概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) “金課”建設(shè)與教學(xué)改革
——基于慕課的混合式教學(xué)模式的探索與實(shí)踐?

徐 爾 趙魯濤 李 娜 張志剛 范玉妹

（北京科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，北京 100083）

一、前言

2018年6月21日，教育部召開了改革開放以來第一次中國高等學(xué)校本科教育工作會(huì)議，指出要把本科教育放在我國人才培養(yǎng)的核心地位，提出建設(shè) “金課” 的目標(biāo)和要求［1］。為了更好地將知識(shí)、能力和素質(zhì)融為一體，培養(yǎng)學(xué)生的高級(jí)思維及解決復(fù)雜問題的綜合能力，我們對(duì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程開展了 “金課”建設(shè)研究與實(shí)踐［2］。在原有課程建設(shè)的基礎(chǔ)上，概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)團(tuán)隊(duì)重新精心設(shè)計(jì)，豐富擴(kuò)充了原有的教學(xué)內(nèi)容，開發(fā)制作了概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在線課程，并開展了翻轉(zhuǎn)課堂及線上線下的混合式教學(xué)［3］。課程內(nèi)容大大增加了前沿性和應(yīng)用性，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考能力與學(xué)以致用的能力；教學(xué)方式通過結(jié)合多元化信息技術(shù)手段充分體現(xiàn)了先進(jìn)性；線下通過開展互動(dòng)式、探究式教學(xué)活動(dòng)，進(jìn)行開放性的課堂討論，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力［4］；采用多元化課程考核方式，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的全過程進(jìn)行考核。該課程已成功在 “中國大學(xué) MOOC”平臺(tái)上線。通過課程的建設(shè)和改革，成功地實(shí)現(xiàn)了從 “傳授知識(shí)型”到 “培養(yǎng)能力型”的轉(zhuǎn)變［5］。

二、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)現(xiàn)狀

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程 （48學(xué)時(shí)）是理工科學(xué)生三門基礎(chǔ)數(shù)學(xué)必修課之一，是各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中進(jìn)行理論研究和實(shí)踐工作的基礎(chǔ)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提升科研和創(chuàng)新能力都具有重要的作用。但對(duì)大二學(xué)生來說，相對(duì)高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)而言，課程具有相當(dāng)大的難度。而目前的教學(xué)現(xiàn)狀很難提高教學(xué)質(zhì)量，達(dá)到本課程的教學(xué)目標(biāo)。

（一）教學(xué)手段陳舊

概率統(tǒng)計(jì)研究的是隨機(jī)現(xiàn)象中的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，而統(tǒng)計(jì)規(guī)律通常隱蔽在海量數(shù)據(jù)中，只有在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中才能被呈現(xiàn)出來，而呈現(xiàn)方式在傳統(tǒng)、陳舊的教學(xué)手段下很難實(shí)現(xiàn)，這就加大了學(xué)生對(duì)結(jié)果理解的難度。

（二）教學(xué)內(nèi)容滯后

概率統(tǒng)計(jì)是研究解決隨機(jī)問題重要的數(shù)學(xué)工具，在實(shí)際中具有廣泛的應(yīng)用。但傳統(tǒng)教學(xué)重理論輕應(yīng)用，課堂教學(xué)所用的例子與實(shí)際生活也相去甚遠(yuǎn)。為了培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的綜合能力，亟須改進(jìn)相對(duì)滯后的教學(xué)內(nèi)容。

（三）教學(xué)模式落后

傳統(tǒng)教學(xué)模式中教師占主導(dǎo)地位，課堂教學(xué)質(zhì)量完全依賴于教師的教學(xué)水平，不能體現(xiàn)學(xué)生在教學(xué)中的主體地位。學(xué)生學(xué)習(xí)被動(dòng)，沒有機(jī)會(huì)去思考，提問和質(zhì)疑，不能很好地調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，更無從培養(yǎng)他們的創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力。

（四）考核方式單一

與傳統(tǒng)教學(xué)模式相匹配的考核方式自然是考試成績(jī)一錘定音，這種單一的評(píng)價(jià)體系導(dǎo)致學(xué)生往往通過做大量習(xí)題來提高成績(jī)，而忽略了自身能力的培養(yǎng)。

