置換對稱性的圖示化教學(xué)及應(yīng)用

趙 陽

（北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 北京 102488）

多元積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，也是難點(diǎn)，在計算上往往比較復(fù)雜，許多情況下可利用幾何意義和對稱性可以使得計算簡潔方便。[1-2]但在許多教材中，置換對稱性提及的不多，或者只是敘述一個輪換對稱性(輪換常指按照順序從左到右置換)結(jié)果，直接應(yīng)用。嚴(yán)格的證明用到多重積分的換元法，[3-5]換元法在許多學(xué)校的教學(xué)大綱里不做要求，所以課堂上也很少講述，這樣導(dǎo)致學(xué)生們使用對稱性時只能照搬方法，知其然，而不知其所以然，容易進(jìn)一步固化思維，不利于多維度思維方式和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。本文利用圖示化的方法對置換對稱性做了詳細(xì)的教學(xué)設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生去探索結(jié)論的來龍去脈，并應(yīng)用到具體實(shí)例中，讓學(xué)生參與創(chuàng)造性教學(xué)活動中，培養(yǎng)基本的邏輯論證和創(chuàng)新能力。

1 置換對稱性的圖示化

先考察兩個特殊例子，引導(dǎo)學(xué)生自己去探索計算的過程。

積分與使用的符號無關(guān)，數(shù)學(xué)家陳省身評論：笛卡爾一生最偉大的貢獻(xiàn)是創(chuàng)建了直角坐標(biāo)系，但是笛卡爾在創(chuàng)建直角坐標(biāo)系的時候犯了a little mistake，他把橫軸叫做x軸，縱軸叫做y軸，其實(shí)x軸和y軸的地位是identical的。所以得到：

圖7

上面兩個例子經(jīng)過圖示化方法說明了置換對稱性的原理，不需要復(fù)雜的證明，可以讓學(xué)生有一個清晰的認(rèn)識，避免在使用置換對稱性時出錯。讓學(xué)生從特殊到一般，自己寫出置換對稱性的一般情況，體會創(chuàng)造性過程的樂趣。

嚴(yán)格的證明可見。對于不講換元法的課程來說，這樣圖示化說明既簡潔又解釋了原理，可以讓學(xué)生很好地參與到結(jié)論的創(chuàng)立之中，激發(fā)學(xué)生的興趣和創(chuàng)造力。進(jìn)一步可寫出三維的情況：

其它的置換情況(共六種情形)可以自己寫出來，常用的輪換對稱性是其中一個特殊情況。

2 置換對稱性的應(yīng)用

解：由置換對稱性得：

例3(競賽)設(shè) 在[0,1]上連續(xù)，證明：

圖8

3 總結(jié)

任一學(xué)科的發(fā)展都充滿了創(chuàng)造性，教學(xué)設(shè)計也是一種創(chuàng)造性活動，如何讓學(xué)生有所收獲，發(fā)揮主動性是每一老師面對的問題。歐拉認(rèn)為：“數(shù)學(xué)這門科學(xué)需要觀察，也需要實(shí)驗(yàn)，模型和圖形的廣泛應(yīng)用就是這樣的例子?！痹跀?shù)學(xué)教學(xué)中對概念，定理引入圖示化方法可以直觀增加學(xué)生的感性認(rèn)識，引導(dǎo)學(xué)生主動參與這一過程，更好理解其本質(zhì)的含義，有助于建立獨(dú)立思考和創(chuàng)新的思維方法。