對(duì)大學(xué)物理課程中“e指數(shù)規(guī)律”的探討

陳學(xué)文 江 秦 張家偉 劉春蘭

(重慶科技學(xué)院數(shù)理與大數(shù)據(jù)學(xué)院，重慶 401331)

大學(xué)物理課程主要分為力學(xué)、熱學(xué)、電磁學(xué)、光學(xué)和近代物理五部分，從其物理運(yùn)動(dòng)機(jī)理來看，彼此之間似乎是互不關(guān)聯(lián)的。然而大學(xué)物理課程又是一門規(guī)律性很強(qiáng)的學(xué)科，許多看來似乎互不相干的物理現(xiàn)象，在某種意義上也遵循著共同的規(guī)律。例如：萬有引力和靜電場(chǎng)力均滿足“平方反比”定律，二者都是保守力，做功與路徑無關(guān)，均可引入相應(yīng)的勢(shì)能，因此可以將二者“統(tǒng)一”起來描述[1,2]；質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)與剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，它們的物理規(guī)律具有高度相似性，在學(xué)習(xí)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，結(jié)合質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，只要對(duì)應(yīng)相應(yīng)的物理量和物理規(guī)律，可快速掌握剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)相關(guān)知識(shí)[3]；靜電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng)同樣有很多相同的規(guī)律，用高斯定理和環(huán)路定理描述二者場(chǎng)的性質(zhì)，在求解靜電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng)時(shí)，分析計(jì)算過程也具有相同的規(guī)律[4]。

常數(shù)e與物理學(xué)有密切聯(lián)系，物質(zhì)運(yùn)動(dòng)中常常有e的身影。在數(shù)學(xué)上，某一變量的改變率與它本身成正比時(shí)，此改變量的數(shù)學(xué)形式為e-指數(shù)函數(shù)的形式。文獻(xiàn)[5]討論了自然常數(shù)e與物理學(xué)的關(guān)系。在許多物理過程中，相應(yīng)的物理量滿足“e指數(shù)規(guī)律”。例如：力學(xué)中質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中受到與其速度成正比的粘滯阻力的運(yùn)動(dòng)，剛體在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)過程中受到阻力矩的轉(zhuǎn)動(dòng)，熱學(xué)中的等溫壓強(qiáng)公式，電磁學(xué)中的暫態(tài)過程，介質(zhì)對(duì)光的吸收和散射，原子核的放射性衰變等，均滿足指數(shù)規(guī)律。此外，在復(fù)利計(jì)算、老鼠(細(xì)菌等)增長(zhǎng)與時(shí)間的關(guān)系、化學(xué)污染的衰退時(shí)間、化學(xué)反應(yīng)中濃度與反應(yīng)時(shí)間的關(guān)系等問題，也滿足e指數(shù)規(guī)律。文獻(xiàn)[6]討論了常數(shù)1/e在電磁學(xué)中的重要性及其物理意義。在本文中，筆者對(duì)大學(xué)物理課程中滿足指數(shù)規(guī)律的物理問題做了討論和總結(jié)。希望通過這些實(shí)例，展示不同物理現(xiàn)象之間相關(guān)聯(lián)的規(guī)律性，顯示數(shù)學(xué)規(guī)律在物理研究中的作用。

1 大學(xué)物理課程中的指數(shù)規(guī)律

1.1 力學(xué)中的指數(shù)規(guī)律

質(zhì)點(diǎn)或物體在粘滯流體(如空氣、水等)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)速度不太大時(shí)，其所受到的粘滯阻力與速度的一次方成正比。設(shè)有質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在粘滯液體中運(yùn)動(dòng)，初速度為v0，質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中受到粘滯阻力Fr=-kv且受到的其他合外力為零(如高臺(tái)跳水，運(yùn)動(dòng)員入水后所受到的重力與浮力相等)。根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律可得

(1)

對(duì)上述一階微分方程分離變量并積分：

(2)

另外一種情況是質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中所受到的合外力滿足F=a-bv(例如小鋼球在蓖麻油中下落，在下落過程中受到重力、浮力和粘滯阻力Fr=-bv的作用)。在此情況下有

(3)

(4)

類似于質(zhì)點(diǎn)的阻尼運(yùn)動(dòng)，在剛體定軸阻尼轉(zhuǎn)動(dòng)中也存在著指數(shù)規(guī)律。例如，齒輪或風(fēng)扇等的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。若關(guān)閉齒輪和風(fēng)扇的電源，它們將在軸的摩擦阻力矩Mz=-kω作用下運(yùn)動(dòng)。其角速度ω與t的關(guān)系滿足ω(t)=ω0e-kt/J時(shí)，受到恒定力矩M和阻力矩的共同作用，其角速度ω與t滿足ω(t)=ω0(1-e-kt/J)。