為了徹底改變這種落后的教學(xué)現(xiàn)狀，我們通過 “金課”建設(shè)，引入基于慕課的線上線下混合式教學(xué)模式［6］，其教學(xué)設(shè)計(jì)思想如圖1所示。

圖1 線上線下混合式教學(xué)設(shè)計(jì)圖

三、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)慕課建設(shè)

作為大規(guī)模在線開放課程，慕課具有開放性、自主性和碎片化的顯著特征。由于每個(gè)視頻短小精悍，內(nèi)容獨(dú)立，學(xué)生可以自主掌握學(xué)習(xí)進(jìn)度和內(nèi)容，充分體現(xiàn)了自由度和能動(dòng)性，因而受到廣大學(xué)生的歡迎。但同時(shí)也帶來缺乏師生互動(dòng)及課堂氛圍的弊端。大量數(shù)據(jù)顯示，學(xué)生對(duì)慕課課程選課率高，但完成率低。這種現(xiàn)狀無疑對(duì)慕課建設(shè)提出了更高的要求，而不能簡(jiǎn)單地把教學(xué)內(nèi)容從教室屏幕搬到電腦屏幕上。我們教學(xué)團(tuán)隊(duì)（7人）利用6年時(shí)間致力于將知識(shí)傳授、能力培養(yǎng)、應(yīng)用創(chuàng)新教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)在視頻制作里，利用多元化信息技術(shù)極大豐富擴(kuò)充了原有教學(xué)內(nèi)容，精心創(chuàng)作開發(fā)出了高質(zhì)量的精品慕課，并配套建設(shè)了慕課題庫［7］。2018年底北京科技大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)慕課已經(jīng)在 “中國大學(xué)MOOC”平臺(tái)成功上線，目前注冊(cè)人數(shù)已達(dá)2萬左右，并獲得4.8分的好評(píng)。慕課視頻錄制的3位青年教師均為北京市或全國青教賽一等獎(jiǎng)獲得者，其中兩位還獲得了 “北京市高等學(xué)校青年教學(xué)名師”的光榮稱號(hào)。

為了建設(shè)優(yōu)質(zhì)慕課，給學(xué)生提供精品視頻，達(dá)到 “金課”建設(shè)的目標(biāo)和要求，我們教學(xué)團(tuán)隊(duì)經(jīng)過長(zhǎng)期積累和努力，自主開發(fā)設(shè)計(jì)了大量應(yīng)用案例，精美的動(dòng)畫演示及Matlab數(shù)值模擬，運(yùn)用先進(jìn)的教學(xué)手段使教學(xué)內(nèi)容生動(dòng)易懂，具有啟發(fā)性、趣味性和高階性。并將提出問題、分析推導(dǎo)、給出方法、應(yīng)用案例及拓展外延的教學(xué)模式設(shè)計(jì)在每個(gè)教學(xué)視頻內(nèi)容的講解中，使學(xué)生在自主學(xué)習(xí)過程中興趣盎然，學(xué)會(huì)積極思考，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，培養(yǎng)高級(jí)思維及解決復(fù)雜問題的綜合能力［8］。并幾乎在每個(gè)課程單元里都設(shè)計(jì)有應(yīng)用拓展和內(nèi)容外延的環(huán)節(jié)，增加教學(xué)內(nèi)容的前沿性、挑戰(zhàn)度，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力。

（一）知識(shí)點(diǎn)的劃分

在線上學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)中，視頻學(xué)習(xí)處于核心地位。學(xué)生通過學(xué)習(xí)分散在每個(gè)視頻中的知識(shí)點(diǎn)完成該門課程所有內(nèi)容的學(xué)習(xí)。因此在課程體系的組織中，知識(shí)點(diǎn)的劃分既要體現(xiàn)系統(tǒng)性，又要具有獨(dú)立性，既能保持完整性，又能化整為零碎片化。在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)視頻制作中，結(jié)合傳統(tǒng)課堂教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，將概率論5章及數(shù)理統(tǒng)計(jì)3章的內(nèi)容進(jìn)行了知識(shí)點(diǎn)合理劃分，并突出重點(diǎn)、難點(diǎn)的時(shí)間分配，增加了大量動(dòng)畫演示，數(shù)值模擬和應(yīng)用案例，最終形成了57個(gè)既相互獨(dú)立，又前后聯(lián)系的教學(xué)視頻。

