大學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)過程的一般模型研究

王 培

（南京大學(xué)金陵學(xué)院基礎(chǔ)部 江蘇·南京 210089）

0 前言

人類進入信息時代，信息技術(shù)的快速發(fā)展和廣泛、深入的應(yīng)用，正以驚人的速度改變著人類的生產(chǎn)方式、學(xué)習(xí)方式和思維方式。傳統(tǒng)教學(xué)秉持的“授受主義”正在被一種以學(xué)習(xí)者體驗為中心的新學(xué)習(xí)模式所取代，索耶稱之為“深度學(xué)習(xí)”。它在知識建構(gòu)、知識的理解、知識間的貫通和知識的運用方面都提出了更高的要求，對學(xué)習(xí)者和教師來說是機遇也是挑戰(zhàn)。1976年，瑞典哥德堡大學(xué)學(xué)者Ference Marton和Roger Saljo在對大學(xué)生的閱讀實驗研究中，首次提出深度學(xué)習(xí)這一概念。國內(nèi)對于深度學(xué)習(xí)的系統(tǒng)研究起步較晚，黎家厚教授是最先介紹深度學(xué)習(xí)概念的國內(nèi)學(xué)者，他認為深度學(xué)習(xí)指學(xué)習(xí)者在理解的基礎(chǔ)上批判性學(xué)習(xí)新的思想和知識，將它們與原有的認知結(jié)構(gòu)相融合，實現(xiàn)眾多思想相互關(guān)聯(lián)并遷移已有知識到新情境，是做出決策和解決問題的學(xué)習(xí)。近幾年，深度學(xué)習(xí)已成為教育研究領(lǐng)域的一個熱門話題，國內(nèi)學(xué)者和一線教師正越來越多的關(guān)注深度學(xué)習(xí)的教學(xué)研究。

1 大學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的必要性

高等院校數(shù)學(xué)教育的任務(wù)包括基本知識的傳授、自學(xué)能力和創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)以及應(yīng)用數(shù)學(xué)思想和方法解決實際問題能力的培養(yǎng)，全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。數(shù)學(xué)素質(zhì)是指人們認識和處理數(shù)形規(guī)律、理解和運用邏輯關(guān)系、領(lǐng)會和研究抽象事物的能力，是一種思維模式和思維習(xí)慣，其外在表現(xiàn)就是人們對事物從量的方面進行觀察和研究的能力、思維的邏輯性和嚴(yán)謹性及應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的能力。下面將大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀作以下分析：從思維能力看，統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)化的授課模式過于強調(diào)學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)的具體知識，至于學(xué)生如何主動思考和運用這些知識解決實際問題卻考慮較少，學(xué)生學(xué)習(xí)思維仍停留在低階思維階段；從學(xué)習(xí)行為看，學(xué)生習(xí)慣了知識的灌輸，學(xué)習(xí)方式被動，主動探究性不夠，學(xué)習(xí)目標(biāo)停留在理解和記憶知識；從知識內(nèi)容看，相比于知識的質(zhì)來說，更注重知識的量。大學(xué)數(shù)學(xué)課程知識量大，學(xué)生負擔(dān)沉重，認知負荷超載。教學(xué)內(nèi)容拘泥于概念、定理和公式等“平板”化知識的堆砌，而非根植于文化、社會且與其他新興學(xué)科相結(jié)合的“立體”化知識，學(xué)生很難實現(xiàn)知識遷移。從認知層面看，學(xué)生更傾向于學(xué)習(xí)簡單直觀的知識，因為缺少相關(guān)的思維訓(xùn)練，學(xué)生對于相對復(fù)雜和抽象的知識很難接受，甚至有畏難情緒。

深度學(xué)習(xí)能力是指學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中進行獨立思考和合理質(zhì)疑，與教師、同伴有效溝通并合作，開展持續(xù)性自我反思監(jiān)控，在理解知識的前提下進行知識遷移及應(yīng)用的能力。深度學(xué)習(xí)能力的提高能夠有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，拓展學(xué)生的思維方式，有助于學(xué)生適應(yīng)快速發(fā)展的學(xué)習(xí)型社會的需求，跳出復(fù)制知識型學(xué)習(xí)的窠臼。同時深度學(xué)習(xí)將教師對課程設(shè)計的思考提升到一個新的高度，它能夠提高高校辦學(xué)質(zhì)量，促進高等教育的發(fā)展。因此從高等院校數(shù)學(xué)教育的任務(wù)和大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀來看，提高大學(xué)生深度學(xué)習(xí)能力、促進大學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生刻不容緩。

