二維邊值問題九點差分方程的病態(tài)因子與通用預(yù)條件子

張衡,鄭漢垣

（1. 福建技術(shù)師范學(xué)院 a.無損檢測技術(shù)福建省高等學(xué)校重點實驗室；b.電子與信息工程學(xué)院,福建福清350300；2.龍巖學(xué)院傳播與設(shè)計學(xué)院,福建龍巖364012）

大規(guī)模病態(tài)（高條件數(shù)）稀疏線性方程組常常來自偏微分方程大規(guī)模數(shù)值求解問題[1，2]，該方程組的條件數(shù)往往隨著問題規(guī)模的增加而增加[3]，成為求解效率和精度的制約因素，因此，在迭代求解之前，使用預(yù)處理方法來減少方程組的病態(tài)，成為提高求解效率和精度的必要措施.“預(yù)處理技術(shù)”是指在求解方程組

預(yù)條件子的構(gòu)造一直是難題，對病態(tài)問題缺乏科學(xué)研究是主要原因之一.目前關(guān)于病態(tài)機理和預(yù)處理原理的研究鮮見有成果發(fā)表.

文獻(xiàn)[6]針對二維泊松方程邊值問題的五點差分方程，研究了病態(tài)結(jié)構(gòu)和病態(tài)因子，提出用去病因子消除原發(fā)病態(tài)的方法.文章研究二維泊松方程邊值問題九點差分方程的病態(tài)問題，基于結(jié)構(gòu)分析的策略[6-9]，研究病態(tài)結(jié)構(gòu)，分離出該方程的病態(tài)因子、給出去病因子.通過與五點差分方程比較，說明去病因子的通用性.

1 基于病態(tài)結(jié)構(gòu)的預(yù)處理策略

1.1 病態(tài)因子和去病因子

定義1 設(shè)β＞α，α,β是整數(shù)，Z 是α×β矩陣，如果ZZTT可逆，Cond(Z ZTT)是階數(shù)α的增函數(shù).則Z 稱為α×β病態(tài)因子.

定義2 對于定義1中α×β的病態(tài)因子Z ，如果有可逆矩陣H 滿足：ZZT=HHT，則稱矩陣H 為屬于Z的去病因子[6].

命題1[6]設(shè)Z 是α×β病態(tài)因子，矩陣H 為屬于Z 的去病因子，則對于任意β階正定對稱矩陣P，有

1.2 矩陣的病態(tài)結(jié)構(gòu)

定義3 稱可逆矩陣A的如下結(jié)構(gòu)為病態(tài)結(jié)構(gòu)：

在定義3中，ZPZTT為A 的主體，所以Cond(A) ≈ Cond(Z PZT).Q對 病 態(tài)的影響很小.

定義4 在定義3中，由病態(tài)因子表達(dá)的病態(tài)稱為原發(fā)性病態(tài)，其他因素表達(dá)的病態(tài)稱為繼發(fā)性病態(tài).

1.3 基于病態(tài)結(jié)構(gòu)的預(yù)處理

如果A有(3)式的病態(tài)結(jié)構(gòu)，則根據(jù)命題1結(jié)論1)，可以利用病態(tài)因子的條件數(shù)，估計方程組的病態(tài)；根據(jù)命題1結(jié)論2)，屬于Z的去病因子H可以抑制或者消除的作用，即消除原發(fā)性病態(tài).

事實上，如果A具有(3)式的病態(tài)結(jié)構(gòu)，使用去病因子H作為預(yù)條件子，則方程(1)化成

因為Cond(P)關(guān)于A的階數(shù)一致有界，因此，HHTT是最優(yōu)預(yù)條件子[5].

綜上所述，提出如下基于病態(tài)結(jié)構(gòu)的預(yù)處理策略：

1）通過結(jié)構(gòu)分析，分離出病態(tài)因子，確定病態(tài)結(jié)構(gòu)；

2）針對病態(tài)因子，確定去病因子；

3）去病因子是最優(yōu)預(yù)條件子.

注1：不同的分析方法，可能得到不同的病態(tài)因子，同一個病態(tài)因子，也可以有不同的去病因子；病態(tài)因子的選擇，應(yīng)有利于計算條件數(shù)和得到去病因子，去病因子的選擇，應(yīng)有利于降低預(yù)處理成本.