（二）教學(xué)手段的先進(jìn)性

1.動(dòng)畫演示，內(nèi)容生動(dòng)

在教學(xué)過程中，采用動(dòng)畫演示可以使抽象的數(shù)學(xué)概念、結(jié)果形象化，大大增強(qiáng)了課程的趣味性和直觀性，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并提高對(duì)內(nèi)容的理解程度。

動(dòng)畫：相關(guān)系數(shù)是用來描述兩個(gè)隨機(jī)變量之間線性關(guān)系的緊密程度的。但教材上的結(jié)論會(huì)讓學(xué)生感到費(fèi)解，不直觀。如：（1）若ρXY＝±1，則Y與X有嚴(yán)格線性關(guān)系；（2）若ρXY＝0， 則Y與X無線性關(guān)系； （3） 一般有而動(dòng)畫演示會(huì)有一目了然的效果，使學(xué)生清楚地了解兩組數(shù)據(jù)正、負(fù)相關(guān)；嚴(yán)格正、負(fù)相關(guān)以及不相關(guān)的狀態(tài)，如圖2所示。

圖2 正負(fù)相關(guān)，嚴(yán)格正負(fù)相關(guān)動(dòng)畫演示

2.數(shù)值模擬，加深理解

為了發(fā)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)規(guī)律，需要進(jìn)行多次試驗(yàn)，這在傳統(tǒng)教學(xué)過程中很難實(shí)現(xiàn)。為了在短時(shí)間進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)，讓學(xué)生能夠?qū)Ω怕式y(tǒng)計(jì)的結(jié)果有更深入、直觀的理解，我們使用Matlab數(shù)學(xué)軟件編程，模擬課程中涉及的各種實(shí)驗(yàn)，幾乎每個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)都設(shè)計(jì)了計(jì)算機(jī)模擬演示。通過模擬演示，使學(xué)生直觀地感受到實(shí)驗(yàn)的意義，驗(yàn)證得到的結(jié)果。同時(shí)，向?qū)W生展示了數(shù)學(xué)軟件Matlab的強(qiáng)大功能，吸引學(xué)生對(duì)課程的興趣。

（三）獨(dú)立思考能力的培養(yǎng)

在過去的教學(xué)模式中，學(xué)生往往被動(dòng)地接受知識(shí)，缺乏參與意識(shí)和學(xué)習(xí)目標(biāo)，顯然不符合培養(yǎng)具有批判性思維及創(chuàng)新能力新型人才的需求。為了使學(xué)生由被動(dòng)思考過渡到主動(dòng)思考，再提升到獨(dú)立思考，每個(gè)慕課單元的教學(xué)設(shè)計(jì)中，對(duì)概念定理的講解和分析都是以問題為導(dǎo)向，不斷提問，不斷解決，由易到難，逐漸遞進(jìn)。分析方法采用由表及里，由特殊到一般的歸納法，及由已知到未知的遷移法，使學(xué)生分析問題、思考問題的能力通過反復(fù)訓(xùn)練得到提升［9］。

舉例來說，在介紹協(xié)方差定義的時(shí)候，傳統(tǒng)講法直接給出書上的公式，令人費(fèi)解。以往的學(xué)生望而卻步，放棄深究。我們現(xiàn)在的教學(xué)設(shè)計(jì)是，通過 “國內(nèi)生產(chǎn)總值與政府衛(wèi)生支出”的應(yīng)用案例，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析、思考、推導(dǎo)出協(xié)方差的概念，具體做法如下 （在大班課上實(shí)踐后收到很好的效果）：

第一，問題的引入：選取2003—2012年國內(nèi)生產(chǎn)總值 （GDP）、政府衛(wèi)生支出 （GHE）數(shù)據(jù)記錄如表1所示。