2 大學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的目標(biāo)

深度學(xué)習(xí)是以自主學(xué)習(xí)為載體，以高階思維為核心特征，以多元化學(xué)習(xí)策略為支撐，以有效遷移應(yīng)用為主要目的的有意義的學(xué)習(xí)方式。大學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的目標(biāo)就是引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)符號和概念的學(xué)習(xí)向理解和掌握數(shù)學(xué)學(xué)科思想和意義、提高數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的高階學(xué)習(xí)目標(biāo)轉(zhuǎn)換，是認知深度與廣度的提升。我們將大學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)目標(biāo)通過以下四個方面實現(xiàn)。

（1）知識結(jié)構(gòu)的改變。知識結(jié)構(gòu)從離散點狀結(jié)構(gòu)向立體網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)提升。一直以來，大學(xué)生的數(shù)學(xué)知識分布多是成呈點狀或線性的結(jié)構(gòu)，這種知識結(jié)構(gòu)不利于學(xué)生提取知識、進行知識整合和有效的實現(xiàn)知識遷移。深度學(xué)習(xí)要求學(xué)生厘清知識點之間的關(guān)系，建立新舊知識點之間的聯(lián)系，拓展知識的深度和寬度，通過深層次加工建立知識點之間的層級關(guān)系形成知識網(wǎng)絡(luò)，將知識結(jié)構(gòu)提升為立體網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，網(wǎng)狀知識結(jié)構(gòu)有利于知識的保持性和遷移性。

（2）學(xué)習(xí)行為的轉(zhuǎn)化。學(xué)習(xí)行為由被動接受式學(xué)習(xí)向合作探究式學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變。學(xué)生在課堂上習(xí)慣處于盲目接受知識的地位，學(xué)生學(xué)習(xí)是一種孤軍奮戰(zhàn)、獨善其身的行為。深度學(xué)習(xí)要求學(xué)生從被動理解、接受知識轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃优?、學(xué)習(xí)知識，幫助學(xué)生從被動學(xué)習(xí)向自主探究、構(gòu)建知識過渡，同時增加師生之間和生生之間互動，形成平等民主的師生關(guān)系和融洽互動的生生關(guān)系，提高學(xué)生的溝通表達和互助合作的能力。

（3）思維能力的轉(zhuǎn)型提升。思維能力從記憶、復(fù)述等低階思維能力向批判性思考、遷移、運用等高階思維能力轉(zhuǎn)化。安德森等在布盧姆教育目標(biāo)分類的基礎(chǔ)上，將認知目標(biāo)分為記憶、理解、應(yīng)用、分析、評價和創(chuàng)造，其中記憶、理解與應(yīng)用屬于低階思維范疇，分析、評價和創(chuàng)造屬于高階思維范疇?，F(xiàn)階段大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，大部分學(xué)生都是直接套用公式、定理或已知結(jié)論來解決問題，很少對問題的由來或該知識點如何應(yīng)用進行深入思考并提出質(zhì)疑。深度學(xué)習(xí)要求大學(xué)生在理解性學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，具備批判性的高階思維，通過整合、聯(lián)想、類比將新的知識融入原有知識體系，提高思維能力。

（4）認知層面的拓展延伸。認知層面從簡單具象向復(fù)雜抽象拓展延伸。初等數(shù)學(xué)知識簡單且具象，學(xué)生容易理解和把握。進入大學(xué)階段學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時，學(xué)生思維方式?jīng)]有經(jīng)過鍛煉，認知結(jié)構(gòu)未做相應(yīng)的調(diào)整，學(xué)生常常感到大學(xué)數(shù)學(xué)的知識點抽象、晦澀難懂，學(xué)習(xí)起來力不從心。數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展實際上就是不斷地抽象和概括的過程。在2015年出的第7版《兒童心理學(xué)及發(fā)展科學(xué)手冊》（國際兒童心理學(xué)研究領(lǐng)域的重要參考書之一）中指出大學(xué)本科教育的重點是著力培養(yǎng)學(xué)生的系統(tǒng)抽象思維能力和形成自我抽象原則能力，大學(xué)本科教育一定要抓住學(xué)生抽象思維高度發(fā)展的窗口期，提高并延伸學(xué)生的認知層面，為學(xué)生提供一個看待世界的全新視角。