基于病態(tài)結(jié)構(gòu)的預(yù)處理策略，是針對病因的，病態(tài)因子就是病因，去病因子可以抑制病因發(fā)作.與此相比，以往的預(yù)處理方法主要是針對病癥而不是病因，所以效果有限，難以通用.

依據(jù)上述預(yù)處理策略，確定病態(tài)因子和去病因子是預(yù)處理的關(guān)鍵，本文將針對二維泊松

2 二維泊松方程邊值問題非均勻網(wǎng)格的有限差分方程

使用有限差分方法，求解二維泊松方程邊值問題[4]91-98

2.1 非均勻網(wǎng)格的有限差分格式則

根據(jù)4階精度的泰勒展開式，有

2.2 非均勻網(wǎng)格的有限差分方程

容易驗證，由格式(6)確定的差分方程為

則向量uyx由邊界條件和邊界上的網(wǎng)格點確定，是已知的；格式(7)的矩陣形式如下

因此容易驗證，由格式 (7)確定的差分方程為

3 有限差分方程的病態(tài)結(jié)構(gòu)與去病因子

3.1 兩個病態(tài)因子及其去病因子

證明：1)驗證即可；

證明：直接驗證.證畢

命題5.

命題 5說明Zt是病態(tài)因子，命題 4說明Ht是Zt的去病因子，t∈{5,9}.

3.2 有限差分方程的病態(tài)結(jié)構(gòu)與去病因子

3) 根據(jù)命題1的結(jié)論2)可得.證畢.

命題 5和 6結(jié)論 1)和 2)說明：式 (12)、(13)表達(dá)了At的病態(tài)結(jié)構(gòu)，Zt是At的病態(tài)因子；命題 4說明：Ht是Zt的去病因子；命題 6結(jié)論3)說明：Ht是最優(yōu)預(yù)條件子.

上述差分方程(9)、(11)都有(3)式的病態(tài)結(jié)的主要病態(tài)來自微分算子，病態(tài)因子是這些病態(tài)的表達(dá)，而去病因子則可以抑制或者消除這些病態(tài).

基于病態(tài)結(jié)構(gòu)的預(yù)處理策略是針對病因的，可以從根本上解決病態(tài)的主要問題.

病態(tài)因子及其去病因子有簡單、確定、獨立的結(jié)構(gòu)，病態(tài)因子及其去病因子可以因數(shù)值方法的不同而有不同的形式，但是病態(tài)結(jié)構(gòu)是類似的.

4 有限差分方程去病因子的通用性

文獻(xiàn) [6]給出的差分方程與方程 (9)是 2階精度的不同差分格式得到的不同的差分方程，有類似的病態(tài)結(jié)構(gòu)，病態(tài)因子完全相同，因此去病因子也通用.

由命題1結(jié)論1），結(jié)論成立.證畢.

命題7 結(jié)論1）、2）分別說明，H9,H5可以作為方程(9)、(11)的預(yù)條件子，仍然是最優(yōu)預(yù)條件子，所以H9,H5是通用的預(yù)條件子.

5 結(jié)論

5.1 二維泊松方程邊值問題有限差分網(wǎng)格方程的原發(fā)性病態(tài)，是微分算子造成的，差分方程的結(jié)構(gòu)中包含表達(dá)這種病態(tài)的病態(tài)因子.基于病態(tài)結(jié)構(gòu)的預(yù)處理策略，是針對這種病因的所采取的方法，可以從根本上抑制病態(tài)，并且使用的預(yù)條件子具有通用性.

5.2 與以往的預(yù)處理方法比較，基于病態(tài)結(jié)構(gòu)的預(yù)處理策略，針對性強（針對病態(tài)因子），目標(biāo)和效果明確（消除原發(fā)性病態(tài)，控制繼發(fā)性病態(tài)），方法具有通用性.

5.3 病態(tài)因子和去病因子有稀疏、獨立的結(jié)構(gòu)，因此在預(yù)處理中，無須專門的存儲，易于編程，不顯著增加計算復(fù)雜度.

5.4 去病因子不唯一，而且是通用的，有利于根據(jù)實際問題和計算環(huán)境的具體需要（如并行計算等的需要），靈活設(shè)計.