表1 GDP與GHE數(shù)據(jù)表 單位：萬億元

問題是研究隨機(jī)變量X與Y之間的關(guān)系。X：GDP，Y：GHE，（X，Y）：二維隨機(jī)變量。

第二，由動(dòng)畫演示 （見圖3），可以直觀觀察到兩個(gè)隨機(jī)變量間有明顯的線性關(guān)系，于是提出問題：這種線性關(guān)系如何量化？

圖3 X （GDP）與Y （GHE）動(dòng)畫演示

問題導(dǎo)向雖然能夠吸引學(xué)生積極參與思考，但是一開始基本上都是一臉愁云，一籌莫展。

第三，啟發(fā)思考，是否可以通過平移坐標(biāo)系，使兩者關(guān)系有明顯特征？應(yīng)該如何平移？學(xué)生在問題的引導(dǎo)下，注意到隨機(jī)點(diǎn)的中心位置：（x-，y-），當(dāng)坐標(biāo)系的原點(diǎn)移到這個(gè)中心位置時(shí)，它們關(guān)系的特征立刻清晰可見。居然正相關(guān)時(shí)位于一三象限，負(fù)相關(guān)時(shí)位于二四象限，學(xué)生們?yōu)榇税l(fā)現(xiàn)興奮不已 （見圖4）。

圖4 正相關(guān)與負(fù)相關(guān)動(dòng)畫演示圖

第四，進(jìn)一步啟發(fā)思考，一三象限、二四象限的特征如何數(shù)量化？引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察各隨機(jī)點(diǎn) （xi，yi） 到中心位置的偏差 （xi-居然發(fā)現(xiàn)一三象限偏差都為正，二四象限偏差都為負(fù)的特征，學(xué)生們?yōu)榇藥缀鯕g呼起來。

第五，進(jìn)一步啟發(fā)思考，能不能用一個(gè)數(shù)字特征來描述所有隨機(jī)點(diǎn)的正偏差或負(fù)偏差？由于已經(jīng)學(xué)過數(shù)學(xué)期望的概念，學(xué)生基本上都能兩眼放光，馬上會(huì)想到取平均值，于是得到平均偏差：

第六，進(jìn)一步啟發(fā)思考，離散的情況如何過渡到連續(xù)的情況呢？學(xué)生們立刻想到用數(shù)學(xué)期望取代算術(shù)平均值，于是得到協(xié)方差的一般定義：

通過以上過程，由觀察現(xiàn)象到啟發(fā)思考，逐步推動(dòng)學(xué)生最終完成了一個(gè)數(shù)學(xué)概念的推導(dǎo)。它的意義在于追根溯源才能真正掌握概念的本質(zhì)，而探究的過程是思考能力形成的過程。

培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考能力是高等教育的使命，是我們最重要的教學(xué)目標(biāo)之一。但獨(dú)立思考能力不會(huì)一蹴而就，要通過長(zhǎng)期啟發(fā)引導(dǎo)訓(xùn)練，才能完成從被動(dòng)思考到主動(dòng)思考，再升華到獨(dú)立思考的飛躍，線上線下混合式教學(xué)模式提供了這樣的平臺(tái)［10］。

（四）學(xué)以致用能力的培養(yǎng)

為了幫助學(xué)生掌握運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問題，我們自主開發(fā)了大量的應(yīng)用案例 （85個(gè)）。通過每個(gè)慕課單元中實(shí)際問題的引出、分析、建模和求解，使學(xué)生能夠逐步掌握如何解決實(shí)際問題。下面的應(yīng)用案例給出了培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的完整過程。

在介紹二維連續(xù)型隨機(jī)變量和的分布時(shí)，我們引入了食堂窗口規(guī)劃問題：學(xué)校食堂每天中午為全校約10 000名學(xué)生提供午餐，假設(shè)每個(gè)學(xué)生在每個(gè)窗口打飯時(shí)間相互獨(dú)立，都服從λ＝2的指數(shù)分布，為了能讓所有學(xué)生以99%的概率在1.5小時(shí)內(nèi)打完飯，至少需要開設(shè)多少個(gè)窗口（這個(gè)應(yīng)用案例在大班課上實(shí)踐后收到很好的效果）？

這是學(xué)生身邊的實(shí)際問題，一經(jīng)提出，立刻引起學(xué)生共鳴。雖然個(gè)個(gè)摩拳擦掌，躍躍欲試，但似乎一頭霧水，找不到切入點(diǎn)。于是教師以問題為導(dǎo)向，通過提出問題，分析問題，最終解決問題。具體步驟如下：

1.分析問題：每個(gè)學(xué)生打飯時(shí)間都是隨機(jī)變量，那么總服務(wù)時(shí)間是10 000名學(xué)生打飯時(shí)間的和：

Z＝X1＋…＋X10000.