1.2 熱學(xué)中的指數(shù)規(guī)律

玻爾茲曼把麥克斯韋速率分布推廣到氣體分子在任意場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的情形，從而得到了重力場(chǎng)中的等溫壓強(qiáng)公式，并證明等溫壓強(qiáng)公式(對(duì)流層中大氣壓強(qiáng)與高度的關(guān)系)滿足e指數(shù)規(guī)律。一般條件下，大氣壓強(qiáng)和溫度均會(huì)隨著高度的變化而變化，且變化十分復(fù)雜，因而對(duì)大氣壓強(qiáng)隨高度變化的研究也十分困難。為了加強(qiáng)對(duì)大氣壓強(qiáng)變化規(guī)律的探索，本文先研究在等溫大氣中壓強(qiáng)的變化規(guī)律。關(guān)于地球表面壓強(qiáng)問題，文獻(xiàn)[7]分別從分子運(yùn)動(dòng)論的觀點(diǎn)和力學(xué)的觀點(diǎn)對(duì)此作了詳細(xì)探討。正如文獻(xiàn)[7]中所指出的地球本身是一個(gè)球體，因而討論大氣壓強(qiáng)時(shí)所選取的氣體體積元應(yīng)為如圖1中所示的錐形(陰影部分)。此外，除大氣重量外其他因素也有影響。由于地球半徑很大，因此，在理想情況下可將大地看做平面，因而圖1中的錐形空氣柱可看成圓柱形空氣柱如圖2所示。首先假設(shè)等溫大氣處于平衡態(tài)，現(xiàn)在選取垂直高度為z～z+dz，面積為S的一薄層氣體為研究對(duì)象，分析這一等溫大氣薄層氣體的受力情況，如圖2所示。

圖1 地球表面氣體壓強(qiáng)示意圖

圖2 等溫壓強(qiáng)示意圖

其中，p為氣體薄層底部受到的壓強(qiáng)，dp為氣體薄層上下表面的壓強(qiáng)差，ρ(z)為高度為z處的大氣密度，g為重力加速度且不隨高度變化。由于該大氣系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，應(yīng)該達(dá)到力學(xué)平衡，分析其受力情況為pS=(p+dp)S+ρ(z)gSdz，即

dp=-ρ(z)gdz

(5)

(6)

(7)

上式稱為等溫壓強(qiáng)公式。其中p0是海平面的大氣壓強(qiáng)，Mm=0.029kg/mol為空氣摩爾質(zhì)量。

在實(shí)際情況中，氣溫也與海拔有關(guān)，在對(duì)流層，海拔每升高1000米，氣溫下降約0.6攝氏度，溫度與海拔的關(guān)系可表示成T=T0-αz，α=0.006K/m。在此情況下，(6)式變成

(8)

(9)

完成積分運(yùn)算可得

(10)

圖3 大氣壓強(qiáng)隨海拔高度的變化

圖3給出了理想情況下的等溫壓強(qiáng)和考慮高階修正的壓強(qiáng)隨海拔高度的變化。圖中實(shí)線表示等溫壓強(qiáng)隨海拔高度的變化，虛線表示考慮了溫度影響的壓強(qiáng)隨海拔高度的變化。

1.3 電磁學(xué)中的指數(shù)規(guī)律

直流電路中的暫態(tài)過程:暫態(tài)過程一般經(jīng)歷時(shí)間很短,但出現(xiàn)的現(xiàn)象有時(shí)非常重要。如發(fā)電、供電設(shè)備由于開關(guān)操作所引起暫態(tài)過程中,某些部分可能出現(xiàn)比穩(wěn)態(tài)時(shí)大數(shù)十倍的電壓、電流,嚴(yán)重威脅電氣設(shè)備和人身安全，但在電子電路中卻有巧妙應(yīng)用。

(11)

分離變量并積分，得

(12)

圖4 RL電路的接通

若t=L/R時(shí)，i(t)=I0(1-e-1)=0.63I0，當(dāng)電流從0增加到恒定值的63%所需的時(shí)間為L(zhǎng)/R。

(2) 已通電RL電路的短接(圖5)。當(dāng)通過RL的電流已經(jīng)穩(wěn)定以后，按下開關(guān)K，源電路被開關(guān)K所在的短路線cd分為兩個(gè)互不影響的回路：abcda和dcfgd。對(duì)于含R、L的回路abcda，K接通后雖然它已經(jīng)脫離電源，但由于L的自感作用，該回路的電流還要持續(xù)一段時(shí)間才會(huì)消失。

圖5 已通RL電路的短接

(13)

若t=L/R時(shí)，i(t)=I0e-1=0.37I0，當(dāng)電流從I0遞減到恒定值的37%所需的時(shí)間為L(zhǎng)/R。

L越大，R越小，時(shí)間越長(zhǎng)，電流增加或遞減得越慢。L/R標(biāo)志LR電路中暫態(tài)過程持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)短的特征量即時(shí)間常量，用τ表示，時(shí)間常量τ越大，暫態(tài)過程中電流變化越慢。

