壓入模型SHIM,SHIM 正向預(yù)測的P/P??h/D壓入曲線與FEA分析曲線之間密切吻合;球、平面、錐壓頭兩兩組合壓入下SHIM 反向預(yù)測的3 組本構(gòu)關(guān)系曲線之間及與FEA 條件本構(gòu)關(guān)系曲線之間均密切吻合.

(2) 提出了由球、平面、錐單壓頭兩兩組合壓入下及具有不同半錐角的雙錐壓頭壓入下獲取Mooney-Rivlin 模型參數(shù)的雙壓試驗(yàn)方法.

(3) 對3 種橡膠材料分別進(jìn)行單軸拉伸試驗(yàn)及球、平面、錐壓入試驗(yàn),結(jié)果表明,通過雙壓試驗(yàn)方法預(yù)測得到的本構(gòu)關(guān)系曲線均與單軸拉伸試驗(yàn)結(jié)果具有良好的一致性.