進(jìn)而提出問題：如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題？

3.提出問題：兩個(gè)相互獨(dú)立的指數(shù)分布的和服從什么分布？學(xué)生們都會(huì)愉快地由卷積公式求出兩個(gè)變量和的分布。然而再由這個(gè)結(jié)果推廣到10 000個(gè)隨機(jī)變量和的分布，學(xué)生們就力不從心了。在教師的幫助下最終可以推導(dǎo)出結(jié)果。

4.求Z的概率分布：推廣得到10 000個(gè)隨機(jī)變量和的分布，居然是伽馬分布。學(xué)生們開心地歡呼雀躍。接下來碰到的困難是怎么用伽馬分布計(jì)算概率呢？常規(guī)的辦法已經(jīng)失效，必須借助計(jì)算機(jī)求解。

5.利用Matlab軟件求近似解：圖5給出了取不同值時(shí)對(duì)應(yīng)的概率取值情況。在99%的把握情況下，總服務(wù)時(shí)間不會(huì)超過5 117分鐘。于是要在1.5小時(shí)內(nèi)服務(wù)完畢，需要窗口5 117／90≈57（個(gè)）。學(xué)生們?yōu)榈玫竭@個(gè)答案，經(jīng)歷一波三折，跌宕起伏，特別享受終于到達(dá)彼岸的成就感。當(dāng)學(xué)生自鳴得意的時(shí)候，再進(jìn)一步引導(dǎo)思考，還有沒有其他方法近似計(jì)算？為后期課程中心極限定理做鋪墊。

圖5 窗口數(shù)與概率的數(shù)值模擬

“學(xué)以致用”的教學(xué)目標(biāo)不僅僅是美好的愿望，還必須通過長(zhǎng)期訓(xùn)練來實(shí)現(xiàn)，因此線上線下混合式教學(xué)模式提供了這樣的機(jī)會(huì)。學(xué)生們發(fā)現(xiàn)解決實(shí)際問題遠(yuǎn)比他們學(xué)習(xí)過程要更具有挑戰(zhàn)性，不僅融合了他們所學(xué)的眾多知識(shí)，而且必須具備編程能力才能完美解決。

（五）創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)

培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力是 “金課”建設(shè)的重要目標(biāo)，為此我們?cè)趲缀趺總€(gè)課程單元的教學(xué)設(shè)計(jì)中都安排有應(yīng)用拓展或內(nèi)容外延的環(huán)節(jié)，并作為開放性問題或研究?jī)?nèi)容留到線下課堂討論中完成。作為課外作業(yè)，學(xué)生需要查閱大量中英文文獻(xiàn)，自主學(xué)習(xí)，潛心研究，這個(gè)過程可以訓(xùn)練培養(yǎng)學(xué)生的開放性思維，使其創(chuàng)新能力逐漸形成。以下是應(yīng)用拓展與外延的三個(gè)實(shí)例：

第一，在古典概型的講解中，作為放球模型的應(yīng)用拓展，我們引導(dǎo)學(xué)生課外研究生日攻擊問題，了解放球模型在密碼學(xué)中的應(yīng)用。王小云院士2004年破解了非常著名的MD5 hash函數(shù)，使生日攻擊等hash函數(shù)安全性問題再一次成為研究的熱點(diǎn)問題。如何應(yīng)用放球模型理解生日攻擊問題，可以拓展學(xué)生的知識(shí)面與視野，大大激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