3 大學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)模型

大學(xué)數(shù)學(xué)教育不是在問題和答案之間建立簡單的對應(yīng)關(guān)系，而是幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和學(xué)習(xí)效能。為了實現(xiàn)大學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的四個目標(biāo)，我們將大學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)整個過程分為三個階段：探究階段、應(yīng)用階段、拓展階段（圖1）。

探究階段是理解批判性的學(xué)習(xí)知識的階段。首先，學(xué)生需要明確自己的學(xué)習(xí)目標(biāo)，以學(xué)習(xí)目標(biāo)為導(dǎo)向開展學(xué)習(xí)活動。信息時代，學(xué)生需具備從眾多信息中快速獲取有用信息的能力，將獲取的信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)知識，學(xué)生需抱持批判和懷疑的態(tài)度進行知識儲備，積累事實性知識和概念性知識，并處理好兩者間的平衡關(guān)系，形成良好的知識結(jié)構(gòu)。

圖1

應(yīng)用階段是信息整合和知識構(gòu)建階段。通過對知識批判的分析和理解，學(xué)生對獲取的信息進行整合、抽象、概括，通過互動討論和分析概括建立前概念和新的數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，改造和重組原有經(jīng)驗，將新的數(shù)學(xué)知識納入原有的認知結(jié)構(gòu)中去，將知識結(jié)構(gòu)提升為網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，完成新舊知識經(jīng)驗間的雙向建構(gòu)，實現(xiàn)知識的順應(yīng)與同化。深入思考，主動提取知識和應(yīng)用知識，通過反思，促進學(xué)生對知識深層次的理解。這樣的循環(huán)過程，使得學(xué)生學(xué)習(xí)行為從接受式學(xué)習(xí)向探究式學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化，有助于進一步的科研創(chuàng)新。

拓展階段是指學(xué)生在已有知識結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上理解深層次的數(shù)學(xué)知識，形成獨立的認知結(jié)構(gòu)體系，提升思維能力，將數(shù)學(xué)知識遷移至其他學(xué)科領(lǐng)域。此階段分為三個層次，首先，學(xué)生不僅要掌握概念、定理等結(jié)構(gòu)化知識，還要理解深層知識、復(fù)雜概念等非結(jié)構(gòu)化知識，通過類比，完成知識的內(nèi)部關(guān)聯(lián)遷移。其次，學(xué)生嘗試在學(xué)習(xí)和生活過程中發(fā)現(xiàn)新問題，學(xué)會用數(shù)學(xué)語言和方式刻畫描述大腦中的實際問題，對知識進行深度加工，將需要解決的問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，即從學(xué)習(xí)具體的數(shù)學(xué)知識向建構(gòu)抽象的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化。最后，通過聯(lián)想，完成知識的外部拓展遷移。建立數(shù)學(xué)知識與不同學(xué)科間的聯(lián)系，分析判斷在新情境下應(yīng)用知識時所需條件的差異，將所掌握的數(shù)學(xué)知識和相關(guān)數(shù)學(xué)模型完善拓展并應(yīng)用于其他學(xué)科領(lǐng)域，實現(xiàn)創(chuàng)新運用，即數(shù)學(xué)知識的有效遷移和數(shù)學(xué)思維的遷移運用。比如我們可以利用概率論中隱含馬爾科夫鏈模型用于解決語音識別、天氣預(yù)報、股票預(yù)測等問題；將布爾代數(shù)與計算機知識相結(jié)合，解決信息搜索問題；將余弦定理用于新聞分類等等。幫助學(xué)生以更廣闊的視野看待數(shù)學(xué)問題，實現(xiàn)認知層面的提升。

4 結(jié)語

隨著人工智能、大數(shù)據(jù)等新一代信息技術(shù)的迅速發(fā)展，人類進入了知識經(jīng)濟時代，對數(shù)學(xué)知識的要求越來越高。對大學(xué)生而言，知識復(fù)制性的淺層學(xué)習(xí)已經(jīng)不能適應(yīng)高速發(fā)展的社會，因為知識經(jīng)濟時代需要的不是墨守成規(guī)的執(zhí)行者，而是能夠創(chuàng)新、解決復(fù)雜問題并用復(fù)雜概念創(chuàng)造新理論的人。深度學(xué)習(xí)可以幫助學(xué)習(xí)者實現(xiàn)理解和創(chuàng)新性學(xué)習(xí)，知識經(jīng)濟時代的來臨成為進行深度學(xué)習(xí)的根本原因。如何才能更好的促進大學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生，教師仍需要在教學(xué)過程中不斷的探索、實踐、反思和總結(jié)。