1.4 光學(xué)中的指數(shù)規(guī)律

光在穿過介質(zhì)時(shí)，介質(zhì)會(huì)吸收部分光。此過程可用朗伯-比爾定律表述：光被透明介質(zhì)吸收的比例與入射光的強(qiáng)度無關(guān)；在光程上每等厚層介質(zhì)吸收相同比例值的光。如圖6所示，一束光穿過介質(zhì)，介質(zhì)對(duì)光的吸收系數(shù)為α，即Iout-Iin=-Iinαdx?？捎梦⒎址匠虒⑵浔硎境?/p>

(14)

分離變量并積分，可得

I(x)=I0e-αx

(15)

圖6 光穿過介質(zhì)時(shí)吸收的示意圖

1.5 放射性元素衰變的e指數(shù)規(guī)律

將一定量的某放射性元素單獨(dú)收存起來，它的數(shù)量會(huì)逐漸減少，因?yàn)橐徊糠纸?jīng)放射過程變成另一種元素了。這叫衰變。在足夠多的原子核中，每一個(gè)核在什么時(shí)候發(fā)生衰變是不能預(yù)知的。但是如果在短時(shí)間dt內(nèi)，有dN個(gè)核改變，從統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)，改變率dN/dt必定與當(dāng)時(shí)存在的總原子核數(shù)目y′=-ky成正比，即

(16)

λ是比例常數(shù)，是放射性物質(zhì)衰變快慢的標(biāo)志，成為衰變常數(shù)。令t=0時(shí)e-1≈0.367，上述方程的解為

N(t)=N0e-λt

(17)

2 指數(shù)規(guī)律總結(jié)

綜合以上具體例子，表1簡(jiǎn)要總結(jié)出了大學(xué)物理課程中遵循指數(shù)規(guī)律的部分物理過程。

表1 滿足指數(shù)規(guī)律的部分物理過程

自然界中遵循指數(shù)規(guī)律的物理過程是廣泛存在的，這些物理過程離不開形如y′=-ky和y′=c-ky類型的一階微分方程，其通解分別為y=y0e-t/τ和y=y0(1-e-t/τ)因此這類微分方程在物理上的重要性是不言而喻的。由于指數(shù)規(guī)律衰減很快，所以y很快趨于0或y0。例如球形小球在流體中下落(如“落球法測(cè)量蓖麻油的粘滯系數(shù)”實(shí)驗(yàn)中小鋼球在蓖麻油中下落，“密立根油滴”實(shí)驗(yàn)中油滴在空氣中下落)時(shí)，在雷諾數(shù)不太大時(shí)其受到的粘滯阻力可由斯托克斯公式Fr=-6πηrv給出。此情況下6πηr/m相當(dāng)于式(4)中的b，“弛豫時(shí)間”為τ=m/6πηr=2r2ρ/9η，可以看出小球半徑越小、流體粘滯系數(shù)越大，“弛豫時(shí)間”越短。對(duì)于蓖麻油，其粘滯系數(shù)與溫度有關(guān)，溫度為20℃時(shí)η20℃=0.95Pa·s，鋼球半徑取r=1mm，鋼球密度ρ鋼=7900kg/m3，在此情況下弛豫時(shí)間τ=0.00185s。由于e-7≈0.0001，1-e-7≈0.999，鋼球經(jīng)過7τ=0.013s的時(shí)間便達(dá)到最終速度的0.999倍，此時(shí)可以認(rèn)為鋼球已經(jīng)達(dá)到勻速；對(duì)密立根油滴實(shí)驗(yàn)，空氣粘滯系數(shù)η=1.83×10-5Pa·s，油滴典型半徑r=8.0×10-7m，油滴(鐘表油)密度ρ油=981kg/m3，則τ=3.43×10-5s。油滴經(jīng)過7τ=2.4×10-4s的時(shí)間便達(dá)到勻速。在RL電路中，電阻越小、電感越大，弛豫時(shí)間τ=R/L越大。又如對(duì)于一般家用40W日光燈鎮(zhèn)流器的電感約為1H，20W日光燈鎮(zhèn)流器的電感約為1.2H，8W日光燈鎮(zhèn)流器的電感約為2H，它們的弛豫時(shí)間約為0.0003～0.001s之間，則RL電路中電流經(jīng)過很短時(shí)間(≤0.007s)便衰減到0或者增加到I0?？梢钥闯觯捎趀指數(shù)衰減很快，實(shí)際中物理量會(huì)迅速達(dá)到常量或衰減到零。

3 結(jié)語

大學(xué)物理課程是一門規(guī)律性很強(qiáng)的科學(xué)，將不同的物理現(xiàn)象、物理過程用同一個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)律統(tǒng)一描述，能夠?qū)⒉煌闹R(shí)統(tǒng)一在一起理解，不僅加深對(duì)物理過程的理解，也可加深對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的深入理解與應(yīng)用。“e指數(shù)規(guī)律”便是大學(xué)物理中一個(gè)十分普遍和重要的規(guī)律。