第二，在傳統(tǒng)教材中，我們分別講解了泊松分布和指數(shù)分布，但沒有進(jìn)一步討論它們之間深刻的內(nèi)在關(guān)系，造成學(xué)生對(duì)這兩個(gè)分布的理解都不夠到位。于是作為課外拓展，我們讓學(xué)生通過自主研究，推導(dǎo)揭示它們之間的關(guān)系，深刻理解隨機(jī)變量由離散型到連續(xù)型的轉(zhuǎn)變以及它們?cè)趯?shí)際問題中的應(yīng)用，寫成小論文。如果有興趣，我們還會(huì)鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)一步了解它們?cè)谶\(yùn)籌學(xué)的一個(gè)分支學(xué)科排隊(duì)論里的應(yīng)用。這樣的課外研究我們會(huì)安排在線下課堂進(jìn)行小組報(bào)告。

第三，數(shù)學(xué)期望與方差刻畫了隨機(jī)變量的數(shù)字特征，不僅是概率論中非常重要的基本概念，而且在實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用。美國著名經(jīng)濟(jì)學(xué)家哈里·馬科維茨 （Harry M Markowitz），首次以均值和方差這兩個(gè)數(shù)字特征來定量描述投資組合收益率的收益和風(fēng)險(xiǎn)，并建立了投資組合問題的均值—方差模型。由于他在金融領(lǐng)域這一開創(chuàng)性工作，榮獲1990年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。作為開放性的問題，留給學(xué)生課后研究期望與方差在投資組合理論中的具體應(yīng)用。

四、基于慕課的混合式教學(xué)課程設(shè)計(jì)

基于慕課的線上線下混合式教學(xué)模式是“金課”建設(shè)的一種積極嘗試和探索，其核心在于將課堂教學(xué)內(nèi)容從教室移至線上，從而釋放出寶貴的課堂時(shí)間進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)和能力訓(xùn)練，實(shí)現(xiàn)了教學(xué)方式的根本變革［11］。教師的作用從“陪跑”變?yōu)?“領(lǐng)跑”，學(xué)生有機(jī)會(huì)由 “跟跑”變?yōu)?“奔跑”。這種全新的教學(xué)模式完全以學(xué)生為中心，能夠最大限度地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情和積極性，啟發(fā)他們獨(dú)立思考，開拓他們創(chuàng)新性思維，鍛煉他們運(yùn)用知識(shí)的能力［12］。

概率統(tǒng)計(jì)課程48學(xué)時(shí)，線上線下時(shí)間各為24學(xué)時(shí)。教學(xué)團(tuán)隊(duì)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容制定出周密的教學(xué)計(jì)劃，使線上、線下內(nèi)容有機(jī)結(jié)合，并形成嚴(yán)格的學(xué)習(xí)進(jìn)度表，在第一次上課時(shí)發(fā)給學(xué)生。在課程建設(shè)中，除了慕課題庫外，我們還建設(shè)有隨堂測(cè)驗(yàn)題庫，方便教師隨機(jī)選擇使用。學(xué)生在完成線上自學(xué)后，線下課堂中通過對(duì)實(shí)際案例或開放性問題展開小組討論，達(dá)到加深理解、提升知識(shí)應(yīng)用能力的目的。

（一）課前完成線上自學(xué)

在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)里，學(xué)生通過視頻學(xué)習(xí)、章節(jié)測(cè)驗(yàn)、討論區(qū)活動(dòng)、線上考試四個(gè)步驟完成學(xué)習(xí)內(nèi)容。由于是自主學(xué)習(xí)，具有很大的隨意性，因此教師必需制定統(tǒng)一進(jìn)度表來加強(qiáng)管理。進(jìn)度表應(yīng)包括視頻內(nèi)容、隨堂測(cè)驗(yàn)、知識(shí)點(diǎn)串講及課堂討論等各教學(xué)環(huán)節(jié)的時(shí)間節(jié)點(diǎn)。學(xué)生的自主學(xué)習(xí)需要按照統(tǒng)一進(jìn)度表的要求在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成自學(xué)內(nèi)容，并為參與線下課堂討論提前做好知識(shí)準(zhǔn)備。在此環(huán)節(jié)中，教師的職責(zé)是隨時(shí)了解學(xué)生在線學(xué)習(xí)情況，同時(shí)在討論區(qū)教師答疑板塊中及時(shí)回答學(xué)生的問題。并關(guān)注課堂交流區(qū)及綜合討論區(qū)中學(xué)生共性問題，以便在線下課程知識(shí)點(diǎn)串講時(shí)強(qiáng)化重點(diǎn)，解決難點(diǎn)。

（二）課上完成知識(shí)點(diǎn)強(qiáng)化

厚基礎(chǔ)，才能強(qiáng)能力，才能有創(chuàng)新。線上學(xué)習(xí)固然使學(xué)生有了充分的自主性和能動(dòng)性，但也大大增加了基礎(chǔ)不牢的風(fēng)險(xiǎn)性。因此需要通過隨堂測(cè)驗(yàn)及教師串講強(qiáng)化知識(shí)點(diǎn)，為學(xué)生打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

1.隨堂測(cè)驗(yàn) （5分鐘）

這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生對(duì)基本概念和相關(guān)理論的掌握程度，隨堂測(cè)驗(yàn)每次設(shè)置5個(gè)客觀題。教學(xué)團(tuán)隊(duì)對(duì)每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的課堂考察都事先設(shè)計(jì)了難度漸進(jìn)的5～10個(gè)客觀題，可供教師選擇使用，題目來自歷年期末考題和考研題。測(cè)驗(yàn)可在 “云班課”等手機(jī)客戶端上完成，學(xué)生答題結(jié)束后，即時(shí)顯示答題情況，方便教師當(dāng)堂針對(duì)錯(cuò)誤率較高的題目進(jìn)行講解。

2.知識(shí)點(diǎn)串講 （30分鐘）

由于慕課教學(xué)視頻將知識(shí)碎片化，學(xué)生對(duì)課程體系嚴(yán)重缺乏宏觀整體概念，因此對(duì)于局部概念及結(jié)論的理解也會(huì)產(chǎn)生困難。于是需要教師每章開始前，引導(dǎo)學(xué)生建立各概念之間的聯(lián)系。每章結(jié)束后，強(qiáng)化作為一章知識(shí)點(diǎn)的整體性。另外還需要強(qiáng)調(diào)章與章之間的聯(lián)系及概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)兩大部分的聯(lián)系，這個(gè)過程中可以培養(yǎng)學(xué)生去繁存簡(jiǎn)、透過現(xiàn)象看清本質(zhì)的學(xué)習(xí)能力。串講環(huán)節(jié)，除了完成提綱挈領(lǐng)的作用，還要對(duì)教學(xué)難點(diǎn)進(jìn)行補(bǔ)充講解。

（三）課堂討論／報(bào)告／應(yīng)用拓展

這個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)必須充分體現(xiàn) “金課”建設(shè)的 “創(chuàng)新性”目標(biāo)，課程內(nèi)容反映前沿性和應(yīng)用性，教學(xué)形式呈現(xiàn)先進(jìn)性和互動(dòng)性，學(xué)習(xí)過程具有探究性和個(gè)性化。

培養(yǎng)學(xué)生開創(chuàng)性思維及創(chuàng)新能力是當(dāng)今培養(yǎng)高質(zhì)量人才的首要任務(wù)，是一個(gè)長(zhǎng)期而艱巨的工作，需要教師對(duì)學(xué)科前沿的發(fā)展有充分的了解，才能不斷發(fā)現(xiàn)新的有價(jià)值的問題，給學(xué)生提供自主研究的機(jī)會(huì)，為今后逐步形成他們的科研創(chuàng)新能力奠定基礎(chǔ)。通過科教融合，開闊學(xué)生的視野，激發(fā)他們利用所學(xué)知識(shí)去學(xué)習(xí)和研究解決未知的問題。以下是該教學(xué)環(huán)節(jié)中三個(gè)開放性討論的實(shí)例，并在隨后本科創(chuàng)新項(xiàng)目里得到了解決。

第一，貝葉斯公式的核心在于估計(jì)和推斷，其模式是用先驗(yàn)概率和樣本信息推出后驗(yàn)概率。這個(gè)思想發(fā)揚(yáng)光大，就是貝葉斯決策和貝葉斯統(tǒng)計(jì)。課后布置給學(xué)生研讀貝葉斯決策和貝葉斯統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容，并分組報(bào)告。學(xué)生利用課外時(shí)間在本科創(chuàng)新項(xiàng)目里利用加權(quán)貝葉斯分類模型對(duì)北京科技大學(xué)本科英語四級(jí)考試通過率進(jìn)行預(yù)測(cè)。通過對(duì)誤判數(shù)據(jù)分析，改進(jìn)了加權(quán)貝葉斯分類模型。實(shí)驗(yàn)表明，改進(jìn)后的模型大大提高了預(yù)測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性。

第二，相關(guān)系數(shù)是描述兩組數(shù)據(jù)間線性關(guān)系緊密程度的數(shù)字特征，在實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用。能不能將相關(guān)系數(shù)用于所學(xué)課程的試卷分析？作為開放性問題留給學(xué)生課外研究，再組織課上報(bào)告。學(xué)生在隨后的本科創(chuàng)新項(xiàng)目里結(jié)合歷年概率統(tǒng)計(jì)試題給出了用相關(guān)系數(shù)法，進(jìn)行試卷難度、區(qū)分度及試題相關(guān)性的綜合分析報(bào)告。

第三，區(qū)間估計(jì)是在總體分布已知的情況下對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)的一種重要方法，在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)及經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。但課上僅對(duì)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)進(jìn)行了詳盡的分析和推導(dǎo)，并沒有討論非正態(tài)總體的情況。于是課后布置給學(xué)生自主研究非正態(tài)總體，比如均勻分布總體和指數(shù)分布總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)問題應(yīng)該如何解決。學(xué)生在本科創(chuàng)新項(xiàng)目里，通過查閱大量中英文文獻(xiàn)，以中心極限定理為基礎(chǔ)，在大樣本下把非正態(tài)總體問題轉(zhuǎn)化為正態(tài)總體問題，并對(duì)指數(shù)分布及均勻分布總體參數(shù)的置信區(qū)間進(jìn)行推導(dǎo)和研究。通過數(shù)值模擬與其他方法比較了置信區(qū)間的優(yōu)劣，并把成果成功應(yīng)用于產(chǎn)品質(zhì)檢和氣溫預(yù)測(cè)。

（四）課程考核方式多元化

課程評(píng)價(jià)體系是學(xué)生學(xué)習(xí)的風(fēng)向標(biāo)，具有指導(dǎo)意義?！敖鹫n”建設(shè)的目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考能力，知識(shí)運(yùn)用能力及創(chuàng)新思維能力，但如果這些能力的培養(yǎng)不作為考核內(nèi)容進(jìn)入課程評(píng)價(jià)體系，那將雷聲大、雨點(diǎn)小，收效甚微。為此我們首次將能力培養(yǎng)定量化考評(píng)計(jì)入最終課程成績(jī)。由于混合式教學(xué)模式中，每個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)都充分體現(xiàn)了“以學(xué)生為中心”的理念，因此我們注重學(xué)習(xí)過程，進(jìn)行多元化考核。該課程最終的成績(jī)?cè)u(píng)定是，線上學(xué)習(xí)成績(jī)占 （15%）、隨堂測(cè)驗(yàn)占（5%）、課堂討論／報(bào)告占 （20%）、期末閉卷考試占 （60%）。具體評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)見表2。

五、結(jié)束語

通過 “金課”建設(shè)，混合式教學(xué)模式徹底改變了落后的教學(xué)現(xiàn)狀，采用先進(jìn)的教學(xué)方式和教學(xué)手段，打造具有前沿性的教學(xué)內(nèi)容，探索全新的課程評(píng)價(jià)體系對(duì)提升教學(xué)質(zhì)量及教學(xué)水平、培養(yǎng)一流人才都有著積極的推動(dòng)作用。建設(shè)高質(zhì)量的概率統(tǒng)計(jì)課程是一項(xiàng)長(zhǎng)期而艱巨的任務(wù)。我們教學(xué)團(tuán)隊(duì)要繼續(xù)建設(shè)好慕課，進(jìn)一步完善線上線下混合式教學(xué)課程設(shè)計(jì)與實(shí)踐，深化課堂教學(xué)改革，努力實(shí)現(xiàn)真正的具有高階性、創(chuàng)新性和挑戰(zhàn)性的 “金課”目標(biāo)。